第四章不定积分PPT课件

1、第四章第四章 不定积分不定积分4.1 4.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质引言：引言： 1、研究内容：、研究内容：在科学技术领域中，还会遇到与微分学相反的问题：在科学技术领域中，还会遇到与微分学相反的问题：“寻求一个可导函数寻求一个可导函数F(x)，使其导数等于已知函，使其导数等于已知函f(x)”， 从而产生从而产生一元函数积分学一元函数积分学（不定积分和定积分两分）。（不定积分和定积分两分）。2、研究思路：、研究思路： 本章我们先从本章我们先从导数的逆运算导数的逆运算引出引出原函数、不定积分原函数、不定积分的概念、性质，然后系统地介绍的概念、性质，然后系统地介绍积分方法积分方法。

2、重点重点原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分公式、直接积分法基本积分公式、直接积分法换元积分法、换元积分法、 分部积分法分部积分法有理函数积分，有理函数积分，难点难点换元积分换元积分分部积分分部积分有理函数积分，有理函数积分，简单无理函数积分、简单无理函数积分、三角函数积分三角函数积分基本要求基本要求正确理解正确理解原函数和不定积分概念原函数和不定积分概念熟记熟记基本积分公式基本积分公式熟练地运用熟练地运用换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法会用会用待定系数法求有理函数积分待定系数法求有理函数积分会用会用万能代换和三角代换求三角有理式积分万能代换和三角代换求三角有理式积

3、分会求会求简单无理函数的积分简单无理函数的积分一、一、如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数. .原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数.问题问题1：原函数存在定理：原函数存在定理简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.注注2：在某区间内不连续的函数，也可能存在原函数：在某区间内不连续的函数，也可能

4、存在原函数.注注1：“初等函数在其定义区间内一定存在原函初等函数在其定义区间内一定存在原函数数”.若若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数. G(x)是是f(x)的另外一个任意的原函数，的另外一个任意的原函数，则则CxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C定理定理4.1.1: “若若F(x)是是f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)的任一的任一原函数均可表示为原函数均可表示为F(x)+C，C为任意常数。为任

5、意常数。问题问题2：原函数是否唯一？若不唯一，它们之：原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有什么联系？原函数的一般表达式？间有什么联系？原函数的一般表达式？任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. . 为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可再加上积分常数即可例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665C

6、xdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxxxx11而：而：.11Cxdxx )1( 例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(F xy 根据题意知根据题意知F(x)2dxdx,22 Cxxdx,)(FCxx2由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy显然，求不定积分得到一显然，求不定积分得到一积分曲线族积分曲线族.三、三、

7、不定积分的性质不定积分的性质 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF（1）练习：若练习：若11( ),( ).xxf x edxxeCf x求x解：两边对 求导得：111121( )=+xxxxf x exeCexex（）1( )=1+f xx11=(1+)xex(2) ( )( )f xg x dx;)()( dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf ( )kf x dx .)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k dxxfkdxxfkiniiniii)( )(11这说

8、明这说明不定积分具有不定积分具有线性运算性质线性运算性质(3) 积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相差一个常数。只相差一个常数。实例实例1 xx 11.11Cxdxx )1( 四、不定积分的计算四、不定积分的计算1 1、 基本积分表基本积分表 )0(1ln xxx11ln() (0)xxxx实例实例2ln |;dxxCx1 1、基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)(Cxxdx3 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx

9、 xdxsin)7(;cosCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 2、直接积分法：直接积分法：被积函数被积函数先恒等变形先恒等变形，再使用基本积分表和积分性质。，再使用基本积分表和积分性质。例例5(1)5(1) dxxx)1213(22 d

10、xxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 1163(2)2xxxdx1113232xxxxdx111 32 3( )2 2xxdx136 3( )32xxdxdx6133( )3ln323ln2xxC例例6 6 求积分求积分.)1(122dxxxxx 解解dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx例例7 7 4221xxdxx“分子拆开分子拆开”42222221xxxdxx222(2)1xdxx3122arctan3xxxC例例8dxxx 241解解dxxx 241dxxx 2411)1(

11、dxxx 11122Cxxx 331arctan例例9dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossin “1” dxxxsin1cos122Cxx cottan例例1010 求积分求积分.2cos11 dxx解解 dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx “分母化简分母化简”例例11dxxx 2cos2sin122dxxx 2cos2sin4422dxx 2sin14Cx cot4练习：练习：1 1 、2sin.2xdx1(1 cos ).2x dx2tan xdx2、2(sec1).xdx解解练习练习 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf