随机变量及其分布(精)

1、第二章随机变量及其分布本章要求1. 掌握随机变量的概念(包括离散型和连续型)；2. 会求离散型随机变量的分布律；3. 熟记离散型分布中常用的二项分布、泊松分布的分布律;4. 熟记分布律和分布密度的性质；5. 深刻理解分布函数的定义和性质；6. 熟记几个常用的连续型分布，尤其是正态分布；7. 会求随机变量及其函数的分布函数。内容提要与疑难解析一、一维随机变量及其分布1. 一维随机变过量的定义设E是随机试验，它的样本空间是 S=e，如果对每一个e s,有唯一的一个实数X (e)和它对应，这样就可以得到一个定义在 S上的单值实函数X (e),称为X (e)为 随机变量。简单的说，随机变量一一表示随机

2、试验结果的量。注：随机变量与普通函数有本质的区别： 随机变量的取值是随机的，因而它的每一个可能值都有一定的概率。 它的定义域是样本空间S。而S不一定是实数集，普通函数是定义在实数轴上的。 对于任意实数X，概率PXW x都存在； 联系于某特定的随机试验 E的事件，可以用随机变量作工具来描述，这称为事件的 数量分。即用X (e) 来表示任意事件(IR)。2. 随机变量的概率分布设X是随机变量，则它的取值规律(即可能取哪些值，取这些值的概率分别是多少)称 为X的概率分布。通常用分布函数、分布律或密度来描述随机变量X的概率分布。3. 分布函数的定义及性质设X是随机变量，x是任意的实数，贝U称函数F(x

3、)=PX乞x为X的分布函数。注意：F(x)是一个普通实函数，它的定义域是整个数轴，所以求分布函数F(x)时,要对x在整个数轴上，所以求分布函数F(x)时，要对x轴在整个数轴上的取值来讨论。 F(x)的值域是0、1性质：F(x)单调不减，即若xi ：X2则F(xJ岂F(X2) 0<F(x)<1，且 F(-：) = lim F(x)=O,F( ：)im F(x)=1J沖x_/hc F(x)右连续，即F(x 7) =F(x) P ： X mxz =F(xJ F(X2)、离散型随机变量及其分布1 定义若随机变量X的取值是有限的或可数的，则称 X为离散型随机变量，它的分布称为离散型分布。若设

4、X的所有可能取值为 知X2,川，Xk,IU,则称PX= xk=Pk(1,2JM)为X的分布律。通 常用表格式表示分布律。XX1X2LXkLpP1P2LPkL2. 分布律的性质:0乞卩山1(k = 1,2|)QO V Pk =1k 43.分布函数为:F(x)八，Pk，这里和式是对所有Xk$4. n个常用的分布(1) ( 0-1 )分布 X的分布律为 贝努利试验，二项分布。X01p1-ppXk 一 x的k求和的。设试验E只有两个结果：A和A，P(A)=p，P(A)=1 - p=q，将独立地重复地讲P，则在n次试验中A出行n次，则称这一串重复的独立试验为 n重贝努利试验。 在n重贝努利试验中，事件

5、A在每次试验中出现的概率为 现的次数为随机变量X,则X的分布律为PX =k =C：pk(1 p)n=，(k=O,L, n ,cOp<1并称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X : b(n, p)。(3) 泊松分布¥k -X的分布律，PX =k ek =0,1,2,|, 0，称X服从参数为的泊松分布。记为 k!X : p( ')注意：（1凡只有两种结果的试验都可以用（01）分布来描述。（2）二项分布是十分重要的分布，当n=1时，二项分布是（0-1）分布；当n:，k!二项分布以泊松分布为极限。设np = - （ 为固定常数）则有lim pX 二 R = lim C：

