2020年上海市复旦大学自主招生数学试题及答案

1、2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷一、解答题1 .抛物线V=2px,过焦点F作直线交抛物线于A、B两点,满足而：=3而，过A作抛 物线准线的垂线，垂足记为4,。为顶点，若5。皿,=126,求.2 .抛物线,F=2px,过焦点/作直线交抛物线于A, 4两点，满足A户=31力，过A作抛 物线准线的垂线，垂足记为4,准线交x轴于C点，若“川,=126,求.3 .已知实数x,)，满足丁 + 23，=1,求产 +/最小值.二、填空题4 .已知 f(X)= i/sin(2x) + cos(2乃x) + csin(44x) + dcos(4.ta),若 f(- + x) + f(x) = f(2x),

2、2则在a, 0, c,"中能确定的参数是.5 .若三次方程/+口2+4% + 5 = 0有一个根是纯虚数，则实数。=.6 .展开式(/+，+)，3+_1尸中，常数项为. x y7 r1111I. lini |+1-+=.1x4 2x5 n(n + 3)8 .点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度，所得的点的坐标为.9 .方程5pcos8=42+ 3/9cos28所表示的曲线形状是.10 .设乂 ,一,右2,则 cos(x + 2y) =.4 4x4y +sinycosy+ t/ = 011 .当实数x、y满足/ +寸=1时，U + 2y al + l“ + 6 x 2yl的取值与

3、工、y均无关， 则实数。的取值范围是.12 .在A48C中，cosZBAC = i,若O为内心，且满足= xA月+AC；,则x + y的最大 值为.三、选择题13 .已知直线，：y = xcosa和：3x+y =c ,则( )A. 和n可能重合B.加和不可能垂直C.存在直线?上一点P,以夕为中心旋转后与重合D.以上都不对四、填空题14 .抛物线3)，=x的焦点为F, A在抛物线上，A点处的切线与4：夹角为30。，则A点 的横坐标为.15 .已知点P在直线I、 V-6|=0±,且点。到42,5)、3(4,3)两点的距离相等，则点。 -1 4的坐标是.16 .已知 x, ye, 2, 3

4、, 4, 5, 6, 7, 8, 9)且 ywx,连接原点。和 A(x,y), 8(y,x)两点，则ZAOB = 2arctan 1的概率为.317. V14 + 3V2. 317. arcsin+ arcsin-=.84 18 .已知三棱锥尸 ABC的体积为10.5,且AB = 6, AC = 3C = 4, AP = BP=0,则CP 长度为.19 .在A4BC中，A8 = 9, BC = 6, C4 = 7,则8c边上中线长度为.20 .若/。) = 丁-1,则/(/(x)的图象大致为.f21 .定义=，区N = C(x)fg) = T,已知 A =应二口，B = xlx(x + 3)(

5、x-3)>0,则 A(S)3 =.22 .方程3x + 4)，+12z = 2020的非负整数解的组数为.23 .已知1，wZ,且若满足+，】，贝ij=.24 .凸四边形 ABC。，则 Nfi4C = NB£)C是 4C = ND3C的 条件.25 .设函数f(x) = 3, 一3r的反函数为y = /T(x),则g(x)=/"* 1) + 1在-3 , 5上的最大 值和最小值的和为.26 .若& >4,直线心-2y +8 = 0与2x + Fy-软2-4 = 0和坐标轴围成的四边形而积的 取值范围是.27 .已知A、B、C、。四点共圆，且AB = 1,

6、 CD = 2, AD = 4, BC = 5,则R4的长度 为D28.给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数,则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为五、选择题B. x-y+!22x-yD. y/x + 3 - y/x + 12Jx + 2 - yfx29 .下列不等式恒成立的是()A.尸+r» + - r xC. IX - y I I x- z I +1 y - z I六、填空题30 .向量数列aJ满足a“+ = a” +2 ,且满足Iq 1= 3,= »令Sn =a/(Zq)，则当Sn2-i取最大时，的值为.31 .某公司安排甲乙丙等7人完成7

