平面向量等和线专题训练

1、平面向量等和线专题训练1、【 2014宁波二模理 171已知点。是ZkABC 的外接圆圆心， 且AB=3, AC=4.若存在非 等斐数 4 y.使得 AO = xAB + yAC ,且x + 2y = l, WOcos ZBAC= .AO = xAB + yAC = xAB +2yAD, 而 x + 2y = l, 得点B.O.D 三点 共线，12巳知点 O是 ZSAB C的外心，可得 BD± AC ,故有 BC=AB=3, AC=4,求得2cosZBAC = -.32、【2014杭卅二模文 8理6】设OAABC 的外心（三角形外接 01的01心）. 若 1 * I I-AO=-AB

2、 + -AC，则匕 BAC 的度数为（ ）33_AW C-D.900604*解豊取 AC中点D,则有可昇+ | 而得点 B,g三点共线,己知点。是 的外心，可得 BD±AC ,即有 AO=BO=2DO, 故可求得 ZBAC = 60°.3、【 2009浙江理样卷 6已知 MO B, 点P在直线 AB 上，且满足 OP = 2tPA+tOB（f e /?），D.3解答： 由已知 OF棉得，二 -1 或匕砌。 = 120',若 Ad = xAByAC（xty 实数），则 x + y 的最小值为4、【 2014浙江省六校联考理 17】已知 OAABC的外心， AB = 2

3、a，AC=-(? >0),卜貰月 + 乂乂。 ) ，其中而 .所求取值范兩是 2,+8) .解：由 AOxAByAC可得： 2a2 2a 2x- 2y,-2x +-y -2df: +1* = 矿+2yKc ri2a2+ 1 a2+ 2 4所以丁二+狞+亏 w .1 尸、今2014浙江省六校联考 17】已知。为 M5C 的外心，如 =2a, JC = -(a>0), aZ5JC = 120-,若 AO =xAB+ yAC(x,则 x+y 的最小值为注意外接圆 AB-AO = |AB| 2|AO| COS0BAO = |AB|ABP AC-AO = |AC| 2|AO|COS0BAO=

4、|AC |AC |.题设等式乘 XS 得： AB-AO = xABz+ yAB-AC , gpiAB 2= AB2x- 2y 题设等式乘 AS 得：AC AO = xAB AC + yAC2, BPAC 2=-2x +ACVx + y- ABAC 渺 +7 + 4J >2L 魂 differ 外>|j, .4B =2a,AC =-a>0,aeRZBAC = 120r, 若 aM=aAB+pAC(.a匯. 火 ), 则责廉最小值为多少？ 解答，将 a如成在直角坐标系中，且 <球和原点、 . “和遍方向重合，依据題惹有， 源坐标为(0,0),8点坐标为(边0), C点坐标为

5、吏), 夕卜，姓标是 AB中垂线和 J中垂线交点 o a a ,45中垂线方程为， X = a顶冲垂线斜率 k鹵,且经过 4、C3S线的中点(- 丄.吏)32a 2a得到夕卜 15坐标为， J,±(a + j).40 =a,手(a + 2)ocAB 3AC=a(la, 0)+(,-. )a a 解得 a+>3=；+护+j)=2(a = 1时候等号取到 )2, 谜? 拙谦内心，招 =2a,XC = ( a>0,ae&),Z8,4C=120ZlAO=aAB+/3AC(a哭. R)测 a+戲最大值为多少？3,AB=2a,AC = -(.a>Q,aeR), Z&am

6、p;4C=1203AO=aABj3AC(a. J3e人) ，则側律最小值为多少？4, 表-招學重心， .招=2g4C = Z(a>0q色人), 圣 ?=120二Ad=alB+/5AC(a. (eR),则冶织多少？ 5 、【 2013学年第一学期末宁波理 17】已知。为 MBC的外心，AB = 4, AC = 2, Z.BAC = 120°.若 AO= A, AB + % AC - 则+ 爲= 解法 1：如图.设 AOBC = E . EO = m. AO = R, AF 丄 BCTF点. OG± BC TG点，则易知 AO = -AE = (xAB + ytAC.其中

7、 x( + y( = 1,由已?知可求OG 13 +-R_m Rmx7J8 = 16*_4& 2 = 74+4%故AF=?匝，故可求得 q+A, =-= AF + 0G7R-m AF而用=4祠+么衣福AO AC = AB AC + ZAC1解法3：设A( 0,0), B(4,0), C(-1,J5)，外心O是AB中垂线x = 2和人C中垂线交"*),45 = (4,0). AC=(- LV3).2 = 44?￥=圮4+屈'有 重解 误，13 变式 1 】、已知向量 “0的 夹角为亍， h.krl=4. b=2, la-cl=ld-cl=ld. 若 c=x?+y6.则

8、r+y=.6、【 2013学年第一学期月考宁海县正学中学文17】已知 q, 3为平面内两个 互相垂直的单位向量，若向量 c满足 c + ? = 2(c + A) (2e R),则|c|的最小值为 .- 2 - 1 - 一 _ .解答:如图，A 由已 1知 - 2c =- 1b -+ a ,设a -A O一 A _? 1 b . OB ?c = OC，则点 C 在直线 AB±,得杯=| 况|有最小偵7, 2012年稽阳联考 15】A, B. P 是直线上不同的三点，点 O在直线，外，若OP = mAP + (2m-3)OBfn ? /?), 则坚匕 28、【 2013杭二中高三适应 考