6、pk(1 - p)n丄n 厂n 厂” k九当n很大，p很小（一般n _10,p乞0.1时）c：pk(1 - p严 (一 np) k!泊松分布的有表可查，比用二项分布的计算简单些。例1商店订购1000甁汽水，在运输途中瓶子被打破的概率为 0.04，求商店收到破汽水甁（1）恰有两甁的概率；（2）多于2甁的概率；（3）至少有1甁的概率。解：（1），恰有两只破甁的概率为：（X表示收到破汽水甁数）二np =100 0.04 =4恰有两只破瓶的概率为：（X表示收到破汽水瓶数）PX =2e* 422!0.1465（2）损坏瓶子多于2瓶的概率PX 2 = 1 _ PX = 0 _ P X = 1 - P X

7、= 2=-424e 41 -e -4e0.7618972!e* 42（3）PX -1 =1-PX =0=10.98170!三、连续型随机变量及其分布密度1. 定义： 设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在f（x）_0，使得对于任意的实数x有xF（x）亍（t）dt则称X为连续型随机变量，f （x）为X的概率分布密度（简称分布密度或密度函数）。2. 密度函数f（x）的性质：x（1）f（X）_0 ；（ 2）-f （x）dx 二1 ；(3) Pxi : x ：必 = f (t)dt ;x1(4) 若在点x处连续，则F'(x) = f(x);(5) 连续型随机变量取某一数值:的概率为零，即pX

8、3. 几个常用的分布(1) 均匀分布：X在a,b上均匀分布，它的分布密度是1,a岂x乞b f(x) = b -aI0,其它(2) 正态分布(又称高斯分布)：X的分布密度：)1(x _)2f(x)exp 2 其中.* 是常数，且二0简记为X : N(.L,二2)。当=0卫=1时，X : N(0,1),称为标准正态分布。它的分布密度(x)、分布函数叮(x)如下:(x)二(3) 正态分布具有下列性质： f(x) 0，且f (x)具有各阶导数 f (x)dx =1 f(x)在 C)递增，在(j：)递减。在x=处达到极大值；丁2兀这一性质说明X的取值密集在丄附近，丄表示X取值集中的位置，；表示X取值集中

9、的 程度。f (x)的图形关于x = 1对称，这说明X落在x ： -与x 二的相应等长区 间的概率相等，当 X : N(0,1 )时，：:q-x) =1-G(x)。如果匚固定，改变J的值，f(x)的图像沿ox轴平行移动而不改变形状1如果固定，改变二，由于最大值为f(l)，可知匚越小，图像越尖，因而落72°在"附近的概率越大0F(x)2 二厂x.严耳Hdt=(J)2 -通过此性质可把一般正态分布函数化为标准正态分布函数，然后查标准正态分布表求 概率，不必积分。正态分布是概率论中最重要的分布，在实际问题中的许多随机变量都服从或近似服从这 种“中间大，两头小”的正态分布，如，测量

10、一个零件长度的测量误差，人的身高或体重设X : N(0,1)，对给定的：.(0“：1)，若数，.满足条件PX ，即：.：() =1 一:，称亠为n(0,1)分布上侧分位点。(4) 指数分布：X服从参数为的指数分布，它的分布密度为f(X)=«Zepx 臭 oI 0,x<0四、一维随机变量函数的分布1. 定义：设g(x)是定义在随机变量X的一切可能值的集合上的连续实函数，则Y=g(X)也是一个随机变量。每当变量X取值丫就取值y=g(x),并称丫为随机变量X的函数。2. 离散型随机变量的函数的分布设X是一个具有下述分布律的离散型随机变量：Xx-ix2LxkL£ Pk = 1

11、k吕PP1P2LPkL已知Y=g(X)，则丫也是一个离散型随机变量，具有分布律。Yg(xjg (x )Lg (x )LPP1P2LPkL(当g(x k)中有相同者时，应将有关Pk合并)3. 连续型随机变量的函数的分布密度设X是一个具有概率密度为f(x)的连续型随机变量，又设y=g(x)处处可导，则Y=g(x)是一个连续型随机变量，求 丫的分布密度fY(y)。|fh(y) h (y)<y <PfY(y)=<0, 其它其中 h(y)是 g(x)的反函数，：二 min g(_：, ：),max g(_： , ：)。 若y二g(x)在不相重叠的区间上逐段严格单调，可用上述公式，逐段求

12、分布密度然后相加。先求丫的分布函数FY(y)，Fy(y) =PY 曲二 pg(x)曲然后对其微分，可求得丫的分布密度:f(x)dxg( x)胡fY(y) *Y(y)注意：(1) 若容易求出X的密度函数的原函数，X和丫的关系又是线性关系，用从Fx(x)到Fy(y) 的办法来求丫的密度。x0 w x 疋 4 例2设随机变量X具有要概率密度 加)=8,00,其它求随机变量丫=2X+8的概率密度。解: FY(y) =P'Y _y ；=P'2X 詔一丫 二PXy-8x2y -82亍=40 64y 一83心丫"七(8<y<16)(2)若不易求出X的密度的原函数，X和丫

13、的关系是非线性关系，用对FY(y)的上限函数求导的办法来求丫的密度。例3已知X的概率密度仏)=丄。仓V'2n,(-： ：x ：'=)，求 Y= X 2 的概率密度。解:F(y)P=< ,y-疋£2=efy25ee兀0 ： y ：fY(y) - FY (y)e2 兀2jy v 2iy(3)在上述的条件下，也可以用变量代换方法求丫的密度。i_x2FY(y)=20y e 2 dx，为使积分上限为y，则应令x= it,dx=一.一一02、tdt（4）若不容易求出0 ： y ：:X的密度的原函数，X和Y之间有单值的反函数，贝U用从fx（x）到fY（y）的办法，最方便，但条

14、件严格。例4设XN上2，求Y=bX+c才的分布密度，其中b、c是两个常数。（b = 0）解：方法一：丫和X之间的关系：y=bx+c，其反函数是x=11xyyb，而亍，则(x J2 e 一戸JICFfY(y)"y -cb|*Xy(上 _J2b2：乎(y _c-b)22;乱2-:y ：亠.方法二：本题利用先求FY（y）的方法有当 b>0 时，FY(y)_y-PX c_y.； =PX <y-cy -c-b： ,.27：c(x_J2(鼻 J2L 2_( b FJy-k)2fY(y)二 Fy(y)疋匚二一1心12兀b bal2jr当 b<0 时，FY(y) =P*Y _y丄P

15、'bX c_y =y-cb(x_M)2=e 2亍 dx'b . 2二:二（斗2 一 b fY（y）=FY（y）=-e后备：2咒石把 b>0 , b<0 合并：fY (y) 口F 、(y -cb)2_! =1 c 2cFb2I b .丿(y c b)2b-. 2 -从此例可以看出Xy的道理。典型例题本章解题应注意事例：（1） 若分布函数中含有待定的常数，则该常数的确定是利用Fg的性质：lim F（x）=0 或 lim F（x）=1 或 F（xo）= F（x）。Xx_.（2） 若分布密度函数（x）中含有待定的常数，则该常数的确定是利用（x）的性质:f(x)dx=1 或(

16、离散性)k 0（3）若随机变量为连续型，则PX =0（4）求离散型随机变量分布律的程序: 找出随机变量X可取的值； 写出对应于各取值的事件的概率； 验证各概率之和（即 'plx *）是否为1,是1,正确；不是1,则不正确。k=0（5）离散型随机变量的分布函数一定要用分段函数表示，其图形是由连续的阶梯曲线。（6） 若随机变量是连续型的，由分布函数F（x）求其分布密度（x）;只要在相应的区间段将F（x）对x求导即可，即F（'x）二f（x），而端点值不必处理，最后将lx）写成分数函数形式。、 ”x由分布密度f（x）求分布函数F（x），只要在相应的区间段把F（x）写成：F（x）= Lj