7、天的值班任务，每人负责一天.已知甲不安排在第一天, 乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有一种.32 .直线4，交于O点，M为平而上任意一点，若，g分别为M点到直线乙，&的距离，则称(,4)为点"的距离坐标.已知非负常数，q,下列三个命题正确的个数是.(1)若 = = 0,则距离坐标为(0,0)的点有且仅有1个：(2)若pg = O,且+ g = O,则距离坐标为(ng)的点有且仅有2个：(3)若则距离坐标为(pm)的点有且仅有4个.92020年上海市复旦大学自主招生数学试卷答案一、解答题1 .抛物线f=2px,过焦点/作直线交抛物线于A、4两点，满足衣=3而

8、，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为4, O为顶点，若Sof“ = 12/,求.【分析】过A作抛物线准线的垂线，垂足记为4,过4作抛物线准线的垂线，垂足记为"， 过8作/VT的垂线，垂足记为M .设IBFI=小，贝IJIA尸1=3?，可得Z/VA足= 60°,即可得4例+ 2, /H）, 222利用二加2 =2（加+，）可得2 = 3,，利用梯形面积公式即可得. 422【解答】解：过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过3作抛物线准线的垂线，垂足记为B,过4作A4'的垂线，垂足记为M.设13/1=小，则14/l=3m, I AM 1= 2m ,cosZAzAF

9、 = -= 14w 2/. ZAfAF = 60°.3"？ p3aA(+ > m)222由A在抛物线）3= 2px上，小/=2/吟+ g,解得2p = 3?，或2p = -9,（舍）,.AFH /VVI=31 = 2，5。.=1273,1 (2 + §.岛=12耳，48【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是 中档题.2 .抛物线J=2px,过焦点/作直线交抛物线于A, 4两点，满足而:=3而，过A作抛 物线准线的垂线，垂足记为4,准线交x轴于。点，若51皿,=126,求.【分析】过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A&#

10、39;,过4作抛物线准线的垂线，垂足记为"， 过8作/VT的垂线，垂足记为M.设贝IJIA尸1=3?，IAMI=2w,可得N/VAF = 60°, 即可得4阳+e，2L），222利用zL>=2P（叫+ L）可得2P = 3而，利用梯形面积公式即可得p. 422【解答】解：过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A',过3作抛物线准线的垂线，垂足记 为ZT,过3作A4'的垂线，垂足记为M.设IB尸1=6,则IAFI=3?，I AM 1= 2m ,cos A!AF = = 1,AA!AF = 60°.4w 2p 3y/3A（1， ，）9222由 A 在抛

11、物线）？= 2px 上，/；r=2p（+ ）,解得 2 = 3?，或 2 二 一9,（舍），422.J AF 1=1 AAfl=3m = 2p.5皿,=12",二（2尸+ ；）6=26, /. p - 25/2 .【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是 中档题.3 .已知实数x, y满足丁 + 2岁=1,求丁 +V最小值.【分析】先把y用x表示，问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求最小值即可.【解答】解：因为/+2冲=1*工0）,故），=匕三，所以xff + (嗟 i+G-9子十 一品2百屋*-；当且仅当等号成立，5所以最小值为更.2 2

12、【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.二、填空题4 .已知 f(X)= asin(27rx) + bcos(27rx) + csin(4x) + dcos(4x),若/(l + x) + /(x) = f(2x) 2则在n, ，c,4中能确定的参数是a = b = c = d = O【分析】先令x = 0和可得 = 4=0，再由/(1 + %)+ f(x) = f(2x)得到a = c = 0.4, 2【解答】解：令x = 0= f3 = d-b = 0 = d=b,.21Q11令x = _n f(_)+ f(_)= /(_)= 0 = _2J = 0 = = d = 0， 4,442

