广东省汕头市澄海区2017届九年级(上)期末数学试卷(解析版)

1、努力的你，未来可期!2017-2018学年广东省汕头市澄海区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共1。小题，每小题3分，共3。分)1 .若二次函数y=ax2的图象经过点P (-2, 4),则该图象必经过点()A. (4, - 2) B. ( - 4, 2) C. (-2, - 4) D. (2, 4)2 . 一元二次方程x2 - 8x - 1=0配方后可变形为()A. (x+4) 2=17B. (x - 4)2=17 C. (x+4) 2=15D. (x - 4) 2=153 .随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中,是中心对称图形的是(A.B.D.4

2、.如图，经过原点O的。P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则ZACB=()A. 80° B. 90° C. 100°D.无法确定5 .在二次函数y=x2 - 2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是()A. x< - 1 B. x> - 1 C. x<lD. x>l6 .有x支球队参加篮球比赛，共比赛了 21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中 符合题意的是()A. x (x - 1) =21 B. x (x+1) =21C. x (x - 1) =42 D. x (x+1) =427 .三张外观相同的卡

3、片分别标有数字1、2、3,从中随机一次抽出两张，这两张卡片上 的数字恰好都小于3的概率是()1211A彳B.守C.百D.百8 .如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物 线的表达式是()A. y= (x - 1) 2 B. y= (x+1) 2 C. y=x2+l D. y=x2+39 .如图，在aABC中，ZCAB=65°,在同一平面内，将ABC绕点A按逆时针方向旋转 到ABt,的位置，使得CCAB,则NBAB*=()A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°10 .如图，在扇形OAB中，ZA

4、OB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D 在OB上，点E在0B的延长线上，若正方形CDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积A. H - 2 B. 2n: - 2 C. 4n - 4 D. 4n - 8二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11 .点P(2, -3)关于原点的对称点，的坐标为.12 . 一元二次方程X2 - 16=0的解是.13 .抛物线y=x2+2x+l的顶点坐标是.14 .若。是等边aABC的外接圆，00的半径为2,则等边aABC的边长为15 .用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2.16 .已知正方形ABC

5、D中，点E在边DC上，DE=2, EC=1 (如图所示)把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为.AD三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17 .设二次函数的图象的顶点坐标为（2, 2）,且过点（1, 1）,求这个函数的关系 式.18 .已知x=-1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值.19 .在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个 扇形制作圆锥玩具模型.如图，已知aABC是腰长为4的等腰直角三角形.（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求： 尺规作图，

6、保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长.四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20 .小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩 都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学.（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果：（2）求两人再次成为同班同学的概率.21 .已知关于的方程x2+2x+m - 2=0.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根.22 .在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原

7、定票价基 础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了 4800 元.(1)求每张门票的原定票价；(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过 连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)23 .如图,ZABC中，AB=AC=1, ZBAC=45°, ZkAEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋 转得到的，连接BE、CF相交于点D.(1)求证：BE=CF；(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.24 .如图，已知AB是00的直径，点C是上一点，AD与过点C

8、的切线垂直，垂足 为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分NACB,交AB于点F,连接BE.(1)求证：AC平分NDAB：(2)求证：4PCF是等腰三角形；(3)若AF=6, EF=2,求。0的半径长.25 .如图，已知抛物线y=ax?+bx+c (aWO)的顶点坐标为Q (2, - 1),且与y轴交于 点C (0, 3),与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上一动 点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PDy轴，交AC于点 D.(1)求该抛物线的函数关系式:（2）设P （x, y） , PD的长度为I,求I与x的函数关系式，并求I的最大值;（

9、3）当4ADP是直角三角形时，求点P的坐标.2017-2018学年广东省汕头市澄海区九年级(上)期末数学试参考答案与试题解析一、选择题(本大题共1。小题，每小题3分，共30分)1.若二次函数y=ax2的图象经过点P ( -2, 4),则该图象必经过点()A. (4, - 2) B. ( - 4, 2) C. ( - 2, - 4) D. (2, 4)【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答.【解答】解：,二次函数y=ax2的对称轴为y轴，若图象经过点P( - 2, 4),则该图象必经过点(2, 4).故选：D.【点评】本题考查了