17、 ®（x）dx卫cxcbj， 最后将F（x）写成分段形式。例1盒有形状与功率均相同的10个灯泡，其中7个螺口，3个卡口，灯口向下看着看不见, 现要用1个螺口灯泡，从盒中任取一个，若为卡口的就不再放回去，求取到螺口灯泡前已 取出的卡口灯泡数X的分布律及分布函数。解：X的可能取值为0，1，2，3,上古典概率知P*X =07,PX =13-1010 930故其分布律为P 葺牴普吩广3P =1Jk=3Q x c 0F(x)1|Z,0x<110r0.71428<,1兰X£230o123 x119,2兰x c31201,x _3由公式F&)= a Pk有X芒k例2设

18、有一批同类产品共 出的n件中所含次品件数 含次品数的分布律。N件，其中次品为M件，从中任取n件(假定n兰N),试求取X的分布律。若n件产品是有放回地一件一件取出，n件中所解：(1)从N件产品中一次任取n件，则S含有CN个基本事件，用表示取出的n件含有k件次品，则kn _kP，x二心Cm严cN(超几何分布)K=0,1,2，门勺,其中 n 1 二 min "M , nf(2)有放回地一件一件抽取n件产品属n重贝努里试验，含次品数X服从二项分布。每次 试验中取到次品的概率为。PN故 p x =C；k(M)k Y -M)n±,k=0,1,nNN例3有一繁忙汽车站，有大量汽车通过，设

19、每辆车在一天的某段时间内出事故的概率为0.01，在某天的该段时间内有100辆汽车通过，问出事故的概率不小于 2的概率是多少？ 解：这可以看作n次独立重复试验，n=100,每次试验中事故出现的概率p=0.001,np=0.1。因为一般地，当np<5时，就有b(n,p)：、p( J用泊松定理来计算， =0.仁0.1。P X _2丄1 -P'X d-P'X =1 丄1-ea -。.订1 =0.0047例4设随机变量X的分布函数为:F(x)二 A Barctanx,: x :试求：(1)系数A与B; (2) X落在(-1,1)内的概率；(3) X的分布概律。 解：(1)由于 F(

20、.：)二 0, F( ： ) =1，可知nA B( )=0、2 11:A , B =- 兀2兀A B( ) =12“ 1于是，F(x'arctanx,：x ：。(x)2 兀31(2)P-1 ,X ：；= F（i） -F（ J）=(-arctan1) _ 1丄 arctan(_1)2 ' |-2: 11二11-：.1( )=2二42二42(3)：Z(x)11 ' 1=F(x)= (arcta n x) x22 兀兀(1 +x )-：:x :例5设连续型随即变量X的分布函数为:Q X £0F(x)=Ax ,0 Wx c11,x _1试求：（1）系数A ; （2）

21、X落在1+及内的概率；（3）X的分布密度Pr:x:2 =F 一 fG"1©(3) f (x)二 F(x)=2x,0 Mxc10,其它解：(1)由于F(x)的连续性，有lim F(x) =F(1),即 lim AxP*一1 vx W卜F("2)F(一1)=(f)2 一0 =* =1= A=1X1 -0,x <0F (x)=x2,0 兰x c11, x >1例6设随机变量X的密度为:f (x)二 Ae tx , -： : x ：试求：（1）系数 A ；（ 2） P：X <1 ?；(3)X的分布函数。解：由于:f(x)dx=1=Ae 卅dx=2Adx

22、=1故 2A =1= A =2(2) P%cxc1=0f(x+x1 、1心1=-e dx = 一( 一e ) 2 2(3) F(x)= .xe弱dx二 21 _10 -4 -e0.3161 xe2_(2 'rt1 x x当x : 0时，F (x)e dx =21 o当 x_0 时，F(x)=_exdx2 J-20故x的分布函数为:F(x)詔1 x2e ,x :：o1 一 _e = x _ 0 2例7设k在(0, 5)上服从均匀分布，求方程4x2 4kx k 2 =0有实根的概率。解：要是方程4x2 4kx k2=0有实根，必须=(4k)2 -4 4(k2) =16(k2 _k _2)

