数列常见题型总结经典

1、S (n 1)Sn Sn 1 (n 2)2n ,求数列| an |的前n项和Tn12n ,求数列| an |的前n项和Tn高中数学数列常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1.前n项和法(知Sn求an) an例1、已知数列an的前n项和Sn 12n 变式：已知数列an的前n项和Sn n2 练习：6、已知Sn为等比数列an前n项和，Sn 54, S2n 60 ,则S3n .一1、若数列an的前n项和Sn2n ,求该数列的通项公式。答案:an2、若数列an的前n项和Sn-an 3,求该数列的通项公式。答案: 23、设数列an的前n项和为Sn ,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn2 (n 1)2

2、n 1 (n 2)an 2 3n2Sn n2,求数列an的通项公式。4.Sn 为 an的前 n 项和，Sn=3 ( an 1),求 an (nCN+)2n-15、设数列 an满足a13a2 3 a3+3 ann(n N ),求数列 an的通项公式(作差法) 32.形如an 1 an f(n)型(累加法)(1)若f(n)为常数，即：an 1 and,此时数列为等差数列，则(2)若f(n)为n的函数时，用累加法.例1.已知数列 an满足a11,an3n 1 an 1(n 2),证明an例2.已知数列 an的首项为1,且an1 an 2n(n N )写出数列an =a1 (n 1)d .n312an

3、的通项公式.例3.已知数列an满足a13, an an 11(n n(n 1)2),求此数列的通项公式.3,形如包anf(n)型(累乘法)(1)当f(n)为常数，即:(2)当f(n)为n的函数时例1、在数列an中a11 q (其中 an，用累乘法.d n1,an ann 1q是不为0的常数)，此数列为等比且 an = a1(n 2),求数列的通项公式。答案：an练习:n 1,21、在数列an中 a1 1,an an 1 (n 2), 求 a n tf Sn o 案：a nn 1n(n 1)2、求数列a1 1,anInn-an 1(n 2)的通项公式。4,形如an -pan型(取倒数法)ran

4、1 sa例1.已知数列an中，a1 2, an-n-(n 2),求通项公式an2an1 1a1练习：1、右数列an中，a11,an1 ，求通项公式an.答案：an 3an 13n 22、若数列an中，a11,an 1 an 2anani,求通项公式an.答案:12n 15.形如ani can d，(c。，其中4 a)型(构造新的等比数列)(1)若c=1时，数列 an为等差数列；(2)若d=0时，数列 an为等比数列；(3)若c 1且d 0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 方法如下：设an1 A c(an A)，利用待定系数法求出 A1 1例1.已知数列an中，

5、a1 2, an 1 an ,求通项an.2 2练习：1、若数列an中，a12 ,an12an1,求通项公式an。答案：a2n 11222、右数列an中，a1 1, an 1 an 1,求通项公式an。答案：an 3 2 ()336.形如an 1 pan f(n)型(构造新的等比数列)0),则后面待定系数法也用一次函数。若f(n) kn b 一次函数(k,b是常数，且k 3例题.在数列an中，a1 一，20n 斗1 6n 3,求通项an. 2解：原递推式可化为 2(an kn b) an 1 k(n 1) b比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为2bn bn 191所以bn是一个等比数列，首

6、项 b1 a1 6n 9 ,公比为一.229.an911n1nbn (一)即：an 6n 9 9 (一)n,故 an 9 (-)n 6n2222练习：1、已知数列an中，a1 3, an1 3an 4n 2,求通项公式(2)若f(n) qn(其中q是常数，且n 0,1)若p=1时，即：an 1 an qn,累加即可若p 1时，即：an 1 pan两边同除以qn 1 .即：a4 qqn,后面的待定系数法也用指数形式。E包 1n ,q q qa令bn 七，则可化为bn 1 - bn 1 .然后转化为类型5来解， qq q 2例1.在数列3n中，a一，且an2an 1 3n 1 (n N) 求通项公

7、式an52n17 3n 13 2n1、已知数列an中，a12an an 1 (；)n ,求通项公式an。答案：an2、已知数列an中，a1 1 , an 1 3an 3 2n，求通项公式an。答案：an题型二根据数列的性质求解(整体思想)1、已知Sn为等差数列 an的前n项和，a6 100 ,则S11 ；2、设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和，一-,则自5.Tnn 3b53、设Sn是等差数列an的前n项和，若至 今则等 ()a3 9S55、在正项等比数列 an 中，a1a5 2a3a5 a3a7 25 ,则 a3 a5 。7、在等差数列an中，若S41, Sg4,则a”a18 a1

8、9 a20的值为（）8、在等比数列中，已知 a9 a10 a（a 0）a19a20 b ，则a99阚00题型三：证明数列是等差或等比数列A）证明数列等差例1、已知数列an的前n项和为且满足an+2sl - Sn 1=0(n>2),a1二1.求证：1是等差数列; 2SnB）证明数列等比例1、已知数列an满足 a11,a23, an 23an 1 2an(n*N ).证明：数列an 1an是等比数列;求数列 an的通项公式;题型四：求数列的前n项和基本方法：A）公式法,B）分组求和法1、求数列2 n2n 3的前n项和Sn.2.Sn 1 3(1)n(2n 1)3.若数列an的通项公式是an =

9、 ( 1)n (3n2),则 a1+a2+ a1o = (A. 154.求数列1, 2+ ,2B.3+1412 C. 12八114+-，n -82n 1D. 155.已知数列an是 3+2 1,6+22 1,9 + 23 1,12 + 241,，写出数列an的通项公式并求其前 n项和Sn.C）裂项相消法,数列的常见拆项有:1 n(n1 11()；k) k n n k7n 1 品；例1、求和:1S=1+ 1例2、求和:1.3、2D）倒序相加法,例、设f （x）2x1 x2，求：f （木）f (2X109)f©)E）错位相减法,1、若数列an n的通项an(2n 1) 3n,求此数列的前

10、n项和2.Sn 1 2x3x2 Lnnx(x 0)（将分为x题型五：数列单调性最值问题例1、数列an中，an 2n49,当数列n.f(i)f(2)Sn.f (2009)f(2010).1和x 1两种情况考虑）an的前n项和Sn取得最小值时，n例2、已知Sn为等差数列an的前n项和,a1 25, & 16.当n为何值时，Sn取得最大值;例3、设数列 an的前n项和为Sn .已知a1 an一*,an 1Sn3 , n N .（I）设bnSn3n,求数列bn的通项公式；（n ）若an1 2 an,nN* ,求a的取值范围.题型六：总结规律题5a 21 .已知数列 an满足an n(n 2,n

11、 N ),且an前2014项的和为403,则数列an an 1的前2014 an 15项的和为?2.数列an满足an+（1）n an =2n-1,则an的前60项和为?常见练习1.方程x2 6x4 0的两根的等比中项是B.2C.D.2、已知等比数列an的前三项依次为1,n34 2n2B. 4 3C.D.3. 一个有限项的等差数列,前4项之和为B. 1440,最后C. 164项之和是80,所有项之和是D. 18210,则此数列的项数为（）4. an是等差数列，S100S0,则使a0的最小的n值是（）B. 6C. 7D. _225. 右数列 1,2cos ,2 cos33,2 cos,LL，前10

12、0项之和为0,的值为（A. k -(k Z) B.32k -(k3Z) C. 2k 3(kZ)D.以上的答案均不对6.设 2a=3,2b=6,2c=12，则数列 a,b,c成A.等差B.等比C.非等差也非等比D.既等差也等比7.如果等差数列 an中，a3 a4a5 12,那么a7(A) 14(B)21(C)28(D) 358.设数列an的前n项和Sn则a的值为（(A) 15(B) 37(C) 27(D)649.设等比数列an的公比Sn ,则 S4a2A. 2B. 410.设Sn为等比数列 an的前n项和，已知3S3 a43S2a3 2 ,则公比q (A) 3(B) 4(C) 5(D) 611.