10、二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性, 确定出函数图象的对称轴为Y轴是解题的关键.2 . 一元二次方程x2 - 8x - 1=0配方后可变形为()A. (x+4) 2=17B. (x - 4) 2=17 C. (x+4) 2=15 D. (x - 4) 2=15【考点】解一元二次方程配方法.【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得.【解答】解：.x2-8x-1=0,Ax2 - 8x=l,Ax2 - 8x+16=l+16t 即(x - 4) 2=17,故选：B.【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法, 配方法，公式法，因式分解

11、法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.3 .随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中,)A.是中心对称图形的是（【考点】中心对称图形.【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选A.【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形 旋转180度后与原图形重合.4 .如图，经过原点。的。P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则A. 80°

12、; B. 90° C. 100°D.无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质.【分析】根据圆周角定理即可得.*.【解答】解：:NACB与NAOB所对的弧是同一段弧阻 且NAOB=90。，AZACB=ZAOB=90°,故选：B.【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.5 .在二次函数y=x2-2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（A. x< - 1 B. x> - 1 C. x<lD. x>l【考点】二次函数的性质.【分

13、析】抛物线y=x22x+3中的对称轴是直线x=l,开口向上，x>l时，y随x的增大 而增大.【解答】ft?： Va=l>0,二次函数图象开口向上，乂;对称轴是直线x= -J =1，当x>l时，函数图象在对称轴的右边，y随x的增大而增大.故选D.【点评】本题考查了二次函数y=ax?+bx+c (aWO)的性质：当aVO,抛物线开口向下， 对称轴为直线x= 击，在对称轴左边，y随x的增大而增大.6.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了 21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中 符合题意的是()A. x (x - 1) =21 B. x (x+1) =21C. x (x - 1) =

14、42 D. x (x+1) =42【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式(2016海南)三张外观相同 的卡片分别标有数字1、2、3,从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小 于3的概率是()1211A5B.可C.百D.百【考点】列表法与树状图法.【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上 的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案.【解答】解：画树状图得：开始123A A A 2 3 13 12共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况,两张卡片上的数字恰好都小于3概率=看

15、4.故选A.【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.解题的关键是要注意是放回实验还 是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.8 .如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物 线的表达式是()A. y= (x - 1) 2 B. y= (x+1) 2 C. y=x2+l D. y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可.【解答】解：抛物线y=x?+i的顶点坐标为(0, 2),向左平移1个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为(-1, 0),所以，平移后的

16、抛物线的解析式为y= (x+1) 2.故选B.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减， 上加下减.并用根据规律利用点的变化确定函数解析式9 .如图，在aABC中，ZCAB=65°,在同一平面内，将ABC绕点A按逆时针方向旋转 到AB9的位置，使得CC/AB,则NBABJ ()A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°【考点】旋转的性质.【分析】由平行线的性质可求得NCCA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC然后 依据等腰三角形的性质可知NAUC的度数，依据三角形的内角和定理可求得/CAU的度 数

17、，从而得到NBAB，的度数.【解答】解：CUAB,【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11 .点P （2, -3）关于原点的对称点h的坐标为（-点3）.【考点】关于原点对称的点的坐标.【专题】常规题型.【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案.【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点（2, -3）关于原点的对称点的坐标为（2, 3）.故答案为：（-2, 3）.【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:（1）关于x

18、轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.12 .一元二次方程 X? - 16=0 的解是 Xj= - 4, x?=4 .【考点】解一元二次方程直接开平方法.【专题】计算题.【分析】方程变形后，开方即可求出解.【解答】解：方程变形得：x2=16,开方得：x=±4,解得：xi= - 4, X2=4.故答案为:xi= - 4, X2=4【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题 的关键.13 .抛物线y=x2+2x+l的顶点坐标是 （1, 0）.【考点

19、】二次函数的性质.【专题】计算题.【分析】把a、b、c的值直接代入顶点的公式中计算即可.【解答】解：a=l, b=2, c=l,-L_ 2'- 2a=- 2X1=T，4ac-b2 4X 1 X1-22 n=0,4a 4X1故答案是（1, 0）.【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握顶点的计算公式.14.若。是等边aABC的外接圆，。的半径为2,则等边aABC的边长为2M【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质.【分析】首先连接OB, OC,过点O作OD_LBC于D,由。O是等边ABC的外接圆， 即可求得NOBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，乂由垂径定理

20、即可 求得等边abc的边长.【解答】解：连接OB, OC,过点。作OD_LBC于D,六BC=2BD,V0O是等边4ABC的外接圆，A ZBOC=yX360°=120°,VOB=OC, 180° -ZB0C 1800 -120°r.ZOBC=ZOCB= 2=2=30°,G)O的半径为2,AOB=2, M Vs / BD=OB>cosZOBD=2 X cos30°=2X=,/. BC=2BD=26.等边AABC的边长为2.故答案为：2匹A【点评】本题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识.此 题难度不大，解题的