13、f (； + x) = -t/sin 2ttx + csin 47rx, f (2x) = a sin 4兀x + csin 8x »f (； + x) + f (x) = f (2x) = 2csin 47rx = a sin 47rx + csin 8nx = (2c “)sin 4x = 2csin 47rxeos 4乃x所以 sin 4g(2t - a - 2c cos 4x) = 0 恒成立，所以 2c = 2c = 0 = " = c = 0,综上所述“= = c = d =0 .故答案为：a = b = c = d =0 .【点评】本题考查赋值法在抽象函数中的

14、应用，考查二倍角公式，属于中档题.5 .若三次方程V+o+4x + 5 = 0有一个根是纯虚数，则实数a= *.一4一【分析】设三次方程的纯虚数根为历SeR为。0),代入三次方程，由复数的运算性质和复数为。的条件，解方程可得所求值.【解答】解：设三次方程的纯虚数根为切SeR.00),可得T卉一加+46+ 5 = 0,即(5-加) + (4/j3* = o,可得 5 “Z/ = 0,且 4/? Z/ = 0 ,解得 =±2，/ =.故答案为:5 "" 4【点评】本题考查实系数高次方程的根的定义，以及复数的运算法则的运用，考查运算能力, 是一道基础题.6 .展开式(/

15、+，+)，+，严中，常数项为12600 . a y【分析】要使展开式中出现常数项，由题意可知，展开式中的常数项应符合以下特征：(T)，(L)”(/)m<L)3m,且 A + 2+? + 3? = 10,由此求出，的值即可. 尤>'【解答】解：利用组合的知识可知，展开式中的常数项满足：(T )，(，)” (/广(1)3，Rk + 2k+m + 3m = O. k, meN .% y即弘+ 4/ = 10，加,keN.* 二 2解得 ,，故常数项为：GC；C：C； = 12600.【点评】本题考查二项式展开式中特定项的求法，注意组合知识在解题中的应用,属于基础 题.7 .+ +

16、 != 11 .1x4 2x5 n(n + 3) - 18一【分析】通过裂项消项法，求解数列的和，然后利用数列的极限的运算法则求解即可.【解答】解:( + 3)3 + 1x41 +2x5n(n + 3)+1 - 4+1 - 41 - 61 - +-) n+2 n+3r 1 1 1 " 1 1 1 1 1 、lini +. +1 = lini(1 + + -)1x4 2x5 n(n + 3) -32 3 n + n + 2 n + 3故答案为：11.18【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题.8 .点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度，所得的点的坐标为_

17、(=2,二空)【分析】不妨设41,1),仇4,5),则A分= (3.4),在质在复平而对应的复数求出来，并用三角表示，再结合复数乘法运算的几何意义即可求出恁 所对应的复数Z),进而求出衣的 坐标，再求。点坐标，即为答案.【解答】解：不妨设8(4,5),则A后= (3,4),在复平而对应的复数为 z = 3 + 4/ = 5（cose + isinO）,cosg = ±sin8 = H则顺时针旋转60°,则马=/=5(cos(夕一2)+isin(6一2)，3s兀、 八 九,c .兀5 + 4万 cos（夕 一 一）=cos dcos + sin 夕 sin =33310sin

18、（夕-）=sin cos - cos 夕 sin = - 33310因此前=(巴史.匕wl), 22从而可得点。=(誓叵、=亘).【点评】本题考查复数乘法运算的几何意义，考查转化能力和计算能力，属于中档题.9,方程5/?cos夕=4" + 30cos28所表示的曲线形状是 两条射线.【分析】直接利用转换关系，消去夕，整理成三角函数关系式，进一步求出结果.【解答】解：根据方程5pcosd = 4" + 3"cos2e,整理得 5cosB = 4 + 3（2cos2 夕一 1）,HP 6cos2 - 5cos +1 = 0 ,解得 cos8 = L 或cos6>