23、=16(k _2)(k 1) _0解得：k _2或km1已知k的概率密度为1厂，0ck <5f(k)二 50,其它故有 pk 32=严f (x)dx =dx = 3 +0 =322 555P債兰_1 = jf (x)dx =0,所求概率为P匸 _2? P*k _-1 仝 0=355例8某种型号的电子管的寿命X (以小时计)具有以下的概率密度:f (x)10002x,x 10000,其它现有一大批此种官子(设各电子管损坏与否相互独立) 大于1500小时的概率是多少？，任取5只，问其中至少有2只寿命解：PX>1500=:10001500：厂dx 二1000 化 1500x设用丫表示5只

24、零件中所含X>1500的只数，贝U Yb(5,2),于是3110232243243243222PY _2 =1 PY ：2 =1 PY =0 PY =1 =1 -(1)5 C1()(1)4 =13 33例9假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t的泊松分布。(1) 求相继两次故障之间的时间间隔 T的概率分布？(2) 求在设备已经无故障工作了 8小时的情形下，再无故障运行 8小时的概率Q。(1993年考研题)解: (1)因为N(t)为时间间隔t(t0)内发生故障的次数，又T表示相继两次故障间的时间间 隔，所以T>t时，必有N(t)=0，(即不发生故障)于是

25、F(t) =PT 汎 =1 _PT t =1 _ PN(t) =0 =1f （t） =F（x）=e-X（t兰0）,故T服从指数分布(2) Q =PT _16|T _8二PT _16,T _8PT _8PT _161 -PT ：:161 - F(16) eJ6'PT _8 = 1 - PT : 8 = 1 一 F(8)二 e*'例 10 设 X N(3,22),(1)求 P2cX 兰 5, P4cX <10, PX|>2, PX >3(2)决定 C 使得 PX>C=PX <C解：(1) XN (3,2 2)5 _32 _ 3P2 ：X 乞5=：()一

26、 ：()=G(1) _G(_0.5) =G(1) _1 _G(0.5) =0.53282 210_3_4_3P -4 X ：10 -G()-：()-G(3.5) -6(35) =2：G(3.5)-1 =0.99962 2P| X | 2 =1 - P -2 _X _2 =1 - ：(-0.5) -：(-2.5) =0.69773 _3PX 3 =1 PX _3 =1 -() =1 -G(0) =0.5(2)由PX C =PX _C得1 PX _C =PX _CPX _C即有:(C 3)=丄=C 3=0=c=32 2 2 2例11假设测量的随机误差X N(0,102)，试求在100次重复测量中，

27、至少有三次测量误差 的绝对值大于19.6的概率：，并利用泊松分布求出：的近似值，(要求小数点后取两位有效 数字)。(注：1992年考研题)解：P| X | 19.6 =1 一一19.6 _X _19.6 =1 - ：(空 0)亠处(19) =2 - 2(19.6) =2 - 2 0.975=0.0510 10设Y表示100次重复测量中，|X|>19.6出现的次数。贝U 丫b (100，0.05)，由泊松分布 (二np =5)计算 PY _310099100 X 99982PY _3二1 P丫 =0 PY =1 -P丫 =2二1 一0.95100 -100 0.950.050.950.05

28、2 :52-51 -e° -5e_5 0.87查表得)2!例12设随机变量X的分布密度为A 2 ,当 A(1)由皿f (x)dx = dx =2Aarcsin xJ'1-x2 x L: 1 f (x) = < J1 _x0,当 |x|X11 1试求（1）系数A; （2） X落在（-,-）内的概率；（3） X的分布函数F（x）解:二二A =1= A 二丄712 2 p_2 ：x2=一 arcsin x兀x F(x) = _f(x)dx= 2arcsi nx丄 arcsi nx兀2当x<1 时，F(x) = 3dx=0 当1 Ex <1 时,F (x) = :%

