第7章 刚体力学复习

1、1 ( Mechanics of Rigid Body ) 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 力矩和转动惯量力矩和转动惯量 刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理 角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律 刚体的平面平行运动（纯滚动）刚体的平面平行运动（纯滚动） 刚体刚体是一个理想的力学模型，它是指各部分的相对是一个理想的力学模型，它是指各部分的相对位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变的位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变的物体。物体。2一一.刚体运动学刚体运动学-研究刚体按怎样的规律研究刚体按怎样的规律转动转动? 刚体的定轴转动可类比于质点的直刚体的定轴转动可类比于

2、质点的直线线 运动运动 角位置-位置x 角速度 -速度 角加速度 -加速度ddtdxvdtddtdvadt3二二. 刚体动力学刚体动力学-研究刚体为什么会这样研究刚体为什么会这样转动转动? 刚体的定轴转动可类比于质点刚体的定轴转动可类比于质点动力学 转动惯量转动惯量I-质点的质量质点的质量m 角动量角动量 -动量动量 角动量定理角动量定理 -动量定理动量定理 转动定理转动定理 -牛顿第二定律牛顿第二定律 相同的定理相同的定理-质心运动定理质心运动定理 L I,PmvdLMdtdPFdtM IFma4三三.刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系-转动转动动能定理类比于质点的动能定理动能定理

3、类比于质点的动能定理 转动动能定理 质点的动能定理2122211122MdII22211122CBF drmvmv5 四四.刚体的平面平行运动动力学的处理刚体的平面平行运动动力学的处理方法方法: 质心运动定理+绕质心轴的转动定理 五五.刚体的平衡条件要掌握刚体的平衡条件要掌握61. 刚体的基本运动形式刚体的基本运动形式 刚体刚体由无数个连续分布的质点组成的质由无数个连续分布的质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个点系，每个质点称为刚体的一个质量元质量元。每个。每个质点都服从质点力学规律。质点都服从质点力学规律。基础基础刚体的运动刚体的运动平动和转动平动和转动。任何复杂的运。任何复杂的运动为两

4、者的叠加。动为两者的叠加。7刚体的复杂运动刚体的复杂运动平动和转动的叠加。cv* *. .刚体的平动可以简化为质点的运动。刚体的平动可以简化为质点的运动。8（a）2. 定轴转动的运动学描述定轴转动的运动学描述oXY如图如图(a)所示，所示，O-XYZ坐标系的坐标系的Z轴与转轴重合。刚轴与转轴重合。刚体上坐标体上坐标（X,Y）相同但相同但 Z 坐标不同的质元，具有坐标不同的质元，具有相同的运动状态。用相同的运动状态。用O-XY坐标平面自刚体截出一平坐标平面自刚体截出一平面图形如图面图形如图(b) 所示。所示。oXY（b）9oXYAAr在平面图上除在平面图上除O点外任选一点点外任选一点A，则图形的

5、位置可由，则图形的位置可由A的的位置唯一确定。位置唯一确定。A点的位置矢量为点的位置矢量为 ， 由于矢经的大小由于矢经的大小不变，故其位置可由自不变，故其位置可由自OX轴逆时针转至轴逆时针转至OA的角的角 说明。说明。r刚体定轴转动的角坐标（规定：逆时针为正）。刚体定轴转动的角坐标（规定：逆时针为正）。故：刚体定轴转动的运动学方程为：故：刚体定轴转动的运动学方程为：( ) t在在 时间内刚体发生角位移时间内刚体发生角位移 t则刚体转动的角速度为：则刚体转动的角速度为：0limddttt 10则刚体转动的角加速度为：则刚体转动的角加速度为：0limddttt 与质点运动学相似，已知初始条件，由角

6、速度、角加速与质点运动学相似，已知初始条件，由角速度、角加速度通过积分可以求出刚体的运动方程。度通过积分可以求出刚体的运动方程。( ) t角加速度角加速度 为常量的转动匀变速转动，则有：为常量的转动匀变速转动，则有：2012tt0t 2202,角量角量,r v a 线量线量vrar113. 角速度的矢量性、角速度的矢量性、定轴转动的特征：, , ,不同；相同。r v a s POX)1( ：角角坐坐标标角角位位置置dtd角速度：)2(rvvXOPrdtd大小：方向：右手螺旋法则。11sradSI秒：弧度单位12dtd角加速度：) 3 (dtd大小： 反方向。与为减速运动，当同方向；与为加速运动

7、，当方向：, 02, 01dd22rrvaran)(22sradSI秒：弧度单位刚体定轴转动刚体定轴转动说明：有限大小的角位移并不是矢量，只有无限小说明：有限大小的角位移并不是矢量，只有无限小 的角位移、角速度才是矢量。的角位移、角速度才是矢量。134. 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面平行刚体的平面运动。平面平行刚体的平面运动。利用与固定平面平行的平面在刚体体内截出一平面图利用与固定平面平行的平面在刚体体内截出一平面图形，此平面图形位置确定，则刚体的位置即可确定。形，此平面图形位置确定，则刚体的位置即