19、 =，. 23所以该曲线为两条射线.故答案为：两条射线.【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关 系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.、，1 r 乃 乃，X3 + COS(.¥ + ) - = 0 nil / -10.设，一,右(2,则cos(x + 2y)= 1 .4 4 I + sin y cos y + a = 0【分析】设fa)= /+sinx,把已知条件转化为f(x) + /(2y) = 0,又因为函数f(x)在分上是单调递增的奇函数，故x + 2y = 0,进而求出cos(x + 2y) = l.【解

20、答】解：原式可得变形为卜'+：也尤+2。= °,(2»+sin2y-2a = 0设 /(x) = x3 +sinx,因为 /(r) = (W + sin(-x) = -(x3 + sin x) = -/(x) >所以/(x)为奇函数，当x>0 时，f(x)f = 3x2 +cosx当 0 < x < :时，cosx> 0,所以 f (x) > 0 ：2当时，3/>3, cosxvl,所以 f(xy>0.2所以/(X)在(0,y)上是单调递增函数，又因为奇函数关于原点对称，所以函数/*)在火上是单调递增函数，因此 /(x

21、) + /(2y) = 0 ,则 X + 2)，= 0,则 cos(x + 2y) = 1 .故答案为：1.【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，考查学生的转化能力，是一道综合性的题 目，属于中档题.11 .当实数x、y满足丁+)=1时，lx + 2y-al + la + 6-x-2yl的取值与x、y均无关，则实数。的取值范围是_1/-6,-/_.【分析】根据y满足的表达式可设x = cosd, y = sin£,进而求出x + 2y的范围，再由 条件可知x+2y-“次，且” + 6-X 2层0,则可求出。的取值范围.【解答】解：因为实数x, y满足V + y2=i,设x =

22、cosd,尸sin。，则 x + 2y = cose + 2sine = >/sin(e + a),其中 a = arctan2，所以-小&x +，因为lx + 2y-4l + la + 6-x-2yl的取值与x、y均无关，所以 I x + 2y - q I +1 + 6 - x 2y 1= x + 2y - “ + a + 6 x 2y = 6 ,即此时,所以x + 2y-64& + 2y ,。+ 6 - x - 2y0则6WaW-/，故答案为：6-6.-"J【点评】本题考查了圆的参数方程，涉及绝对值取值范围等知识点，属于中档题.12 .在A45C中，cos/

23、B4C = L,若O为内心，且满足彳0 = /方+ y/，贝鼠+ y的最大 3值为一¥_.【分析】设而=4数=尤尤丽+%），/,根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答.【解答】解：延长AO交3c于。，设8C与圆。相切于点£, AC与圆O相切于点F,则OE = OF , P'lJ OEOD ,设 AD = AAO = AxAB + AyAC，因为4、C、。三点共线,所以 /x + %），= 11 _ AO _ AO , AO _ 1 _ 1 _1A = AD = AO + OD：AO + OE = .OE= OF = . A1 + I + 1 + sin OA OA

24、2因为cosA = l_2sin2d =L , 所以sind = 9, 2 323【点评】本题主要考查向量数量积的运算及几何意义，三角形的内心的概念，三角函数的转 化关系，属于中档题.三、选择题13.已知直线，：y = xcosa和：3x+y =c ,则（ ）A. ？和n可能重合B.加和不可能垂直C.存在直线?上一点P,以夕为中心旋转后与重合ID.以上都不对【分析】求出直线”与直线的斜率，由斜率不能相等判断两直线不可能重合：由斜率之积为-1,得出两直线垂直；由两直线不平行，得出两直线相交，从而判断直线加以交点夕为中心旋转后与重合.【解答】解:直线血y = xcosa,斜率为4=cosa；直线n