29、二、1 x21 dx当 5 "二=丄 arcsi nxJIQ x < -11 1故 X 的分布函数为 F(x)= - arcsinx,-1x：12 兀1,x_2例13设随机变量X的分布律为X-2-1011/10P1/51/61/152/15求y=x 2的分布律解： PY =k二 PX = -k PX k, k _0,1PY =0=PXp :117PY =1二PX一1PX=1JJ76153011PY =4=PX- -2PX=20二552 2 PY =9 =PX 二-3 PX =3 =015151 1 PY =25二px = 5 Px =5 =010 10故丫的分布律为例14设随机

30、变量X的密度函数为f(x)0, X £02 试求:3-x2“ cx e ,x 二0Y014925p1/37/301/52/151/10(1)Y =2X 3;(2)Z =X3;(3)U =ln X的密度函数y _ 3(1解：(1)Y =2X 3,于是=2是单调函数，x,Xy :2 2y -3)2由fY(y)=f(空川Xy|=；写)3戸，y-30,3(2)Z =X2,于是 ZnX2,1 ' 1X1 ：，X2 :-2、. z2、z=.z或x2 = - z : 0故fz(z)皿)；AW3”)+ 0L=22、zgze=yA00,y 乞0y 3ye'yy 4y_2y«e

31、 e e e e e例15设随机变量x的概率密度为 的密度x(3) U = l nX,y=l nx, x=ey,xy =ey 故 fu(y) =f(ey)2x 0f (x )=；7,0 uxu昭，求 丫=$1 nX 的密度。 0,其它解：先求 Fy(y)，然后由 FY(Y)=fY(y)求 fY(y)。Fy (y) =pY_ydP©nXrcsin y 2x ,2 dx+二疋 2xL i -2 dxarcsin y 2JLFy (y)=(arcsiny). *(arcsiny)y2(二-arcsin y)(二-arcsiny)y2.12(二-arcsin y)arcs in ysmy *

32、二J -y2:2J-y2)2 1，0 ： y ： 1.2_ y二.1-fu (y)-2爲0,其它例16在半径为R，中心在原点的圆周上任抛一点,(1)求该点横坐标X的密度函数fx(x)；(2)该点到点(-R,0)的距离Z的密度函数fz(z)解：有关圆的问题，常以圆心角做参数, 设随机点M(x,y)的圆心角为，由题意可?2 = 2'-).x-arccos , 2R1一R2；21设日服从上的均匀分布，其密度为fK（0,）,0,其它（1）由几何知识有x=Rcosn ,该函数在（0,2"内非单调，在（0,二）内单调其反函数分别为1RCr2刁（0,兀)，x <R02 (0,2兀)，

33、x cR故 fx（x）= f（）+ f (62) 罠品R2 _r20,其它x <R（2）由几何知识，随机点 M到（-R,0）的距离Z为Z=2Rcos,朕（0,2n ）2该函数在为单调函数，其反函数为z 111v - 2arccos , 4, z : 2R2RR rT7?韶R2Z2屮一(示)1 1故fz(z)=丿2兀 J4R2 z2 上 vR0,其它考研题精解1,设在一次试验中，A发生的概率为P,现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为1-（1-P）;而事件A至多发生一次的概率为（1-P）l+nP（1-P）_2j（注1987年考研题）2,设三次独立实验中，事件A出现的概率相等，若已知A

34、至少出现一次的概率等于1927，则事件A在一项试验中出现的概率为1 （注：1988年考研题）3解：设事件在一次试验中出现的概率为，则有1（ 1p） 3=27，从而解得P=!3,设随机变量X的分布函数为0,若X c -1F(X)=P X <x?=蔦若若；1：10.8,右1 Ex <；31,右x 33则X的分布律为x-113px =x0.40.40.2（注：1991年考研题）解：由公式 P :X =x° .； = F X。0 F X。 0 算出P；X - _1 ；=0.4 0=0.4,p1x =门=0.8 0.4 =0.4P X =3丄1 -0.8 =0.24，设随机变量X服