9、理17】如图，在直角梯形 ABCD 中，ADLAB, AB / DC , AD = DC = . AB = 2, 动点 P 在以点 C 为圆 心， 且与 直线 8 。相切的网上或側内移动 ,已知等差数列%的前"项和为s, 若汤=的?糸+ 4火?况,且 A.B.C三点共线（该懺不过点。） , 则&心等于（D）C. 1010 D. 1005A. 2010 B. 200810,已知等差数列的前 "项和为 S“，若不=纯而+4顼；况，且 A,R,C 1点共线（该直线不过点 0）,则等于（D）A. 2014B, 2012C. 1012 D. 1（X）7解答：如图，在 OB 上

10、取一点 D,使 OB=3OD,设。 CCAD = E. OE = m . EC = n. 则有。c = m+% =+ 其中= 1,另有m m v /r . r . m + n nOC = xOA + yOB = xOA + 3yOD . 得 x+3y = = 1+.易知当点 C 和点 A 重m m合时兰达最小值 0,当点 C和点 B 重合时三达最大值 2,故 x+3yei,3. mm考虑到 C为弧如上的一个动点， OCxOAyO显B然 x, > ? 0,1两边平方； ；ocxOAyOB2 2 2 r 2 2xy OA OB y 2 r 2消宀 y2+x y-i-x 2-l-0 ,显然 =

11、 4-3/>0"得: , o故不妨令 f（x） .：x_ 3 '3" -(X ? O,!)*广（对 =一厂场项 所以，（x）在xe0,l上单调逮减”（0）=3,八1） = 1,得/（ x）eL3,9x12, 如图，四边形 OABC 是边长为 1的正方形， OD=3,点P为ZXBCD 内（含边界）的动 点,设 OP = aOC + fiODa, 0E R）. 则 a+fi 的最大值等于 §13、在平面直角坐标 系中， O是坐标原点， 若两定点 满足冋=网=以而=2, 则点集 I OP =人汤+面, +2,人, R所表示的区域 的面积 是史匝14、若等边

12、 MBC 的边长为 2,平面内一点 M 满足 CM= -CB+-CA,则MA MB =(C)18 , 13- 8r 13丄一 B. C. -D. 9 9 9 915、若等边 MBC的边长为 2J5,平面内-点 M 满足 CM =|CB + |C4,则16、若M为MBC内一点，旦 满足 AM -ABAC ,则 AABM 与 MBC的面积之比 为 LI.17、设 O是 MBC的外心， AO = xAB + yAC. |=4, |XC| = 6, 2x+-y = . 姻ABAC=18、已知 O为 ZSABC 的外心，丨赢卜 16,1花1=1版，若AO = xAB + yAC . H 32*+25y=

13、25,BI| OA|= 10 .19、已知 A、B是单位圆上的两点， 。为圆心，且 ZAOB =120", MN是岡。的一条直径，点 C 在圆内，且满足 OC = ZOA + (l-A)OB (0<2<1),则兩' , 加 的取值范围是 (C)1 3A. I-.DB. -1,1)C. |-,0)D. |-1,0)20、已知圆。的半径为 2, A. B是圆上两点且 ZAOB= , MN是一条直径， 点C在 圆内 n满足OC = AOA+ ( I-A) OB( o<A<i ) .则兩.成的最小值为 (C)21、已知。 (0,0) ? A(cos a, si

14、n a) , 5(cos sin p ? C(cos y, sin /). 若22、氐話+(2 &)而+况=0, (0<Av2),贝"cos( 。一夕)的最大值是2014稽阳联谊理 16】在A4BC中，ZBAC = 90°,以AB 为一边向外作等边AABD，若 ZBCD= 2ZACD ? AD= 2AB + /AC 测 4 + /Z = 解：如图，设点 D 关于 AC 的对称点为 0，且 DD'交 AC 于点 E.设 NDC4 =2。,ZCD'D = 90。 QZCBD= 150°-3Q 在DCD ABCD中利用正弦定则 /BCD =

15、CD BD_ DD' CD理得 = = =从而得sin(150 -3。) sin 20 sin 20 sin(90 -0)sin(l50 -° 30) = sin(90" -。)，从而 150° - 3。= 90'一 。或 150" - 38+9(/ -。二 180"从 而得 3 = 15°.显然 A = = -,/ = - = - 故人 + , = 上虫.AB 2 AC 2 2解：|X5 +（2-2A）AC|=|1AB+ （1-1 ） -2A C|AD| 最小值是 2, 设示=4届+ （1 九）而，则点E在直线AD 上.AB=4, AC=2, AD=4 故当 AE长度最小为 2时，E为 B D 中点，AE LBD t 得ZBAC = 120°,取BC中点 F,连结AF,取AF中点 G,则有：I、MBC 内接于以 O 为圆心 ， 1为半役的圆，且 3虱+4 而+5 况=0,则元 ?丽= 解：|我 i+4 而卜 5而"两边平方得 04 OT-0.故况而二：瓦：血）伽 _例 =2、在 AABC 中' AC=2, BC=6, O 是 MBC 内一点， ROA-￥3OB+4OC = Q ,则 OC （BA+2BC ）= _ .解法 1：设 8（ -3, 0