25、:3x + y = c 斜率为女? = 一3 : k尸k,所以，和不可能重合，A错误:cosa=«!"时，小七=-1，加和垂直，所以8错误: 3.由女尸上知根和不平行，设机、相交于点P, 则直线，以。为中心旋转后与重合，所以C正确.故选：C.【点评】本题考查了两条直线的位置关系应用问题，是基础题.四、填空题14.抛物线3)/=x的焦点为E，A在抛物线上，A点处的切线与4；夹角为30。，则A点的横坐标为1 4【分析】设A的坐标求导可得A的切线的斜率，设切线的倾斜角为a，求出准线4：的斜率, 由题意可得“=tan(3(T + a),可得A的横坐标.【解答】解：抛物线3y2=x可

26、得所以焦点厂坐标(L 0),设A(%, y0),设)，。0 312y所以在A处的切线的斜率为：k =,V326 G设在A处的倾斜角为a,则女=1311。=4及二 瓜I正+ tan(30° + a) =tan 30° + tan a1 - tan 300etan a32串孤二#(2仄+ 1)G 1 一 6 忘13由题意可得女小尸=100(30。+。)，所以勺色瓦=叵百亘，整理可得：(1一2向)(12.% + 1) = 0,解得：%=1, 12i-164-14所以A的横坐标为：1,4故答案为：1. 4【点评】本题考查抛物线的性质及由求导法求在点的切线的斜率，属于中档题.15.已

27、知点P在直线|" ：一6|=0上，且点2到A(2.5)、3(4.3)两点的距离相等，则点。 一 1 4的坐标是_(L2)_.【分析】由二项展开式性质得点尸在直线4x + y-6 = 0,设尸(ai+6),由点P到4(2,5)、8(4,3)两点的距离相等，能求出点P的坐标.【解答】解一点。在直线广：-6|=0上，-1 4二点户在直线4x + y 6 = 0,设 P(a,4a + 6),;点P到42,5)、8(4,3)两点的距离相等,/. &-2)2 +(</ + 1)2 = J(4-4)2 + (Ta+ 3尸，解得a = l,点P的坐标是(1,2).故答案为：(1,2).

28、【点评】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识, 考查运算求解能力，是基础题.16.已知 x, yel, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)且 ywx,连接原点。和 A(x,y), 8(y,x)两点，则44O5 = 2arctaJ的概率为 1 .【分析】先由题设条件求出数对(X,3，)总的个数，然后利用ZAO8 = 2arctan1求出满足题意的数对(x,y)的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果.【解答】解：.r, yel, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9且)，工”，.二数对(x,y)共有 9x8 = 7234一，cos ZAOB

29、 = -个.ZAOB = 2arctan- /. tan ZAOB =3又连接原点。和A(x,y),两点,得。/ = ",>)，OB = (y9x),则 cosNA 08 =OA.OBOA. 0B x2 + y;4、1二，RP (2x-y)(x-2y) = 0 即丁 = 2x,或、=一工, 52I满足 NAO3 = 2arctanl 的数对有：(1,2), (2.4), (3.6), (4,8), (2J), (4,2), (6,3), 3(8,4),共 8 个,1Q 13故答案为：i.972 9ZAOB = 2 arctan-的概率 P = = _【点评】本题主要以集合为背景

30、考查满足古典概型的概率的计算及三角公式的简单应用，属 于中档题.17. arcsin . + 3& +arcsin三 包【分析】由题意判断出< arcsin + arcsin <7t,284求出 sin(arcsin + arcsin上)的值，84即可得出【解答】解：由arcs43 ,+ arcsin-的值.4.714 + 372< arcsin< arcsin 1,8所若,V14 + 3V2 < arcsin乃<，2T7,3.1又 arcsin < arcsin - < arcsin 1, 24所以< arcsin - <

31、, 44 2的i、i 丸 V14 + 3>/2. 3所以一varcsin+ arcsin-< ,284所 以 sin(arcsin 无+ arcsin2) 48,9+ 3及=sin(arcsin8Earcsg+Wsin 叵毡)sinMsin')484X声卜三1g +" 32T2a 3-8 X V . V 64X 47>/2 + 3>/14 3(372->/14) =+3232一立一 2而 1、. V14 + 3>/2. 3 3乃p/r 以 arcsin+ arcsin 一 =84 4故答案为：.4【点评】本题考查了反三角函数值的计算问题，也

