三次样条插值ppt课件

1、2.6 三次样条插值三次样条插值问题：问题：1. 为什么引进分段低次插值？为什么引进分段低次插值？2. 分段线性和分段二次插值有何特点？分段线性和分段二次插值有何特点？3. 分段分段Hermite插值有何特点？插值有何特点？4. 是否有办法在只给出函数值的情况下，构造出一是否有办法在只给出函数值的情况下，构造出一个具有较高整体光滑度如二阶导数连续的低次个具有较高整体光滑度如二阶导数连续的低次插值函数呢？插值函数呢？ 2.6.1 2.6.1 三次样条函数三次样条函数上是三次多项式，上是三次多项式，其中其中 是给定节点，是给定节点，bxxxan10 若函数若函数 且在每个小区间且在每个小区间 ,)

2、(2baCxS,1jjxx则称则称 是节点是节点 上的三次样条函数上的三次样条函数. .)(xSnxxx,10 若在节点若在节点 上给定函数值上给定函数值 jx), 1 ,0)(njxfyjjjjyxS)(), 1 ,0(nj（7.17.1）则称则称 为三次样条插值函数为三次样条插值函数. .)(xS定义定义3 3并成立并成立 由于由于 在每个小区间在每个小区间 上有上有4 4个待定系数，个待定系数，)(xS,1jjxx共有共有 个小区间，所以共有个小区间，所以共有 个待定参数个待定参数. . nn4),0()0(jjxSxS 由于由于 在在 上二阶导数连续，所以在节点上二阶导数连续，所以在节

3、点 )( xS,ba)1,2, 1(njxj处应满足连续性条件处应满足连续性条件),0()0(jjxSxS这些共有这些共有 个条件，再加上个条件，再加上 本身还要满足的本身还要满足的 个插值条件，共有个插值条件，共有 个条件，还需要个条件，还需要2 2个条件才能确定个条件才能确定 )(xS).( xS33n24n1n).0()0( jjxSxS（7.27.2） 通常可在区间通常可在区间 端点端点 上各加一个条件上各加一个条件,banxbxa,0 1. 1. 已知两端的一阶导数值，即已知两端的一阶导数值，即.)(,)(00nnfxSfxS（7.37.3）（7.57.5称为自然边界条件称为自然边界

4、条件. . 2. 2. 已知两端的二阶导数，即已知两端的二阶导数，即其特殊情况为其特殊情况为,)(,)(00nnfxSfxS （7.47.4）.0)()(0 nxSxS（7.57.5）常见的边界条件有以下常见的边界条件有以下3 3种：种：（称为边界条件），（称为边界条件），),0()0(0nxSxS此时插值条件此时插值条件7.17.1中中 . . nyy0 这样确定的样条函数这样确定的样条函数 称为周期样条函数称为周期样条函数. .)(xS 这时边界条件应满足这时边界条件应满足 ),0()0(0nxSxS（7.67.6）).0()0(0 nxSxS 3. 3. 当当 是以是以 为周期的周期函数

5、时，则要求为周期的周期函数时，则要求)(xf0 xxn)(xS也是周期函数也是周期函数. .方法一：利用分段三次方法一：利用分段三次Hermite插值多项式求插值多项式求 下面利用下面利用 的一阶导数值的一阶导数值 表示表示 . . )(xSjjmxS )(), 1 , 0(nj )(xS 故故 在区间在区间 上应满足上应满足 )(xS,1jjxx,)(,)(,)(,)(1111 jjjjjjjjmxSmxSyxSyxS于是由于是由HermiteHermite插值多项式得三次样条表达式：插值多项式得三次样条表达式： 2.6.2 2.6.2 样条插值函数的建立样条插值函数的建立 21111211

6、121)(21)(jjjjjjjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2111211)()(jjjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxx )()()()()(11113xmxmxyxyxHjjjjjjjj 有有n+1个个mi需确定，利用二阶导数连续及边界条件来确定。需确定，利用二阶导数连续及边界条件来确定。 下面利用下面利用 的二阶导数值的二阶导数值 表示表示 . . )(xSjjMxS )(), 1 , 0(nj)(xS 由于由于 在区间在区间 上是三次多项式，故上是三次多项式，故 )(xS,1jjxx)(xS 在在 上是线性函数，上是线性函数，,1jjxx.)(11jjj