35、从参数伟（2，p）的二项分布，随机变量 丫服从参数为（3，p）的二 项分布，若p ：X 一1冷则P罟。（注: 1997年考研题）。C A由于 P：X =0丄1 -PX _V=1,99解：故由 P?X =0f = c0p°q2 = q2,得q ,'2193 丿=2793从而P'Y _1；=1 -P丫 =0.；=1 -c0p°q3 =1 _q3 =1 -5，设Fi（ x）与F2（x）分别为随机变量Xi与X2的分布函数，为使F（x）二aFi（x）-bF2（x）是随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取。322（A）a =斗（B）a W5331 313（C）

36、a ,b（D）a ,b =2 222解：由题设，应有lim F（x） =1，又lim Lf1 （x）-bF2（x）-b,故a-b=1,经检验知应选（A） xt 说（1998年考研题）x ）：16,已知随机变量X的概率密度函数f（x）=丄e2-X，-:：x :，则X的概率发布函数Jx, x ： 0F(x)=<21 -djx _027,设随机变量X服从（0, 2） 上的均匀分布，则随机变量丫=X 2在（0,4）内概率分布密度解：y=x2 在 0<x<2 的反函数 x= . y 0<y<4Ffy(y) =fx J? (Jy )=2加八2丄厂2,0 I"1即fy

37、(y )= ,o cy v44jy8,若随机变量X服从均值为2,方差为匚2的正态分布，且P 2 ： X ：4丄0.3，则PX ：0丄02(注：1991年考研题)解：由于X的密度函数关于X=2位轴对称，故P X ：2 .；=：PX 2.；=0.5, P0 ：X ：2 .；=P(2 ：X ：4 .；=0.3从而 P X O； = PX ： ：-P<X ：2；=PX ：2?-Pd：x ：2.；=0.5 - 0.3=0.29,设随机变量X的概率密度函数，fx(x)=丄求随机变量Y=1-3X的概率密度函数fy(y)。(注:1988年考研题)解：Y的分布函数+ 301 H "y- -arc

38、tanyFY(y)二PY ：y1二P13、.X ：y/=P?X .1_yMP、X1 y3=2arcta ni n因此，Y的概率密度函数为fy y =ddy31-y2 : 1(1 -y)610,设随机变量X的概率密度为fx(x)=卢 公色0求随机变量丫二ex的概率密度fy(y)0, x<0(注：1995年考研题)解：Fy y =PY :：ylPex W当y<1时FyYA0，当Fyy二P?X：Lny；nye°dx时，因此丫的概率密度为d°.，y<ify(y=FY(Y*心dy11，从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗里遇到红灯的事件是相互独

39、立的，并且概率都是-，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律,5分布函数和数学期望。(注：1997年考研题)解：显然X服从二项分布B 3,2 , X的可能去职位0, 1, 2, 3;其概率分别为。'、-5 丿P*X =k ；=C 沱廿二f,k “1,2,33 ,5八5丿即X的分布律为x0123p2754P 368 :125125125125据上，可得X的分布函数为0, X : 027门 彳,0 _x ：:1 125F(xpx 兰x=81125,1 _x _21卫125,2 _x _31,x _1X的数学期望为E X J kPk 少kA512, 设随机变量X与丫均服从正态分布，X

40、 N：=42,Y N J,52 ,记，R =PX 乞4?,P2 =PY，：.a；5?则（A ）对任何实数4都有P =P2（B）对任何实数卩都有P1 <P2（注1993年考（C）只对4的个别值，才有R=F2（D）对任何实数4都有RaP2研题）解:由于（1 ）=1 （1，所以R = P2,故应选A13, 设随机变量X服从正态分布N：匕，二2，则随二的增大，概率P X -：；Y（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定（注：1995年考研题）解：P<X -円 c<t=Pf<1学=（1 ）_（_1 ）故应选 C14, 某仪器装有3只独立工作的同型号的电子元件，其寿命（单位 /小时）都服从统一指数1卄分布，分布密度为f（x）»600e600,若XA°I 0,若x乞0试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率:（注：19