16流体动力学

1、 流体及其宏观物性 定常流动和连续性方程 伯努力方程 伯努力方程和连续性方程应用 实际流体的流动及其规律 161 流体及其宏观物性 1 、流体 液体和气体统称为流体。 流体的基本特征是具有 流动性，即它的各个部分之间很容易发生相对运动，没有固定的形状。 一般可把流体看作由连续分布的 质元组成，每个质元在宏观上足够小，可当作质点处理；但在微观上又足够大，包含着大量分子或分子团。 ? ? 连续分布的质点系 2 、流体的宏观物性 流动性 可压缩性 粘性 - 流体的基本特征 ? ? 流体 可压缩流体 不可压缩流体 ? ? 内摩擦力或粘滞力 超流动性 3 、流体力学 流体力学研究流体的宏观平衡和运动的规

2、律以及流体与相邻固体之间相互作用规律。 流体力学 流体静力学 研究静止流体规律的学科。 研究流体运动的学科，是水力学、流体动力学 空气动力学、生物流体力学等学科的理论基础。 这一章主要介绍不可压缩流体的动力学 方面的一些基本知识和应用，主要以液体为对象进行讨论。 4 、流体运动的描述 拉格朗日法 考察每个质元的的位置随时间的变化 物理概念? ?x? ?f(x0,y0,z0,t)清晰，但x0 , y0 , z0）不同的（? ?处理问题代表了不同质元 y? ?g(x ,y ,z ,t)? ?000十分困难 ? ?z? ?h(x ,y ,z ,t) 牛顿定律适用 000? ?流体运动一般采用 欧拉法

3、描述 欧拉法 考察经过空间某位置(不需要求x, y, z)处质元的运动 如： ? ?v? ?v(x,y,z,t) ? ? ?a? ?a(x,y,z,t) ? ?p? ?p(x,y,z,t)? ?出各个质元的运动，这种方法把流体看成一处理问题个场，考虑场中各点的被简化 各个物理量。 162 定常流动和连续性方程 1 、流场、流线和流管 流场 流体在流动过程的任一瞬时，流体所占据的空间每一点都具有一定的 流速。 流速随空间的分布 ? ? 流体速度场（流场） v? ?v(r,t) 层流、湍流 流场有两种形态： 层流：当流体的流速较小时，流体分层流动，相邻两层流体之间只作相对滑动，流层间没有横向混杂。

4、 湍流：当流体的流速超过一定数值时，流体将不再保持分层流动。外层的流体粒子不断卷入内层，形成旋涡，整个流动显得杂乱而不稳定。 下面将主要介绍流体的 层流。 流线 为了形象描述流场，在任一瞬间，可以在流场中划出一系列 假想的曲线 ，使曲线上每一点的切线方向与处在该点流体的速度方向一致。 流线 A vAvCB C vB这一瞬间的流线 流线不会相交！ 流管 在流动的流体中划出一个小截面，则通过其周边各点的流线所围成的管状体 流管。 流束 流管内的流体。 流体不会穿过流线流入或流出流管！ 2、定常流动和不定常流动 不定常流动 v? ?v(x,y,z,t)经过空间某处的质元速度随时间变化； 流线的形状随

5、时间变化 ,此时流线与流体质元的运动轨迹不重合。 定常流动 v? ?v(x,y,z)流场中任一点的流速、压强和密度等都不随时间变化； 流线的形状不变，和质元的运动轨迹重合。 3、定常流动的连续性方程 研究对象： 在定常流动的流场中任取一段 细流管 流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀 设截面 S1 和 S2 处：流速分别为 v1 和 v2 ，流体密度分别为1 和2 S2v2S3v1S1在 t 时间内： S2v2通过截面S1进入的流体质量： S3v1m1? ? ?1(v1? ?t) S1通过截面S2 流出的流体质量： S1m2? ? ?2(v2? ?t) S2定常流动 质量守恒原则 ? ? ?

6、1S1v1? ? ?2S2v2m1= m 2 即： ? ? S v = 常量 定常流动的连续性方程 ? ? S v = 常量 S v 单位时间内通过任一 截面S的流体质量 不可压缩流体, 为常量 S v 单位时间内通过任一 截面S的流体体积 质量流量 质量流量守恒定律 S v = 常量 体积流量守恒定律 体积流量 定常流动的连续性方程 ? ? S v = 常数 其中? ? - 流体密度，S - 截面面积，v - 流速。 S 大，v 小；S 小，v 大。 流体的连续性方程在物理实质上它体现了流体在流动中质量守恒，它与流体是否存在粘性无关。 163 理想流体的定常流动 伯努利方程 1 、 理想流体

