数列的压轴小题练习题和详细的分析解答(3)

1、数列的压轴小题练习题和详细的分析解答（3）1.数列满足©>0, 4+1=。；一凡+1,61<,5“表示数列51前项和，则下列选 项中错误的是（） 22A.若。<©<不则为<1B.若不vq<l,则/递减111、2C.若4=3,则S>4-2D.若4=2,则与皿力2 I% ；32 .已知数列而满足：。k0,4用=ln（/+l） / （0V*）,前项和为S（参考数据,1112M）.693, 1113HL099）,则下列选项中错误的是OA. %,i是单调递增数列，%”是单调递减数列 B. a+an<n3C. S202O < 666

2、D. ”2_】< a2n3 .设数列中，q:贝1J ()A.当 =，,。10>10B.当 =，,。0>1。2C 当人=一2,4。>1。D.当 =-4必。104 .已知函数/(x)ha+l)2,令/i(x)三八Cr),启1G)4；(X),若启COhSM+Mr+Cn),2a记数列 -7 的前项和为Sn,则下列选项中与S2019的值最接近的是()3579A.，B. 5C- 4D' 55.已知数列“中，cil=2,n(an-an) = ali + ,neNt ,若对于任意的ae-Z2jieN不等式也<2/+<-1恒成立，则实数，的取值范围为()n + A.

3、(yo,-25Lx0)B. (yo,-232,s)C. (o,-1u2,-ko)D. -2,26 .设 ”,Z?eR,数列“中， =,+ =。；+匕，"wN* ,则()A.当 = ；,0>1OB.当方=(,。01。C.当力=-2,为)>10D.当 =-4,可0>107 .设数列%满足q=0,册.产+l-c, wZ,其中C为实数，数列；的前项和是3,下列说法不正确的是（）A. c£O,l是。“£0,1的充分必要条件B.当c>l时，但“ 一定是递减数列C.当c<0时，不存在c使4是周期数列D.当。=时，Sn>n-78 .在数列q中，

4、q=a（aeN'）, %=<非，九4为偶数（可），则下列结 匕019 +g,若勺为奇数？论成立的是（）A.存在正整数。，使得q为常数列8 .存在正整数。，使得q为单调数列C.对任意的正整数。，集合q/£N'为有限集D.存在正整数。，使得任意的1、“eN*,当团。时，心。为数列的压轴小题练习题和详细的分析解答（3）9 .已知数列“中，© =2,(+-)=凡+1,£N' ,若对于任意的ae-Z2lneN不等式也<2/+<一 1恒成立，则实数，的取值范围为()L 77 + 1A. (yo,-2dL+co)B. (yo,-232,

5、一)C. (co,-1<j2,-i<o)D. -2,2为- 14 >11则下一,0<% <110.若数列 M 满足:存在正整数T,对于任意正整数都有为+7=成立，则称数列% 为周期数列，周期为丁.已知数列qj满足4=加（加>。）， 列结论中错误的是（）A.若%=4,则小可以取3个不同的值;B.若加=0,则数列“是周期为3的数列；C.对于任意的TeN*且叱2,存在/>1,使得%是周期为了的数列D.存在?丘。且m22,使得数列“是周期数列1.数列满足©>0,=。；-凡+1,61<6表示数列；5 前项和，则下列选 项中错误的是（） 22

6、A.若。<©<不则为<1B.若不vq<l,则/递减111、2C.若=不，则5“>4 -2D.若=2,则与侬>工21%；3【答案】D【解析】【分析】对于选项A,令于（X）= d-X+1, =W（O,1）,利用导数求出/（力£（0,1）即可；对于选项B,首先得到出|X t4,1）时有v J （"） v /（1） = 1，然后结合g vq <1和a, </可得出勺递减：对于选项C,证明-!->4 -即可；对于选项D,证4I”向 aJ/ 明一<1即可. % 61% 力【详解】对于选项A,令/（1）=犬3一1+ 1