7、jjjhxxMhxxMxS （7.77.7）对对 积分两次并利用积分两次并利用 及及 ， )(xS jjyxS)(11)(jjyxS可表示为可表示为可定出积分常数，可定出积分常数，于是得三次样条表达式于是得三次样条表达式方法二：利用方法二：利用Lagrange插值多项式求插值多项式求jjjjjjhxxMhxxMxS6)(6)()(3131jjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMy6621112这里这里 是未知的是未知的. . ), 1 ,0(njMj).1, 1 ,0(nj（7.87.8） 为了确定为了确定 , ,对对 求导得求导得 jM)(xSjjjjjjhxxMhxxMxS2)(2)()

8、(2112;611jjjjjjhMMhyy（7.97.9）利用利用 和边界条件可得和边界条件可得Mj .Mj .)0()0( jjxSxS.0.3)30()(, 1.4)29()(,3.4)28()(, 1.4)7.27()(3210fxffxffxffxf试求三次样条函数试求三次样条函数 ，使它满足边界条件，使它满足边界条件 )(xS,0.3)7.27(S.0.4)30(S例例5 5 设设 为定义在为定义在 上的函数，在节点上的函数，在节点 )(xf30,7.27)3,2, 1 ,0(ixi上的值如下：上的值如下：,666.46),(6,21,1310, 101000210fxxfhd.4.

9、17),(632323xxffhd,70000.2,6,00002.4,632122101xxxfdxxxfd由此得矩阵形式的方程组如下：由此得矩阵形式的方程组如下： , 1,21,133, 1,30.0321210hhh 解解.4000.177000.200002.4666.464000.17212122113102133123210MMMM求解得求解得 .115.9,830.0,395.0,531.233210MMMM代入代入7.87.8得得),29(51917.4)29(51917.1)30(96167.3)30(13833.0),28(96167.3)28(13833.0)29(234

10、17.4)29(06583.0),7 .27(31358.14)7 .27(21944.0)28(84322.14)28(07278.13)(333333xxxxxxxxxxxxxS,28,7.27x,29,28x,30,29x（曲线见图（曲线见图2-62-6）图图2-62-6 给定函数给定函数 节点节点 ,55,11)(2xxxf),10, 1 ,0(5kkxk用三次样条插值求用三次样条插值求).(10 xS 取取)()(10kkxfxS),5()5(),10, 1 ,0(10fSk).5()5(10fS直接上机计算可求出直接上机计算可求出 在表在表2-62-6所列各点的值所列各点的值. .

11、 )(10 xS例例6 625376. 013971. 013793. 05 . 20000. 10000. 10000. 1019837. 011366. 011312. 08 . 294090. 092754. 091743. 03 . 010000. 010000. 010000. 00 . 384340. 082051. 080000. 05 . 010832. 008426. 008410. 03 . 364316. 062420. 060976. 08 . 022620. 007606. 007547. 05 . 350000. 050000. 050000. 00 . 12013

12、0. 006556. 006477. 08 . 331650. 036133. 037175. 03 . 105882. 005882. 005882. 00 . 423535. 029744. 030769. 05 . 188808. 004842. 005131. 03 . 418878. 023154. 023585. 08 . 157872. 104248. 004706. 05 . 420000. 020000. 020000. 00 . 280438. 103758. 004160. 08 . 424145. 016115. 015898. 03 . 203846. 003846. 003846. 00 . 5)()(11)()(111010210102xLxSxxxLxSxx6表2现将三种插值结果画在一起：现将三种插值结果画在一起： 2.6.3 2.6.3 误差界与收敛性误差界与收敛性 定理定理5 5则有估计式则有估计式),1,1 ,0(,max110 nixxhhhiiiini,)(max)()(max4)4()()(kbxakkkbxahxfCxSxf ,2,1,0 k其中其中.83,241,3845210 CCC设设 为满足第一种或第二为满