必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)

1、美博教育任意角与弧度制知识梳理 :一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB就形成了角，记作：角或 可以简记成。2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为 正角、零角和负角。正角：按照 逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。3、 “象限角”为了研究方便， 我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 x 轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上 ，则此角不属于任何一个象限， 称为轴线角。

2、4、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：(1)终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(k Z)个周角的和。( 2)所有与终边相同的角连同 在内可以构成一个集合S | k 360 ,k Z即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和一、/-.、二注意 ：1、 k Z2、 是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。例1、(1)若 角的终边与8-角的终边相同，则在0,2上终边与一的角终边相54同的角为。若9角的终边与8冗/5的终边相同则有：9 =2

3、+8兀/5 (k为整数)所以有：8/4=(2kTt+8 兀 /5)/4=k 兀/2+2 兀/5当：0&kTt/2+2 兀/502 兀有：k=0时，有2冗/5 与9/4角的终边相同的角 k=1时，有9冗/10 与8/4角的终边相同的角(2)若和是终边相同的角。那么 在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角:(1) 210 ;(2) 1484 37 .例3、求，使 与900角的终边相同，且180 ,1260 .2、终边在坐标轴上的点：终边在x轴上的角的集合： |终边在y轴上的角的集合：|终边在坐标轴上的角的集合：|3、终边共线且反向的角：终边在y=x轴上的角

4、的集合：|终边在y x轴上的角的集合：4、终边互相对称的角：k 180 ,k Zk 18090 ,k Zk 90 ,k Zk 18045 ,k Zk 18045 ,k Z则角与角的关系：360 k则角与角的关系：360 k180则角与角的关系：180 k与角的关系：360 k 90若角与角的终边关于x轴对称, 若角与角的终边关于y轴对称, 若角与角的终边在一条直线上， 角与角的终边互相垂直，则角例1、若k 360m 360(k,m Z)则角 与角 的中变得位置关系是()。A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称例2、将下列各角化成0到2的角加上2k (k Z)的形式(1

5、) -(2)3153例 3、设集合 A x|k 360 60 x k 360 300 , k Z ,B x|k 360210 x k 360 ,k Z ,求 A B, A B.二、弧度与弧度制1、弧度与弧度制：弧度制一另一种度量角的单位制，它的单位是rad读作弧度定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图： AOB=1rad , AOC=2rad , 周角=2 rad一、/汪忠：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角 的弧度数的绝对值-(l为弧长，r为半径)r3、用角度制和弧度制来度量 零角，单位不同，但数量相同(都是 0) 用角度制和弧度制来度量任一非零

6、角，单位不同，量数也不同。4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系：= 360 =_rad 180=_rad1 =rad 0.01745rad1801801rad 18057.3057 18'注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零例1、把67 30'化成弧度一 ,3例2、把-rad化成度5例3、将下列各角从弧度化成角度一 一3(1) 一 rad(2) 2.1 rad(3) - rad365例4、用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合 2 终边在y轴上的角的集合

7、三、弧长公式和扇形面积公式1 r ;S -lR - r222例1、已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的中心角的弧度数是 L或4-例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为 1 ,求这连个角的大小分别为。4例3、直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长力 1653例4、(1) 一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2) 一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的 面积最大？例5、（1）已知扇形的周长为10,面积为4,求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40,当它的半径和中心角

8、取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？（七）任意角的三角函数（定义）1 .设是一个任意角，在 原点的距离r 7x2 |y|22 .比值y叫做的正弦x cos 一r比值y叫做的正切x的终边上任取（异于原点的）一点记作：sin ;比值叫做 r rP （x,y ）,则 P 与的余弦 记作：记作：tany ;比值二叫做 的余切 记作:x y7cot比值匚叫做的正割 x记作：sec 工；比值上叫做 的余割 记作: x yr csc 一y注意突出几个问题：角是“任意角”，当=2k + （k Z）时，与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。三角函数是以“比值”为函数值的函数r 0,而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确止三角函数在各象限的符号：定义域：ysinycotycosysecytanycsc4.是第二象限角，P (x,护)为其终边上一点，且 cos =±2x,则sin =4,10. 4 . 已知角 的终边落在直线y=-3x (x<0)上，则回IcosJ2.s