线性规划的的应用举例

1、【课题】 5 5 线性规划问题的应用举例【教学目标知识目标： 用六个案例介绍了线性规划模型在生产实际中的应用.能力目标： 通过六个案例，学习线性规划模型建立的方法和技巧.【教学重点】 用适当的方法，解决线性规划问题.【教学难点】 用适当的方法，解决线性规划问题.【教学设计】1本节分别介绍了投资问题，生产安排问题，环境保护问题，混合问题，运输问题和下料问题等六个案例，通过这些具体的案例，使学生认识线性规划的应用.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2案例 1 是一个投资计划制定问题，要在可承受的亏损范围内，使获利尽可能的多，因此目标函数是获得利润，约束条件是资金限制和亏损的承受范围.这是二元线性规划问题，故可

2、用图解法解得 .聞創沟燴鐺險爱氇谴净。案例2 是一个简单的生产安排问题，生产所获利润取决于三种产品的产量，因此以三种产品产量为决策变量，表格中列出了资源限制条件，据此可得约束条件.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。案例3 是一个环境保护问题，其中各种因素已经作了简化，在列出的三个条件中，（ 3）成立必使（ 2 ）成立，因此条件有冗余，作简化后得约束条件.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。案例 4 是混合问题，类似于案例2.案例5 是运输调配问题，这是一类典型的问题，一般的运筹学教材中都会专门介绍，本例是产销平衡的，要使总费用最低，必须知道各调运路线的运量，因此所设决策变量较多，为便于学生理解，变量写成教材的形式，有时

3、我们也可用双下标的形式来表示变量.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。案例 6 是下料问题，与前面所举例一样，只是截法增多了.教学教师学生教学时过程行为行为意图间* 新阶段学习导入语线性规划是目前应用非常广泛也非常成功的一种数学方法，但由于实际问题是介绍倾听引领复杂的，千变万化的，因此下面仅举一些经过简化的几种不同类型的问题.学生了解了 解 新阶段的学 习 的3重点* 揭示课题了前面我们已经学习了三种解线性规划问题的方法分别为图解法、引 入 教表格法、 Excel 软件法 .它们各有利弊，本节就实际问题，选用式当的方介绍了解学内容法解决线性规划问题 .第 5 章 线性规划（教案）3说明这就是我们将要研究学习

4、的5.5 线性规划问题的应用举例.* 创设情景兴趣导入案例 1投资问题制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最播放观看大盈利率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为30%和 10%，投资人课件课件计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元，问投资人对甲、 乙两个项目如何投资，才能使可能的盈利最大？试建立线性规划模型，并用图解法求解 .解 设投资人投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元 .引导思考xy10分析目标函数最大化 max Zx 0.5 y ，满足0.3x

5、0.1y 1.8自我x0, y0.建构y0.3x+0.1y=1.8105从 实 际问 题 出发 ， 学生自然的 学 习知识点A5x+y=10O510xz=0画出可行域，如图 5- 10作出目标函数 zx 0.5 y 的 0等值线。即 x0.5 y0,将 0 等值线项可行域内平行移动至点A 处 .此时目标函数取最大值 .xy 10解方程组0.1y1.80.3x得点 A 的坐标为（ 4， 6）所以，当 x =4, y =6 时，目标函数Z 取得最大值 max Z40.567答 问题的最优解为分别投资甲、乙两项为 4 万元和 6 万元，其可能盈利最大为 7万元.案例 2 生产安排问题A 、B、 三种

6、混纺面料，生产 1 单位产品一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产C需要的原料如下表（表5.15）所示：图 像 法解决回忆找出可明确图 像 法行域可行的 解 题域为阴影步骤部分15第 5 章 线性规划（教案）表 5.15产品原料播放羊毛涤纶课件分 析 题A32观看意 ， 选B11课件C24择 解 题方法这三种产品的利润分别为4、 1、 5，每月可购进的原料限额为羊毛8 000单位，涤纶为 6 000 单位，问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润？请建立线性规划模型，并用表格法求解.解设生产产品A 为 x1 单位，产品B 为 x2单位，产品 C 为 x3单位 ,引导表 格 法目标函数 max Z4x1x2

7、5x3 ，分析解决思考3x1x22x38000讨论满足 2x1x24x36000x10, x20, x30.表格计算过程如下（为简便起见，将 3 张表合并一起，用左边的序号表示表格的顺序 ）表 5.16Cj41500BBx1x2x3x4x5biiCX10x431210800040000x521(4)0160001500j4150000x4(2)1011500025002225x31110115003000244j3 100575002444x11101125004243第 5 章 线性规划（教案）x31135142500885372504j08112508得到最优解：生产A 为 2 500 单