7、, X£（O,1）则/'（力=3/_1,所以“X）在（。，4上单调递减，在f ,1）上单调递增因为O)= 1J =1->0,/(1) = 1,所以/(力40,1)所以当 el O,1jc（0,1）时为 < 1,故A正确对于选项 B._4 =； _24 +1 =(% -1 乂* +4 -1)因为二 <卬<1,所以aJ+q-l>0,所以小a1 3因为 f (x) = d X + 1 在/7 )?上单调递增,所以当时有曰 </(曰)< /(x)< /(1) = 1% i、i1 2>/3所以 a1> >>

8、1;,>>« > 1 -> ，1-393所以递减，故B正确对于选项C,令g(x) = x32x + i,x>0则 g'(X)= 3/易得 g(x)mm=g»券>。944所以 un +1 > 0 ,所以 一 a +1 > 二 a，即 a+1 > a所以工>4所以s.=LL.J% 七 4>4 +43 aJ+4=4w+l-L-24*2所以§“=； +21 - 61 i 2 /1 %"16W q故C正确 对于选项D,因为 =2,所以向一4=4-24+1=(4/一2"，+1>

9、0所以q出 >q2(q一1)2q2之4令 /?(%) = x3 -8x+1/ > 4，则力'(工)=3x2-8易得力(%)>(4)>0,所以：一84+1>0,所以%3-/ + 17凡，即4用>7所以力+1 7._ . . . .( 1 1 < -H H；2 aj 6(%故D错误故选：D【点睛】本题考查的是数列的综合问题，解答的关犍是结合导数的知识，构建合适的不等式，属于难 题.2.已知数列斯满足：«i=0, «n+1=ln（ea-+l）-an （WeiV*）,前项和为S”（参考数据:ln2M）.693, 1113HL099）

10、,则下列选项中错误的是。A. %,i是单调递增数列，为“是单调递减数列B. a+an+l<n3C. S2S0 <666D. a2n- < a2n【答案】C【解析】【分析】设废=（，则有"+1»“="+1，"+1=与，构建且（工）=生，求 bn% +1X+导分析可知导函数恒大于零，即数列出，也1都是单调数列，分别判定4也 >如即得单调性，数列«）与数列2的单调性一致，可判定A选项正确：B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误：D选项利用数学归纳法证分两边证么1<正;<仇“， 2即可证得。22 <a2n

11、-【详解】由题可知，“1=0,q+ =ln（e"“，a2 =ln（e°+l）-0 = ln2,4 , b +12b“ +1设* = b”,b“>0 ,则有也=* + 1也.I =,即翘+2 = /工斤令8（力=生?，则g'（x）= 717>°，这里将（%也），（。也+2）视为g（x）上的前 Ail（八十b - b后两点，因函数g（x）单调递增，所以产产>°，一 -2所以数列4”,初2”.1都是单调数列又因为=e° = l,同理可知，所以抄2.t单调递增，物2单调递减因为数列q与数列色的单调性一致，所以%z单调递增，也”

12、单调递减，故A选项正确：因为 6, = bn,则 a = In a ,欲证 an+ % = in bn +ln Z?n+1 =ln(/?- /?1+1)<In3,即bn - b八+、<3 =>bH+< 3 => bn < 2由b”+1=，上式化为与口42 =1之1, Dn显然,2 = 2时，仇=1,当之3时，2_|=与山>1,故成立； 5-2所以原不等式成立故B选项正确：欲证 a” + an+l + 勺+2 之 In 3 ,只需证 In bn + In % + In bn2 N In 3,即 In (2 % - Z?r+2)>ln3即*%也+2之

13、3 = " 桨汽33 = 24+123 =仇；1,显然成立 a a+i1998故 an + 4+ + 4+2 2 In 3 > 1,所以 5202a > SI998 > x 1 = 666故C选项错误：欲证的2</.，因单调性一致则只需证2 <%”，只需证A正土1<"工一1<iri因为=1<史上1,若" V史二！，则'22_(l+l_11 一下+ 12又因为4=2>母，若打”>其二！，则 22%=2 = 2，>2_ J 与- M + lb2n+l垦l + i2 :2由数学归纳法有,则叼 &l

