2017年上海市高考数学真题卷

1、2017年上海市高考数学真题卷2017年普通高等学校招生全国统一考试上海-数学试卷考生注意1 .本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分， 答题纸共2页.2 .作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3 .所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对 应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4 .用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆 珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 .已知集合 A 1,2,3,4 ,B 3,4,5

2、，则 AI B .【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题【答案】3,42 .若排列数P6m 6 5 4，则m .【解析】本题考查排列的计算，属于基础题【答案】33 .不等式坐1的解集为x【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题【答案】，04.已知球的体积为36则该球主视图的面积等于 【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念,4 _3_R 36 R 3,5 1所以S R2 9 ,属于基础题【答案】95.已知复数z满足z 3 0,则|z . z【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模,0 z23设 z a bi ）贝U a2 b2 2abi【答案】33 a 0,bV3i , z Ja2

3、 b2）属于基础题226 .设双曲线x- 2 1b 0的焦点为F1、F2, P为该双曲线上的 9 b一点.若 PFil 5,贝U |PF2 【解析】本题考查双曲线的定义和性质,PF1 PF22a 6（舍）， PF2 PF1 2a 6PF2 11【答案】117 .如图)以长方体ABCD AB1C1D1的顶点D为坐标原点)过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若DB1的坐标为(4,3,2),则岌;的坐标是【解析】本题考查空间向量)可得A(4,0,0), C1(0,3,2)ACu (432),属于基础题【答案】(4,3,2)8 .定义在(0,)上的函数y f(x)的反函数y f-1(x

4、).若xg(x)31,x 0,为奇函数，则f-1(x)=2的解为f(x),x 0【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函 数之间的关系，属于中档题X 0, x 0, g( x) 3x 1 g(x)g(x) 1，所以 f (x) 1 3当x 2时,f(x) 8,所以f(8)2【答案】x 99.已知四个函数：y x；y1X*从中任选2个，则事件 “所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为【解析】本题考查事件的概率，骞函数的图像画法和特 征，属于基础题总的情况有:C26种)符合题意的就两种：和，和【答案】10.已知数列an和bn ,其中an n2,n N，6的项是互不相等的正整数.若对

5、于任意nN，bn中的第an项等于an中的第bn项，则lg b)b4b9bi61g bb2b3b4【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得：ba2. 2 .nabnbn2(bn)1blb1 ,b4b；)所以lg b1b4b9b16lg bb2b3b42lg bb2b3b4=2lg b1b2133b4【答案】211.设1，2R,且2 sin 1 2 sin(2 2)2)10的最小值等1sin(2 2)3,1【解析】考查1要使12 sin 12 sin(2 2)10min1034(2k1k2 )min12 sin- =111=12 sin(2 2)2kl,k1,k2 Z7 k

6、2丁当211时成立2 sin【答案】 12.如图)用35个单位正方形拼成一个矩形)点Pl,P2,P3,P4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处.设集合= P1RF3,P4 ,点p .过p作直线尾,使得不在ip上的“ ” 的点分布在Ip的两侧.用Di(1p)和D2(1p)分别表示Ip 一侧和另 一侧的“ ”的点到1p的距离之和.若过P的直线1p中有且 只有一条满足Di(lp尸D2(lp),则中所有这样的P 为 【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建 立直角坐标系。四个标记为“”的点的坐标分别为 (0,3),(1,0),(4,4),(7,1)，设过 P 点的直线为：ax by c 0,

7、此时有向距离di曾卷，d2告号,d3等金,d4C、a2 b2a2 b2; a2 b2a2 b23a 2b c 0且由 d1+d2+d3+d4 12a 8b 4c 02 -则过Pi的直线满足4b c 0 ；此时a 3b ,直线为：c 4b2,、 ，2、八bx by 4b 0 b( x y 4) 0 ：33所以此时满足题意的直线为：2x y 4=03则过P2的直线满足3a 2b c 0；此时有无数组解，例如：直线x 3,直线y 2等都满足题意.则过P3的直线满足4a 2b c 0；此时；1,直线为：by 2b 0 b(y 2) 0,所以此时满足题意的直线为：y 2=0. ._4则过P4的直线满足6

8、a 6b c 0 ；此时a /，直线为:c 2b44-bx by 2b 0 b( x y 2) 0 ：33所以此时满足题意的直线为:P,B,P二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13 .关于x、y的二元一次方程组2x5；y 04的系数行列式d为A.B.24C.D.【答案】CnB.等于14 .在数列 an,an 2 ,n N,则 “man (A.等于2于2 D.不存在【答案】B15.已知& b、C为实常数，数列Xn的通项Xnan2 bn c, n则“存在kN*,使得Xi00k,X200 k,X30