7、 粘滞性：流动过程中，流体本身相邻两层间存在内摩擦，流动可能不稳定。 可压缩性：密度随压强不同而改变。 一些实际问题中 次要因素 主要因素 流动性 理想流体模型 绝对不可压缩、且完全没有内摩擦的流体。 2 、理想流体的定常流动 外力： 其它流管中流体的压力对它 不做功 流管中段外流体的压力 F1、F2对它作功 F1作正功，F2作负功。 F1 p1x 截面的位移是 v1 t，y v1S1截面的位移是 v2 t S2总功：W ? ?F1v1? ?t-F2v2? ?t? ?P1 S1 v1? ?t-P2 S2v2? ?t? ?P1 ? ?V -P2 ? ?Vh1v2h2p2F 2机械能增量 1122

8、? ?E? ?( mv2? ?mgh2)-( mv1? ?mgh1)22由由W? ?E可得：可得：1122P1?V? ?P2?V? ?( mv2? ?mgh2)-( mv1? ?mgh1)221212? ? ?v2? ? ?gh2? ?P2? ? ?v1? ? ?gh1? ?P122= m /V是流体的密度 对同一流管的任一截面 12? ?v? ? ?gh? ?P? ? 常量常量- 伯努利方程 2对不同的流管，常量的值不同。 伯努利方程 12? ?v? ? ?gh? ?P? ? 常量常量2单位体积流体的动能 单位体单位体积积流体流体的静的势能 压能 FF? ?lWP? ? ? ?SS? ?lV

9、伯努利方程实质上是功能原理在理想流体做定常流动中的具体表现。 伯努利方程实质上是 能量守恒定律在理想流体做定常流动中的具体表现。 一般管道流动中，忽略各物理量在其横截面上的变化也可近似成立，式中各量为管道截面上所取的平均值。 如果流体在水平管子中流动 （h1= h2），），则流体的势能在流动过程中不变， 12P? ? ?v? ? 常量常量2? ? 流速小的地方压强较大，流速大的地方压强较小 例 设有流量为0.12 m3/s 的水流通过图示的管子。 A点的压强为2 105 N/m2，A点的截面积为100cm2，B点的截面积为60 cm2。假设水的内摩擦可以忽略不计， 求 A 、B点的流速和B点的

10、压强。 解：水可看作不可压缩的流体， 根据连续性方程有： SAvA= SBvB? ?QQ0.12vA? ? ? ?2? ?12( m/s)SA10Q0.12vB? ? ? ?20( m/s)? ?4SB60? ?10根据伯努利方程可得： 1212? ?vB? ? ?ghB? ?PB? ? ?vA? ? ?ghA? ?PA22? ?1212PB? ?PA? ? ?vA? ? ?vB? ? ?g(hB? ?hA) 22? ?5.24? ?10 (N/m )423 、伯努利方程的应用 例1 、汾丘里流量计 中间逐渐缩小，稳定流动 S1、P1、v1 和 S2、P2、v2 1122P1? ? ?v1?

11、?P2? ? ?v222S1v1? ?S2v2P1? ?P2? ? ?gh解得： v1? ?S22gh22S1? ?S2因此，流体的流量为 Q? ?S1v1? ?S1S22gh22S1? ?S2例2 ：流速的测量 在均匀的平行流动中有障碍物存在时，流场的 流线分布会发生变化 vA? ? 0A：驻点(滞止点) 对流线上O 和A 两点应用伯努利方程 12pA? ?p0? ? ?v02总压 静压 动压 总压强 = 静压 + 动压 皮托管 图中a是一根直管，b是一根直角弯管，直管下端的管口截面与流体流线平行，弯管下端管口截面与流体流线垂直。 c d 流体在弯管下端d处受阻, 形成流速为零的形成流速为零

12、的“滞止区滞止区”。 则比较图中c、d 两处的压强可得： 12Pd? ?Pc? ? ?v212Pd 比Pc 大 ,即流体的动压在滞止区全部转化成了?v2静压. U 形皮托管 总压与静压之差： B 12pA? ?pB? ? ?v2pA? ?pB? ?(? ? ? ? ?)gh2gh (? ? ? ? ?)v? ? ?机翼升力 取两根很薄的流管，分别紧贴机翼的上下两侧。 不计高度差： p0 v0 p2 , v2 p3 , v3 12121212? ?v0? ?p0? ? ?v2? ?p2,? ?v0? ?p0? ? ?v3? ?p32222122p3? ?p2? ? ? ?v2? ?v3? ?2在

13、相同的时间里，上侧气流所通过的路程要比 下侧长些 v2? ?v3p3? ?p2? ? 0升力！ 机翼上下两侧的合力是向上的 五、实际流体的流动规律 1 、粘滞流体 实际流体在流动时，由于相邻部分发生相对滑动，会产生沿切向的阻碍相对运动的 粘滞力。这种流体称为粘性流体或非理想流体。 内摩擦力：相邻两层流体作相对滑动时的切向相互作用力。 宏观：快层对慢层有拉力 微观：不同速度流层间动量交换 F 和分子间相互作用力 2、粘滞定律 实验表明，流速不同的相邻两层流体之间，粘滞力的大小 f 正比于流体的速度梯度和两层流体相互接触的面积S : dvf? ? ?Sdy- 粘滞定律 ? ?：流体的粘滞系数或粘度