32、考查了运算求解能力，是中档题.18.已知三棱锥的体积为 10.5,且 A5 = 6, AC = BC = 4, AP = BP=O.则"长度为7或7逐.【分析】先根据题意证明平而ABC_L平而尸8,进而得到夕点到8的距离即。点到平面 ABC的距离,再利用三棱锥尸-ABC的体积为10.5,求出sinNPQC,利用同角的三角函 数关系求出cos/POC,在AP0C中运用余弦定理即可求出PC的长度.【解答】解：取中点。，因为A3_LC。，AB上PD, 又因为且PQ，COu平面PCO, 则而P0C,又因为ABu平面A3C，所以平而ABC，平面尸8, 那么。点到CD的距离即P点到平面ABC的距

33、离, 依题意可得CO = JBC2 -BD =6.PD = IpB2 -BD2 =回,S/ = A3C。= 3耳，213x PDsin ZPDC = => sin ZPDC =,227rl所以匕-白川日匹夫？" JJ7那么 cosNPOC = ±f=, 2713由余弦定理可得cos /PDC = °"二=PC = 7或7/. 2x 闻 x"故答案为：7或76,1【点评】本题考查线而垂直及而面垂直的证明，三棱锥体积公式，余弦定理，考查学生的转 化能力和运算能力，属于中档题.19.在A43C中，A8 = 9, BC = 6, C4 = 7,则

34、3c边上中线长度为【分析】利用余弦定理求出cosC的值，再利用平面向量的线性表示，即可求出中线的长度.【解答】解：A48c中，A3 = 9, BC = 6, C4 = 7,如图所示;4763设AD是3c边上的中线, 则 A5= 1(A月+ A(?),2所以=1x(AB2+2AB>AC + /U72) = -x(81 + 2x9x7x + 49) = 56>4463解得 IA£h= 2g,所以BC边上的中线长度为2g.故答案为：2g.【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题.Ir20 .若/。)= /一1【分析】求出/(/(k)的解析式，并判断奇偶性

35、，利用导数求出、>0时的单调性，由对称性 即可作出大致图象.【解答】解：/(/。) = (丁一1)2-1 =/一2 令&*) = /一2/，g0) = 0,可得工=士或 0,由g(r) = g(Q可得g(x)为偶函数,当 以0时，(x) = 4x3 -4x = 4x(x + l)(x-l), xw(OJ)时，/。)<0, g(x)单调递减, xe(l,+oo)时，/(x)>0, g(x)单调递增,由偶函数关于y轴对称，可得/(/*)的图象大致为2【点评】本题主要考查函数的图象的画法，属于基础题.21 .定义人=N = C(M/g) = T,已知 A = klx<

36、-1,a g M(B = xlx(x + 3)(x-3)>0> 则 A8 = _(-oo2_-3UlO-l)D(32_+8)2.【分析】求出集合A, B,利用新定义求出A区8即可.【解答】解：A = (-oo,l), B = .¥ I.¥(x - 3Xx + 3) > 0 = (-3, 0)D(3, +oo)：=+oc), Cr3 = (co, -3|J|0, 3 因为 (x) = -l,所以当以(x)= T，4。)=1，A0B = p|C = xlx>3,当a)= l，/(x)=T,4瓯=哨涓=3运-3或Oxvl，故 A(8)B = (-8, -

37、3U0， 1)=(3, +8).故答案为：(ho, -3切0，1)。(3，+oc).【点评】考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，属于基础题.22 .方程3x + 4)，+12z = 2020的非负整数解的组数为14365 .【分析】利用非负整数这一条件结合题干中的3x4 = 12进行分析入手即可.【解答】解：因为3x + 4)，+ 12z = 2020,所以二+)，+ 3z = 5O5, 4因为X, y, z均为整数，所以3%也是整数， 4所以设工=软，则 3k + y + 3z = 5O5,所以 3(k + z) + y = 5O5,易知 505+3 = 168 1 ,则无+ z可取的值