9、0 k成等差数列”的一个必要条件是（A. a 0 B.C.【答案】A16.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C2：x2+2 1. P为G上的动点,Q为C2上的动点,是OPOQ的最大值.记=P,Q|P在Ci上,q在C2上，且OPOQ=,则A.元素个数为2B .元素个数为4C.元素个数为8 D.含有无穷个元素【答案】D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17 .（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，直三棱柱ABC AB1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2）侧棱AAi的长为5.（1）求三棱柱ABC A

10、B1C1的体积;（2）设M是BC中点）求直线AM与平面ABC所成角的大小【答案】(1) Vabcabq1 2 4 5 20(2) arctan 逐18 .（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 f x cos2 x sin2 x , x 0, 2,（1）求f x的单调递增区间;（2）设VABC为锐角三角形）角A所对的边a尺）角B所对 的边b 5 .若f A 0）求VABC的面积.【答案】（1）-SVABC19 .（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）根据预测，某地第n n N*个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn （单位：辆），其中a5n4 15

11、,1 n 3, ,bn n 5.10n 470,n 4,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量 与累计损失量的差.（1）求该地第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn4 n 46 2 8800 （单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】(1) 93514,n 1102,n 2 Q 514,n 3)所以当n 42时Q取最n2 919n 815,n 4 22大值，为8782此时 S424 42 46 2 8800=8736 8782 ) 所以当Q取最大值时，停放点不能容纳20.(本题

12、满分16分，第1小题满分4分，第2小题满 分5分，第3小题满分7分)2 一在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆 工y2 1, a为 的上4顶点，P为 上异于上、下顶点的动点.M为x正半轴上的 动点.(1)若P在第一象限，且OP|我，求P的坐标；(2)设P 8 3 .若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，5 5求M的横坐标;(3)若 |MAMP ,直线AQ与交于另一点C,且器2器,UuQ 4品求直线AQ的方程.【答案】（1） P"(2)M 20，0 或M3,0 或 M 1,0 ；5>(3)y x 110解析（3） 丁点P是 上一动点）设P 2cos ,sinQ xq,yq )C

13、 xc,yc)且 A 0,1 。记线段AP中点为点Ncossin 122cos xquuurPQuuuu4 PM )uuuPQ3 uuur-QM,4Q 4t 6cos ,3sinp uuur uuur乂 AQ 2 AC.uuurACuuurCQ )C是AQ中点,sinyq 4343434t 6cos2t 3cos3sin又. C是上的一点,2t 3cos21 3sin一 2 一 一一.一2t3 6t cos3sin0MA |MP ,VMAP为等腰三角形）N为底边AP中点,.uuur uuu,MN AP皿rsin 1 uur MN cos t, , AP 2cos ,sin 1 ,2.uuur

14、uuu1 MN AP 2cos cos t sin 1 sin 102/.24cos cos t cos 0 cos 4cos 4t cos 0(1)若cos 0,贝U P 0,sin,由P不在上顶点可知,sinP为下顶点,sin2 2t2 3 6t 0 3无解;(2) cos 0,贝 U 3cos 4t 0t 3cos4cos3 -cos4-36 -cos4cos3sin29sin8sin 1 0sin(舍)cos4,593 4_5.549321.4x5 1 3 , 3 ,(本题满分，直线AQ方程y,5X1018分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)X1x2设定义在R上的

15、函数f x满足：对于任意的。X2 R,当时，都有f X1f X2 .(1)若fxax3 1,求a的取值范围;(2)若f X是周期函数，求证：f X是常值函数；(3)若f X恒大于零.g X是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是gx的最大值.函数hx fxgx,证明：“hx是周期函数”的充要条件是“f x是常值函数”【答案】（1 ）记xix2, 若 fxifx2,f xax3133 c 一.,.3.3fx1fx2ax1x2o ） x x2 'xix2o ） a o则有(2)若fx是周期函数，记其周期为Tk,任取xo R,f xo Tk又由题意）对任意x xo,xo Tk , f xo

16、f x f xo Tk ,f xof x f xo Tk又 f xof xo nTk ,n Z,并且.U xo3Tk,xo2TkUxo2Tk,xoTkUx°Tk,x°U x。？。TkUx°Tk,x02TkU.所以对任意x R, f x f xo C,为常数)证毕。(3)充分性：若fx是常值函数，记f x G,个周期为Tg ,则g xoh xoh x g g x,贝 U 对任意xoR,hxoTgq gxoTgg故hx是周期函数成立。必要性：若hx是周期函数，记其一个周期为集合任取Xo A）则必存在N2 N）使得Xo N2Th Xo Tg）即XoTg , XoXo N 2Th ,X