14、t;小”成立一 -1故D选项正确.故答案为：C【点睛】本题考查二阶线性数列的综合问题，涉及单调数列的证明，还考查了分析法证明与数学归纳 法的证明，属于难题.3.设数列“中，4 =,%+ =。；+匕，,贝1J（）A.当 =I,%。> 10B.当方= L，4o>1。2C.当人=-2,/。>10D.当 =-4"%>10【答案】A【解析】【分析】对于3,令W 一义+ 1=0,得入=1,取a =1,得到当时，aioVlO；对于C,令 4224入-2=0,得人=2或人=-1,取ai=2,得到当/?=-2时，o<lO：对于。，令-人-4=。，得八/1%小匕/得到当加=

15、-4时，awVIO：对于A,2 2="+片+*+1 ' 2+,=匚>1, 42 16 2 16（I一 3"3770当，4时，上="“ 2 >十7=彳,由此推导出二,（彳）6,从而”o>7T>10 品+ - -2 24264【详解】对于3,令/1 + !=0,得人=1, 42取"1 =于=1<10，当b= 一时，"ioVIO,故8错误； 4对于C,令X2-入-2=0,得入=2或入=-1,取凹=2, ,“2=2,，4=2V10,.当、=-2时，切0<10,故C错误；对于。，令炉-入-4=0,得力J土后,2

16、.当/）=-4 时，“io<1O,故。错误;对于A, 2+U/=面+4+1二, 2 222 4%="+/+为+4242 161 17H=一2 16、与24时，一"=421 + = 1品 +-2 2'”>3 a4 2,，一 > （二）6, .必0>1。.故 A 正确. 出 264&.>?.。92故选月.【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步 讨论。的可能取值，利用“排除法”求解.4.已知函数/Gr）NX（X+l）2,令（X）,若1/。）=（。/2+姐+0）,记数列 卢L ）的前项和

17、为Sn,则下列选项中与S20I9的值最接近的是（）【答案】A【解析】【分析】2a 21经过求导可得：“产1,为二2，Cn=H (h+1) +1.所以一丁 = 丁7 =)"7通过放缩，2G勾 2一+2/厂+ 1利用裂项相消法求和，即可得解.【详解】由 f (x)(x+1) 2=rv (a2+2x+1),得力(x) =f (x)=e。(/+4x+3),fi (x) =6* (x)=(,F+6x+7),fi (x) =fi (x) =T (x2+8x+13), Jn7 (x) =fn (x)="，+2 (n+1) x+(71+1) (n+2) +1. 又力(x) (“N+bjK+

18、Cn)， a”二 19, Cn=，？( +1) +1 .2q, _2_ 12c“ - % 2n2 + 2 - w2 + T2a11111= ;< -r < :-=令”王丁,寸心旷力;"Ah 1 + + 一 = < 一22) 2 3) n -1 n) 2 n 23 工与S刈9的值最接近的是M.故选：A.【点睛】本题考查了求导，数列放缩法求和，同时考查了裂项相消法，考查了计算能力和转化思想, 属于难题.5.已知数列4中，4=2,(3m一&) = * + 1,£%.,若对于任意的。目2,2,£N"不等式也<2/+,-1恒成立，则

19、实数，的取值范围为()A. (o,-2kjl,-K>o)B. (»,-2卜2,笆)C. (,-1u2,-k>d)D. -2,2【答案】B【解析】【分析】a . a 111先根据题意，对原式进行化简可得一一=/、=->然后利用累加法求得n + n ( + 1) n n + 3=3-，然后不等式 <2/+一1恒成立转化为2产+( 123恒成立，再利 +1/7 + 17J + 1用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题,(«田一凡)=q +1 =>4+| = ( + )a +1,n ""+】“一1 11/由累加法可得：&

20、;= /? + l n + 叩- J1 1)+(1 即十n + 1 n n + lj n-对于任意的a g-2,2,/z g N即2产+ m1之3 = 2产+ af-令 f(a) = 2r +at-4 = at + 2i可得/(2)之0且/(2)2 0?+/-2>0 ”1 或f W即 r-r-2>0卜 N2 或 Qn ) n n-) 21 ) + . + 1- 1 + 2 = 3<3 n)( 2) +1不等式&±L < 2r + m -1恒成立 n + 4>0l -4, (a 2,2)-2可得IN2或，工一277 + 1 n 72 (7? + 1

21、) n n + 故选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的 关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.6 .设 a,btR,数列“中，4=；+，mN* ,则()A.当=B.当Z? =(Mo>lOC.当人=-2,%0>10D.当 =-4,“I。>10【答案】A【解析】【分析】若数列%为常数列，3o=%="，则只需使4<10,选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程rx + = 0,看其是否有小于等于10的解选项B、C、D均有小 于10的解，故选项B、C、D错误,而选项A对应的方程没有解

22、，又根据不等式性质，以及 基本不等式，可证得A选项正确.【详解】若数列% 为常数列，则« =4=4,由%* = 4； + b ,可设方程x? - x + Z? = 0选项 A： =，时，x2 - x + = 0 , 222 = 12 =1 <0»故此时4不为常数列，.n9>(V2)7rt2>4>/2, KiJo >aj >16>10,故选项A正确;选项 B： b 时，a+i=q；+L，a:2 - x + = 0 , 444则该方程的解为x=L, 2即当 = _!_时，数列也,为常数列，a=-,22则qo=4vlO,故选项B错误： 2

23、选项 C： = 一2时，x2 -x-2 = 0该方程的解为x = l或2,即当。=一1或2时，数列q为常数列，勺=-1或2，同样不满足°>1。，则选项C也错误；选项 D： = -4 时，八二x 4 = 0该方程的解为=上也， 2同理可知，此时的常数列也也不能使Ro > 10 ,则选项D错误.故选：A.【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研窕函数的不动点，进一步 讨论。的可能取值，利用“排除法”求解.7 .设数列%满足q=0,册”=c*+l-c,其中C为实数，数列；的前项和是S”，下列说法不正确的是（）A. C6 0,1是。“£0,1的

24、充分必要条件B.当C>1时，“ 一定是递减数列C.当c<0时，不存在c使%是周期数列D.当。=白时，Sn>n-1 4【答案】C【解析】【分析】利用条件以及数学归纳法说明A成立；结合类推思想说明B成立：利用零点存在定理说明存 在C使%是周期数列，即C错误；利用放缩法说明D成立.【详解】若则/即必要性成立:若c£OJ,则。2=l-ce°假设=以人1,攵e")时，/e(M则=k +1 时，a“+i =co： + 1-c e(l -c,lc0.1因此。£0.1时，q, e 0,1,即充分性成立：故A成立；c >1,> = ex3 +

25、 -c 单调递增,.,q =0,.2 = I -c <0/. fr3 = f(a2)< f(a1) = l-c = a2同理。4= f (%)</&)=。3,依次类推可得。向<%，即4一定是递减数列,故B成立；当 cvO 时，q =O,:.a2 = 1 - c > 0 /. «3 =c(I-c)3 +1 - c < 1 - c = n2由 % =0=>c(l-c)2 +1 =。，令 g(c) = c(lc)2 +ljg(-l)<0,4(一；)>O，g(c)存在零点，即存在。使“是周期数列，即C错误：当 c = g 时，4*

26、 = /；： + "“"+1 -1 = ：(“； - 1) =- 1)(% + an +1), 4444414Q由 A 得为 e 0J ,所以t/r+l-l>-(-1)(1 + 1 + 1)> (%_1 1)之N(0-1)«)， 444q田之 1 一3),21 -Q)t(心2).4 > 1 -2(二严(心2) 444o r / o、一广41 4,=;? -1 - 2 x > n -7,(n > 2)7 3 VS >，-1 2 + 4因为 =1时，=0>-7,所以工>-7,即D成立；故选：C【点睛】本题考查数列周期、数