13、已知an是等比数列，a2 2 , a5a2a3 Lanan 1(C. 16(1n32n.2 ) D.(1 4 )332 nnA.小1 2 ) B. 16(1 4 )12.若数列an的通项公式是an ( 1)n(3n 2),则 aa?a20()(A) 30(B) 29(C) -30(D) -2913.已知等比数列an满足an0,n1,2,La522n(n 3)则当n 1时，log 2 ai 10g2 a3 Llog2 a2n1(A. n(2n 1)B.(n 1)2C.D.(n 1)214.巳知函数f(x) cosx, x (0,2 )有两个不同的零点X1，X2,且方程f (x) m有两个不同的实

14、根 X3, X4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为()A.B.C.V3TD.15.已知等比数列an的前n项和一52-1，则实数t的值为().rA. 4B. 516.已知等差数列an的前n项和为Sn,a4+a7+a0=9, S14-S3=77,则使Sn取得最小值时n的值为()A. 4B. 5C. 6D. 717.若an是等差数列，首项 a1>0,公差大自然数n是()d0,且a2 013(a2 012+ 32 013) 0 ,则使数列an的前n项和Sn0成立的最A. 4 027Br. 4 026C. 4 025D. 4 024an18.已知数列满足：吁1心(nC N*)

15、,.1 一 .一一 若bn+1 = (n ) a；+ 1 , b1 = 入且数列bn是单调递增数列，则实数入的取值范围为A.入2B.入3C入319、由正数构成的等比数列an,若aa3a2a42a2a3 49 ,则 a220.已知数列 an的前n项和为Snn2,某三角形三边之比为 a2：a3：a4,则该三角形最大角为21、给定 an log(n 1) (n 2) (nC N*)定义乘积a1 a2 Lak为整数的k (kC N*)叫做 理想数”，则区间1 , 2008内的所有理想数的和为22.设4 , d为实数，首项为a1,公差为d的等差数列an的前项和为Sn ,满足 S3S415 0 ,则d的取

16、值范围为23.设正整数数列 an满足：a2 4 ,且对于任何nan 1anan 111 ,则 a10 an24.已知an为等比数列，a4a72 ,a5a68 ,则a1a1025.设等差数列 an的公差d不为0, a1 9d .若ak是a1与a2k的等比中项，则kan f (n) , (n N ) (1)求26、已知函数f(x)是一次函数，且f(8) 15, f(2), f(5), f (14)成等比数列，设nai ；设bn 2n ,求数列anbn的前n项和Sn o i 127、已知数列 an中，ai 2a23 ,其前n项和Sn 满足 Sn1Sn 12Sn1*(n 2 , n N ). (1)求

17、数列an的通项公式；(2)设bn4n ( 1)n12an( * .， 一 *为非零整数，n N )，试确定 的值，使得对任意n N ,都有bn 1 bn成立.28.已知数列 an中科 1启24,满足an 253an23 an.(n)求数列 an的通项公式.(I)设bnan 1 an ,求证数列 bn 是等比数列;29.已知等差数列an满足：a5 9,a2 a6 14.(I)求an的通项公式；(n)若bnan-anq (q0),求数列bn的前n项和Sn .30,已知数列 的前n项和为anSnai1,an 14S (n16N , t为常数)()若数列an为等比数列，求t的值;)若14,bn lga

18、n1 ,数列bn前n项和为Tn,当且仅当n=6时Tn取最小值，求实数t的取值范围.31.&是一个公差大于0的等差数列,a1，a2,a5成等比数列,a2a6 14.( I )求数列的通项公式;(n)若数列14和数列优满足等式：风=与T 了丁尹T -T下+a5乏产，求数列。J的前n项和g1*32.已知数列 an满足a1 1, an11 ，其中n n.(I)设bn4an2，求证：数列bn是等差数列2an 1出an的通项公式an ;( n )设cn4ann 1,数列CnCn 2的前n项和为Tn ,是否存在正整数m,使得Tn1一对于n N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.CmCm 1 一133.已知各项均为正数的数列an前n项和为Sn,首项为 可，且1 ,an,Sn成等差数列.(1)求数列 an的通2, 1、b项公式；若an (2) n ,设Cnbnan,求数列Cn的前n项和Tn.34一个等比数列 an中，a1 a4 28, a2 a3 12 ,求这个数列的通项公式16,中间两数和为12.求这四个数35 .有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。首末两数和为36 .