8、位， B 为 0 单位， C 为 250 单位，最大利润为11 250 单位 .案例 3环境保护问题某河流旁设置有甲、乙两座化工厂，如图5-11 所示，已知流经甲厂的河水日流量为50010 4 m3 , 在两厂之间有一条河水日流量为20010 4 m 3 的支流 .甲、乙两厂每天生产工业污水分别为2104 m3 和 1.4104 m3 ，甲厂排出的污水经过主流和支流交叉点P 后已有 20%被自然净化 . 按环保要求， 河流中工业污水的含量不得超过0.2%，为此两厂必须自行处理一部分工业污水，甲、乙两厂处理每万立方米污水的成本分别为1 000 元和 800 元 . 问：在满足环保要求的条件下，各

9、厂每天应处理多少污水， 才能使两厂的总费用最少？试建立规划模型，并求解 .污水厂乙厂甲厂解 设甲、乙两厂每天分别处理污水量为x 、 y （单位： 104 m3 ） .目标函数min Z 1000 x 800 y .在甲厂到 P 点之间，河水中污水含量不得超过0.2%，所以满足2 x 25001000在点 P 到乙厂之间，河水中污水含量也不得超过0.2%，所以应满足第 5 章 线性规划（教案）(2 x)(10.2) 25002001000流经乙厂以后，河水中污水含量仍不得超过0.2%，所以应满足(2 x)(1 0.2) (1.4 y) 25002001000综上，得线性规划模型：目标函数min

10、Z1000x800 yx10.8xy1.6满足x2y1.4x 0, y0利用 Excel 软件求解结果为x1104 m3 , y0.8104 m335总费用最少为1 640元 .案例 4 混合问题某养猪场所用的混合饲料由A 、 B 、 C 三种配料组成，表5.17 给出 1单位各种配料所含的营养成分，单位成本以及1 份混合饲料必须含有的各种营养成分，问如何配制饲料时成本最小？表 5.17配料营养成分单位成本DEFA11262B11132C111241 份饲料应含量20610解 设 x j为混合饲料中第j 中配料的含量，j A, B, C ,目标函数min Z6xA3xB2xC ,xAxBxC2

11、0满足1 xA 1 xB1 xC62242xAxBxC10xA , xB , xC0第 5 章 线性规划（教案）利用 Excel 软件求解（请读者完成）结果为 xA 0, xB 4, xC 16 总费用最少为 44.案例 5 运输问题设有两座铁矿山A、B，另有三个炼铁厂甲、乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对应的运价（元）如表 5.18 给出， 问怎样调运送矿石才能使总费用最小？表 5.18铁矿山炼铁厂产量甲乙丙A691260B13345矿石需求量503025105解设 x1 为从 A 运到甲厂的运量，x2 为从 A 运到乙厂的运量，x3 为从 A 运到丙厂的运量，y1 为从 B 到甲厂

12、的运量，y 2 为从 B 到乙厂的运量，y3 为从 B 到丙厂的运量，根据表中给出的条件，建立线性规则模型如下：min Z 6 x19x212 x3y1 3y2 3 y3x1x2x360y1y2y345x1y150满足x2y230x3y325xi , yi0, i1,2,3.利用 Excel 软件求解（请读者完成） ，结果为x150, x2 10, x30, y10, y220, y325, 总费用最少为525 元.案例 6 下料问题4555第 5 章 线性规划（教案）将长为 5 米的钢管，分别截成0.98m和 0.78m两种规格的材料，长 0.98m的需 1 000 根，长 0.78m 的需

13、 2 000 根，问怎样截法，才能使所用钢管最少？解 将长为5 米的钢管，分别截成0.98m 和 0.78m 两种规格的材料，共有如表5.19 所列可能截法 .表 5.19截法0.98m0.78m料头（ m）15 根0根0.124 根1根0.333 根2根0.542 根3根0.751 根5根0.1260 根6根0.32显然，为了节省钢管，不能一根钢管只截一段一种规格的材料，而应采用合理套截方法，为此，必须综合考虑这6种截法.设采用第 j 种截法的钢管数为xj根（ j1,2,6 ）建立线性规划模型：min Z6,目标函数x jj15x14x23x32x4x51000满足 x22x33x45x56

14、x62000x j0, j1,2,6.利用 Excel 软件求解，结果为x1 120, x20, x3 0, x40, x5400, x60, 最少钢管数为520 根.* 运用知识 强化练习练习 5.51.食品 A、 B 中都含有维生素、淀粉和蛋白质，但单位含量各不相同，价格也各不相同，数据如下表所示：成分食品 A食品 B最低需要维生素1390淀粉51100蛋白质32120价格1.21.9今有一消费者购买上述两种产品，要求其中维生素、淀粉和蛋白质的单位数不能低于 90、100、120.该消费者应购买 A、B 各多少，才能使营养适当而价格最低？2.现有一批7.4m 长的钢管，生产某产品需长2.9m,2.1m,1.5m 的三种钢管各为100， 100， 120 根，问如何截取才可使原材料最省？65提问及时巡视思考了解学生指导动手知识求解掌握情况75第 5 章 线性规划（教案）* 理论升华 整体建构总结交流从 整 体本次课重点学习了选用适当的