27、列单调性、等比数列求和、零点存在定理、数学归纳法，考查综合分析论证与判断能力，属难题.8.在数列口中，1=<为偶数（亡N）,则下列结匕019 +,%若勺为奇数？论成立的是（）A.存在正整数。，使得q为常数列B.存在正整数。，使得q为单调数列C.对任意的正整数。，集合3”IeN'为有限集D.存在正整数。，使得任意的加、neN*,当?。时，吟。为【答案】C【解析】【分析】对。分奇数和偶数两种情况讨论，根据生="是否有解可判断A选项的正误：对。分奇数 和偶数，结合递推公式，说明两种情况下数列凡的单调性，进行推理，进而判断B选项 的正误：设。<4,利用数学归纳法证明出数列

28、q有界，进而可判断C选项的正误；由 列凡有界可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A,若。为偶数时，出=,=，4 = 0不符题意， - 2若。为奇数时，/ =2019 + ”=”无解，故A错；对于B,若。为偶数，的=,6，/>/，若q为单调数列，即为递减数列，2而4H4= ；4，%可以为奇数，此时4+1=2019 + /, q不满足递减数列.若。为奇数，%=2019 + %, / >，若%为单调数列即为递增数列，而3=；0，。2>3，q不满足递增数列，故B错；:与,若为为偶数？乙2019 +4,若4为奇数:不妨令（其中2是一个给定的正整数），id/= max2,20

29、19）,若勾=。为奇数，当 =1、2时，成立, /=" + 2019为偶数，4丸+ 2。1942f成立,假设当 =k时，若取是奇数,则%"若勺是偶数,则那么=4+ 1时，若%是奇数，则4n=%+2019是偶数，。一«2f；若为是偶数，则 若此时4川是奇数，则满足若知X是偶数,则满足人即=4+ 1时结论成立;若="为偶数，当 =1、2时，成立，生% « 21成立.假设当=攵时，若见是奇数,则,"若或是偶数,则4T21, 那么 = A + 1时，若%是奇数，则%川=%+2019是偶数，若巴是偶数，则 若此时4川是奇数，则满足q7 W/,若

30、怎,是偶数,则满足见、4f 4 2,即M = %+ 1时结论成立.综上，对任意的正整数。，若/为奇数，则为，若小为偶数，则/ W2f,所以，对任意的正整数。，集合4七N;为有限集，故C对:则当一口，集合q对于D选项，当7H时，火“。4r，即各项的数值各不相同,有无穷多个元素，这与q有上界矛盾，故不符合，故D错.故选：C.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，综合考查了数列的单调性等相关知识，考查推理能力，属 于难题.9.已知数列4中，4=2,“（4川一4）=%+1,亡%.,若对于任意的4£2,2,eN*,不等式- <2+4一1恒成立，则实数f的取值范围为（）H + 1A.B. （

31、口,-2N2,一）C. （-132,讨）D. -2,2【答案】B【解析】【分析】”“+1 册111先根据题意，对原式进行化简可得一二一一n=；，然后利用累加法求得H + l n n（n + ） n + 14=3-:，然后不等式也 <2产+<一1恒成立转化为2产+,-1N3恒成立，再利 +1n+1用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题,“（0出一可）=q+1=>4+| =（ + 1）q+1ip -=77 + 1 n + n n + 由累加法可得：%+n + < +1 n ) n n- ) 21 )<2/+ 6"-1恒成立对于任意的4£2,2,wN，不等式巴辿 l n + 即 2产 + s 1 之 3 = 2/ + r4 N 0令/(.) = 2 /+-4 = + 2/24,«£2,2)可得”2)2 0 且2)2 0r+r-2>0 fr >ls£r<-2r-r-2>0d2 或/<-1可得出