定积分在几何中的应用

1、1.7.1 定积分在几何中定积分在几何中的应用的应用高二数学组高二数学组 单守春单守春1.微积分基本定理微积分基本定理 bbaafx dxF xF bF a ,f xa bF xf x 如如果果是是区区间间上上的的连连续续函函数数且且则则一、复习回顾一、复习回顾3定积分的几何意义：定积分的几何意义：Ox yab y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 x a、x b与与 x轴所围成的曲边梯形的面积。轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分d dx xx xf fb ba a) )( ( 在几在几何何上上表示由表示由 y y= =f f ( (x x) )、

2、 x x y yO Oa ab b y y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S 当当f(x) 0时，由时，由y f (x)、x a、x b 与与 x 轴所围成轴所围成的曲边梯形位于的曲边梯形位于 x 轴的下方轴的下方1( )baAf x dx 221( )( )baAfxfx dx 思考思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值试用定积分表示下面各平面图形的面积值:( )yf x ab图图1.1.曲边梯形曲边梯形xyo)(1xfy )(2xfy ab图图2.2.如图如图xyo图图4.4.如图如图)(1xfy )(2xfy ab0 xy图图3.3.如图如图)(xfy

3、 ab0yx3( )baAf x dx 421( )( )baAfxf x dx类型类型1.1.求由一条曲线求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x轴所围成平面图形的面积轴所围成平面图形的面积S SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(| )3(badxxfS)( ) 1 (badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab练习练习. . 求抛物线求抛物线y=xy=x2 2-1-1，直线，直线x=2x=2，y=0y=0所围成的所围成的 图形的面积。图形的面积。yx

4、解：解：如图：由如图：由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线得到抛物线与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积如图阴影所示：所求面积如图阴影所示：所以：所以：112212) 1() 1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解类型类型2 2：由两条曲线由两条曲线y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直线，直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积S Syxoba)(xfy )(xgy

5、 (2)(xfy )(xgy (1) baf xg xdx解：解：两曲线的交点两曲线的交点(0,0)(1,1)OB120(-)Sxxdx 或32130233()xx.31 -OABDOABCSSS 梯梯曲形曲梯形11200 xdxx dx201yxxxyx 及及 例题例题3211300233xx 211333.作出作出y2=x,y=x2的图象如图所示的图象如图所示:oxy2yx2yx2xy yxABCDO方法小结方法小结求在直角坐标系下平面图形的面积步骤求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: :1. 作图象作图象( (弄清相对位置关系弄清相对位置关系) );2. 求交点的横坐标求交点的横坐标,定

6、出定出积分上、下限积分上、下限;3. 确定确定被积函数被积函数，用定积分表示所求的面积，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的特别注意分清被积函数的上、下位置上、下位置;4. 用用牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式求定积分求定积分.两曲线的交点为两曲线的交点为(8,4)24yxyx直线与直线与x轴交点为轴交点为(4,0)2yx 4yx880424()xdxxdxS1S248812044224()SSSxdxxdxxdx488044224()()xdxxdxxdx38282042 21404323|()|xxx解解:作出作出y=x-4, 的图象的图象如图所示如图所示:2yx80212484

7、2()sxdx 法法 ：38202 283|x2 24016 2833解解:两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy12280222224()SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822022 22 2124332|()|xxxx 练习练习16642618333解解: 两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6 )xAxx dx2xy xxy63 1A2A于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式 练习练习课堂小结课堂小结求在直角坐标系下平面图形的面积步骤求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: :1. 作图象作图象;2. 求交点的横坐标求交点的横坐标,定出积分上、下限定出积分上、下限;3. 确定被积函数，用定