38、为0168,当 + z = 0 时，R = z = 0，/攵=0.3仅=L当k + z = l时，.或八，当k + z = 时，&的取值集合为0, 1, 2,，,对应z = k，故当 + Z取遍0 168时，Z的所有可能取值数为吁(169 + 1) = H365种，2故所有的非负整数解为14365种，故答案为14365.【点评】本题考查逻辑分析能力，考查学生对于题中隐敝条件的判断，属于中档题.23 .已知j, neZ,且攵<1，若满足 22020+3g=12? + ，则 =7 .【分析】通过研究2" +3"*邛余以12的余数的规律得到结果.【解答】解:归纳：2

39、'+32=12x0 + ll,22+33 = 12x2 + 7,23 + 34 =12 x 7 + 5,24 +35 =12x21 + 7,25+36 = 12x63 + 5,26+37 =12x187 + 7, 27 +38 = 12x557 + 5 ,由以上过程可知，除去第一个式子之外，余数为7, 5循环；易知T中为奇数对应余数为5, n为偶数对应余数为7：2020为偶数，故余数为7.故答案为7.【点评】本题考查归纳推理，属于中档题.24 .凸四边形ABCQ,则是 = 的 充要 条件.【分析】根据四点共圆的性质，对=进行逻辑判断即可.【解答】解：在凸四边形中，若ZBAC = ZBD

40、C ,则ABC。四点共圆，则必有 ZDAC = ZDBCx在凸四边形ABC。中，若=则ABC。四点共圆，则必有N8AC = NB0C ：所以：=是4C = N03c的充要条件.故答案为：充要.【点评】本题考查了四点共圆问题，充分必要条件的定义，属于基础题.25 .设函数/(幻=3*-3-、的反函数为y = /7(x),则以x) = /T(x 1) + 1在-3 , 5上的最大 1值和最小值的和为2 .【分析】由-买入专，可得-4令-4,令Tg(x)W4,结合函数f(x)的单调性可得此时 logi(75 - 2区入&心?式逐+ 2),再由反函数的性质即可得解.【解答】解：由34v45 ,

41、可得14,令7勺。)於4,由/(x) = 3*-3-,单调递增可得，75-232 + 75 ./. logs(y/5- 2)W/%(6 + 2)，.”*)在-3 ,5上的最大值与最小值之和为1 +(褥-2) + 1 + log(>/5 +2) = 2 + log(>/5 -2)(6+ 2) = 2 ,故答案为：2.【点评】本题主要考查反函数的性质，考查运算能力，属于中档题.26 .若k >4,直线心-2y 兼+8 = 0与2x + Fy-软2-4 = 0和坐标轴围成的四边形而积的 取值范围是(U，+00).4 【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与X轴的交点，与y轴的

42、交点，得到所求 的四边形，求出四边形的面枳表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的女值Q与y轴的交点。(0,4-A),与工轴的交点42-7，0), k直线 M:2x + k、-软2-4 = 0,即 2X + 小6，-4)-4 二 0,过定点3(2, 4 ),与X轴的交点E(2/+2, 0),与），轴的交点C（0,4 +二），k由题意，四边形的面积等于AOCE而积-A4班;面积，.所求 四 边 形 的 面 积 为S = ；x（4 + U）（2y+2） - 1x4x（2+2 - 2 +>= U ¥ + 8 = 4（； - 2）28, 乙K乙K K KK9：k>A ,k 4p1

43、lj8>5> 4故攵>4时，直线6-2）-2女+8 = 0与2人+心，-软2-4 = 0和坐标轴围成的四边形而积的取值范围是（9，8）.4【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，是基础题.27 .已知A、4、C、。四点共圆，且AB = 1, CD = 2, AD = 4, BC = 5,则Q4的长度【分析】连接AC，BD,由圆内接四边形的性质可得NE43 = N8C。，"BA = ZADC , 在ASO和中运用余弦定理，结合诱导公式求得cosN/%8, sinZPAB ,同理可得 cosZPBA, sinZPR4,再由两角和的正弦公式求得sinP