21、关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法.15 .用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是16 cm?.【考点】二次函数的应用.【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可.【解答】解：设矩形的一边长为xcm,所以另一边长为（8x） cm,其面积为 s=x （8 - x） = - x2+8x= - （x - 4）2+16,，周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2.故答案为:16.【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用及求二次函数的最大（小）值有三 种方法：第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法.常用的是后两 种方法，当二次系数a的绝对值是

22、较小的整数时，用配方法较好，如y= - x2 - 2x+5, y=3x2 -6x+l等用配方法求解比较简单.16 .已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2, EC=1 （如图所示）把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为1或5 .【考点】旋转的性质；正方形的性质.【专题】压轴题.【分析】题目里只说旋转，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点, 所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知.【解答】解：旋转得到峰点,VAE=AF1, AD=AB, ZD=ZABC=90°,.,.ADEAABFi,/.FiC

23、=1；旋转得到F2点，同理可得ABF?/ZADE,/. F2B=DE=2,【点评】本题主要考查了旋转的性质.三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17 .设二次函数的图象的顶点坐标为（2, 2）,且过点（1, 1）,求这个函数的关系 式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a （x+2） 2+2,然后把点（1, 1） 代入求出a的值即可.【解答】解：设这个函数的关系式为y=a （x+2） 2+2,把点（1, 1）代入 y=a （x+2） 2+2 得 9a+2=l,解得a= -gf所以这个函数的关系式为y=-胄（

24、x+2） 2+2.【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数 关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一 般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解; 当已知抛物线的顶点或对称轴时.，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴 有两个交点时;可选择设其解析式为交点式来求解.18 .已知x=-1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值.【考点】一元二次方程的解.【专题】计算题.【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=-1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二 次方程12

25、a+a2=0,然后解此一元二次方程即可.【解答】解：把x= - 1代入x2+2ax+a2=0得12a+a2=O,解得ai2=1,所以a的值为1.【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 是一元二次方程的解.19 .在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个 扇形制作圆锥玩具模型.如图，已知aABC是腰长为4的等腰直角三角形.（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求： 尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长.【考点】作图一应用与设计作图；等腰直角三角形；扇形面积的

26、计算；圆锥的计算.【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2根据勾股定理得到AB=%Z由（1）可知CD平分NACB,根据等腰三角形的性质得 到CD_LAB,根据弧长的公式即可得到结论.【解答】解：（1）如图所示：扇形CEF为所求作的图形；（2）:ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4,AAB=42,III (1)可知 CD 平分NACB,CD_LAB,.CD=2校,90K X2J2设圆锥底面的半径长为r,依题意得：2nr=五产32 '答：所制作圆锥底面的半径长为夺.乙【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，弧长的计算，正 确的作出图形是解题的关键.四、解答题（二）

27、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20.小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩 都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学.（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果：（2）求两人再次成为同班同学的概率.【考点】列表法与树状图法.【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率.【解答】解：（1）画树状图如下：由树形图可知所以可能的结果为AA，AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC；3 1（2） |l （1）可知两人再次成为同班同学的概

28、率=©=9.【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求 情况数与总情况数之比.21.已知关于的方程x2+2x+m - 2=0.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根.【考点】根与系数的关系；根的判别式.【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一 次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）设方程的另一根为xi,由根与系数的关系即可得出关于m、xi的二元一次方程组, 解之即可得出结论.【解答】解：（1）依题意得：A=b2 _ 4ac=22 - 4X

29、1X （m - 2） =12 - 4m>0, 解得：m<3.若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为m<3.（2）设方程的另一根为xi，1+ 町二-2由根与系数的关系得：1 勺二52，卜尸3解得：itpT，m的值为-1,该方程的另一根为-3.【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键 是：（1）熟练掌握当>（）时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的 关系找出关于m、xi的二元一次方程组.22 .在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基 础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元

30、购买的门票张数,现在只花费了 4800 元.（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过 连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的仃分率.【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用.【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x80）元， 根据按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了 4800元建立方程，解 方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y,根据原定票价经过连续二次降价后降为324元 建立方程，解方程即可.【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）