14、 粘度系数? ? 反映流体粘性大小的物理量，单位 Pa s ； 粘度与温度密切相关。气体的粘度随温度上升而增大，液体的粘度随温度上升反而下降。 粘度与压强的关系不大。 3 、粘性流体的伯努利方程 可压缩性仍可忽略，但流体的粘性必须考虑。 内摩擦力 - 非保守内力 设w为单位体积的流体从截面 1 运动到截面2 的过程中克服内摩擦消耗的机械能， 12P1? ? ?v1? ? ?gh1212? ?P2? ? ?v2? ? ?gh2? ? w2粘性流体的伯努利方程 对图示的均匀水平管 h 1 = h2，v1 = v2， ? ? P1 = P2 + w ? ? P1 P2 所以必须维持一定的 压强差，才

15、能使粘性流体作稳定的运动。 4 、泊肃叶定律 粘性流体在水平圆管中的运动 粘性流体在水平细管中做稳定流动时， 如果流速不大，则流动的形态是 层流。 管子两端的压强差 外力抵消内摩擦力 流体稳定流动 粘性流体在长为l 的均匀圆管中的流量 Q与管道半径R、压强差(P1- P2)及流体粘度? ? 的关系式为: ? ?(P1? ?P2)RQ? ?8? ?L4泊肃叶定律 流过水平圆管的流量与管两端的压强差成正比，与粘度和管长成反比，与半径的四次方成正比。 ?医生打针时药水的速率主要由什么决定？ 泊肃叶定律的推导 对水平圆管中的流体，P? ?r21r = 0 时，v 最大 r? ?Rv? ?02粘滞力 液

16、流液流 P2? ?r2压力差： (P1? ?P2)? ?rdvdv粘滞阻力： f? ? ? ?S? ? ?2? ?rLdrdrdv(P1? ?P2)r? ?定常流动： ? ?dr2? ?L? ? ?0vP1? ?P2dv? ?2? ?L? ?RrrdrP1? ?P222? ?v(r)? ?(R? ?r )4? ?LP1? ?P222v(r)? ?(R? ?r )4? ?Lv(r) dQv? ?vdS? ?v2? ?rdrQv? ?2? ? ?v(r)rdr0R? ?(P1? ?P2)R22? ?(R? ?r )rdr? ?02? ?L? ?P1? ?P24? ?R8? ?L泊肃叶定律还可以写成

17、如下形式 ? ?(P1? ?P2)RQ? ?8? ?L4? ?Q? ?Rf ? ?8? ?L/? ?R4?PRf粘性流体在水平细圆管中稳定流动时，流量 Q与管两端的压强差P成正比，与R f 成反比。 与电学中的欧姆定律极为相似，所以可将 R f 称为流阻。 当管子的长度、半径以及流体的粘滞系数确定时，Rf 是一定值。 Rf ? ? 1/R4 半径的微小变化就会对流阻造成很大影响。 血管可以收缩和舒张，其管径的变化对血液流量的影响是很显著的 。 应用：测量粘滞系数 若测出流量Qv、高度差h ? ?P1? ?P24由由Qv? ?R8? ?L? ? ? ?ghR8LQv45 、物体在粘性流体中的运动

18、 当物体在粘性流体中运动时，将受到两种阻力的作用: 粘性阻力和压差阻力。 粘性阻力 当物体在粘性流体中运动时，附着在物体表面的流体随物体一起运动，使物体表面流体层与邻近流体层之间产生相对运动。这种相对运动产生的粘滞力会阻碍物体的运动，称为 粘性阻力。 1) 当物体运动速度较小时，粘性阻力是物体所受阻力主要来源。此粘性阻力 f 与物体相对流体运动速度v 成正比： f? ?kv其中比例常数k 与流体粘度系数? ? 以及物体的形状有关。 2) 对于半径为r 的小球，以速度v 相对流体运动时受到的粘滞阻力： f? ? 6?rv- Stokes 公式 终极速度 小球所受粘滞阻力与浮力之和与重力平衡，小球开始作匀速直线下落时的速度称终极速度 vT 43436?rvT? ? ?r? ?g? ? ?r? ?g332? ? ? ?2vT? ?gr9? ? ?液体密度 ? ?小球密度 常称 vT 为沉积速度。 压差阻力 当物体在粘性流体中运动时，其前方流体受到挤压，后方流体则出现松弛，从而使前方流体的压强增大，后方流体的压强减小，造成压强差。由此压强差引起的对物体运动的阻力称为 压差阻力。 1) 当物体运动速度较大时，压差阻力是阻力的主要n来源。压差阻力的大小 f ? ? v （n 1 ） 2) 压差阻力与物体前后流体的运