44、,在中运用余弦定理可得所 求.【解答】解:连接AC,a），由A, 8, C,。四点共圆，可得 "45 = 48, NPa4 = ZAZ）C, 由 BD2 = AB2 + AD2 - 2AB.AD.cos /BAD,BD2 = CB2 + CD2 - 2CB.CD.cos NBCD,且44£>+NBC£）=180。，可得8§44。= 一（:088.则 1+ 16-2x1 x4cosNa4D = 25 + 4-2x5x2xcos NBC。,化为 17 + 8cos ABCD = 29-20cos ZBCD,33解得 cos /BCD =二，即 cos

45、NPAB =-, 77则 sin ZPAB =，又 AC2 = BA2 + BC2 - 2BA.BC.cos ZABC，AC2 = DA2 + DC2 - 2DA.DC<osZADC ，且/45。+ /4。= 180°,可得 cosNABC = -cosNADC,则1+25-2xlx5cosZABC = 16 + 4-2x4x2xcosZA£)C,化为 26 + 10cosNAQC = 20-16cosZA£)C，33解得 cos ZADC = 一一，即 cos /PBA = 一一, 1313则 sin /PBA =4M13则 sin P = sin(ZPA

46、B + /PBA) = sin NE48cos NPBA + cos ZPABsin NPBA邛瑞、噜呼PAsin P sin /PBA可得一6V10 4>/1091132【点评】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理的运用，以及圆内接四边形的性质，考查化 简运算能力，属于中档题.28.给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为5【分析】基本事件总数 = C；=10,其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数 m = C；C；=6,由此能求出其中既有奇函数、又有偶函数的概率.【解答】解：给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，

47、则在这5个函数中任意取3个，基本事件总数 = 1 0，其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数， = C；C； =6,.其中既有奇函数、又有偶函数的概率为='=9=2. n 10 5故答案为： 5【点评】本题考查概率的求法，考查概率定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.五、选择题29 .下列不等式恒成立的是（）A. x2 +-4x + -B. Ix-y 1+!22x* xx - yC. I x - y I I x - z I +1 y- z ID. >/x + 3 -y/x + 2 -x【分析】A . x<0时，x2+工次+，成立；x>0时，设f=x+1&g

48、t;2,不等式x? JT XXX- X化为：，2-方1,化简即可判断出正误.B.取特殊值，令x y = -l,即可判断出正误:C.由绝对值不等式的性质即可判断出正误：口7口与内飞_（旧二-4=_2 _I_: 1，即可判断出真假. x/x + 3 + V.v+1 V.v + 2 +解答解：A.x<0时，x2 +-La- + 成立：x>0时，设f =入+,不等式丁+ Lr xxk x化为：-2>,化为（-2）“ + 1彦0,即02,恒成立.因此不等式恒成立.2B.取八一），=-1,则Ix-ylT=1 -1 = 0 < 2 因此不恒成立:人 一yC.由绝对值不等式的性质可得：

49、lx-zl + ly-zll(x-z)-(y-z)ITx-yl,因此不恒成 立.Dfx，3 - J7TT > y/x2 - >Jx，(Jx + 3 -+1) - (Qx + 2 - y/x) = =. j - /- W。*y/x + 3 + Va + I 4x + 2 + C(yjx + 3 - J.+ l)W(Jx + 2 - 6)，错误.故选：A.【点评】本题考查了不等式的性质、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题.六、填空题30 .【用量数列甘。卜两足。+1 =可+力,且满足I % 1= 3, 4 =二，令S = q(之q)，则当Sn取最大时，?的值为6或7 .【分析】直接利用向量的运算求出数列的通项公式，进一步利用前项和公式的应用求出结 果为二次函数的形式，最后