31、 元，根据题意得6000 _4800x =x-80 '解得x=400.经检验，x=400是原方程的根.答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y,根据题意得400 （1 - y） 2=324,解得：yi=0.1, y2=1.9 （不合题意，舍去）.答：平均每次降价10%.【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题H的意思， 根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23 .如图,ZABC中,AB=AC=1, ZBAC=45°, AAEF是由AABC绕点A按顺

32、时针方向旋 转得到的，连接BE、CF相交于点D.（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.E【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质.【专题】计算题；证明题.【分析】（1）先由旋转的性质得 AE=AB, AF=AC, ZEAF=ZBAC,则NEAF+NBAF=NBAC+ ZBAF,即NEAB=NFAC,利用AB=AC可得AE=AF,于是根据旋转的定义，ZXAEB可由 AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD：（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1, ACDE,根据等腰三角形的性质得NAEB=N ABE,根据平行线得性质得NABE=N

33、BAC=45°,所以NAEB=NABE=45°,于是可判断4ABE 为等腰直角三角形，所以be=6ac=,于是利用BD=BE-DE求解.【解答】（1）证明：:AEF是由aABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，AE=AB, AF=AC, ZEAF=ZBAC,/ Z EAF+ Z BAF= Z BAC+ Z BAF,即 Z EAB= Z FAC,VAB=AC,aae=af,.,.AEB nJihAAFC绕点A按顺时针方向旋转得到，BE=CF；（2）解：:四边形ACDE为菱形，AB=AC=1,ADE=AE=AC=AB=1, ACDE,AZAEB=ZABE, ZABE=ZBAC=45

34、°,/ZAEB=ZABE=45%ABE为等腰直角三角形，/. BE=«ac=6,/.BD=BE - DE=6 i.【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所 连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了菱形的性质.24.如图，已知AB是。0的直径，点C是。上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足 为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分/ACB,交AB于点F,连接BE. （1）求证：AC平分NDAB：（2）求证：4PCF是等腰三角形；（3）若AF=6, EF=2,求。0的半径长.【考点】切线的性质；等腰三角形的判定与性质.

35、【分析】（1）根据切线的性质得OC_LAD,而AD_LDP,则肯定判断OCAD,根据平 行线的性质得ndac=noca,力口上noac=noca,所以noac=ndac；（2）根据圆周角定理由AB为。的直径得NACB=90。，则/BCE=45。，再利用圆周角定 理得NBOE=2NBCE=90°,则NOFE+NOEF=90°,易得NCFP+NOEF=90°,再根据切线的性 质得到NOCF+NPCF=90。，而NOCF=NOEF,根据等角的余角相等得到NPCF=NCFP,于 是可判断4PCF是等腰三角形；（3）连结OE.由AB为。O的直径，得到NACB=90。，根据角

36、平分线的定义得到NBCE=45。, 设。O的半径为r,则OF=6r,根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】（1）证明：TPD为。的切线，/OC1DP,VAD1DP,AOC/AD,AZDAC=ZOCA,VOA=OC,/ZOAC=ZOCA,/ZOAC=ZDAC,AC 平分NDAB：（2）证明：TAB为00的直径，/ZACB=90°,VCE 平分NACB,AZBCE=45°,AZBOE=2ZBCE=90°,/.ZOFE+ZOEF=90而 N0FE=NCFP,AZCFP+ZOEF=90°,V0C±PD,AZOCP=90°, B|JZOCF+

37、ZPCF=90°,而 NOCF=NOEF,AZPCF=ZCFP,PCF是等腰三角形；（3）解：连结0E.VAB 为。0 的直径，ZACB=90°,：CE 平分NACB, AZBCE=45°,AZBOE=90°, B|J OE±AB,设。o的半径为r,则0F=6 - r,在 RtZkEOF 中，.OE2+OF2=EF2,於+ （6-r） 2=（2屿2,解得，ri=4,2=2,当n=4时，0F=6 - r=2 （符合题意），当它2时，0F=6 - r=4 （不合题意，舍去）， ，。0的半径r=4.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点

38、的半径.也考查了圆周角定 理和等腰三角形的判定.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心 和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (aWO)的顶点坐标为Q (2, - 1),且与y轴交于 点C(O, 3),与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上一动 点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PDy轴，交AC于点 D.(1)求该抛物线的函数关系式；(2)设P (x, y) , PD的长度为I,求I与x的函数关系式，并求I的最大值；(3)当4ADP是直角三角形时，求点P的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)设y=a (x-2) 21,将c(0, 3)代入求