8、可确定。14xyO y xBBr rA在图形所在的平面内建立在图形所在的平面内建立Oxyz坐标系，坐标系，z轴与图形平轴与图形平面垂直，如图所示。在刚体上任选一点面垂直，如图所示。在刚体上任选一点B基点基点，位置矢量为：位置矢量为： ，仅有，仅有B点还不点还不能完全确定刚体位置，能完全确定刚体位置，why？Br以基点以基点B为原点，建立如图所为原点，建立如图所示的坐标系示的坐标系 。 Bx yA为刚体上任一点，其为刚体上任一点，其位置矢量位置矢量 与与 轴的夹角为轴的夹角为 ，如何，如何确定刚体的位置呢？确定刚体的位置呢？ rBx15刚体平面运动可表示为：刚体平面运动可表示为：刚体随基点的平动

9、刚体随基点的平动刚刚体绕过基点且与图形平面垂直的转轴的定轴转动体绕过基点且与图形平面垂直的转轴的定轴转动刚体随基点的平动刚体随基点的平动:( )( )( )BBBBrr tx t iy t j绕过基点且与图形平面垂直的转轴的定轴转动绕过基点且与图形平面垂直的转轴的定轴转动( ) t说明：在运动学中，基点的选择完全是任意的说明：在运动学中，基点的选择完全是任意的16xyO y xBBrrA如图所示，如图所示，A点相对点相对 坐标系的位置矢量为：坐标系的位置矢量为：o xyBrrr两边对时间求导数，得：两边对时间求导数，得：ddddddBrrrvtttBvvvBvvr如何计算刚体平面运动时如何计算

10、刚体平面运动时A运动的速度运动的速度 ？v17cvP利用利用 讨论车轮无滑滚动的条件。讨论车轮无滑滚动的条件。Bvvr圆柱体滚动时，圆柱体边缘上各点与支撑面接触的圆柱体滚动时，圆柱体边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面间无相对滑动瞬时，与支撑面间无相对滑动无滑滚动。无滑滚动。无滑滚动的特点无滑滚动的特点：圆柱体边缘在与支撑面接触时，相：圆柱体边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的瞬时速度为零。对于支撑面的瞬时速度为零。18则轮胎边缘上任一点的速度为：则轮胎边缘上任一点的速度为：cvvrPcvr 选择车轴上一点选择车轴上一点C为基点，平动速度为为基点，平动速度为 ，车轮，车轮半径为半径为 r ，

11、绕过，绕过C点的轴转动的角速度为点的轴转动的角速度为 ，cv车轮无滑滚动时，对于瞬时接触地车轮无滑滚动时，对于瞬时接触地面的面的P点，其瞬时速度为零。即：点，其瞬时速度为零。即：0cvr在如图所示的坐标系水平方向上的分量为：在如图所示的坐标系水平方向上的分量为：yxcxzvr上式即为圆柱体做无滑滚动的条件。上式即为圆柱体做无滑滚动的条件。19cvP摆线、圆滚线摆线、圆滚线圆柱体做无滑滚动时，边缘上一点在空间画出的轨圆柱体做无滑滚动时，边缘上一点在空间画出的轨迹如图所示。迹如图所示。20质点的动量：质点的动量：质点系的动量：质点系的动量：pm v1niiiPm v一、刚体的质心一、刚体的质心质点

12、系的质心坐标表示为：质点系的质心坐标表示为：iicim xxmiicim yymiicim zzmiicim rrm21则刚体的质心坐标表示为：则刚体的质心坐标表示为：ddVcVx mxmddVcVy mymddVcVz mzm式中：ddV= dSm例例1:求长为求长为L的均匀细棒的质心。的均匀细棒的质心。(棒的质量为棒的质量为m)xydxxdmL解：选取质量微元解：选取质量微元dm，则，则 ddVcVx mxm2202LcMxdxLLxM即即:质心位于棒中点处质心位于棒中点处例例2:求半径为求半径为a的均匀半球体的质心。的均匀半球体的质心。r解：由对称分析可知：解：由对称分析可知：0ccxy

13、ddddVVcVVz mzVzmV23将半球分割成一个个半径将半球分割成一个个半径 r 的小圆盘，则：的小圆盘，则：232( cos )sincos2ddz= (asin )ddVraa032/23cossincos1 42338dddVcVz VaazaVa 如果刚体由几个部分组成如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心如何计算？则刚体的质心如何计算？24如果刚体由几个部分组成如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心与组建刚体的则刚体的质心与组建刚体的各部分的质心关系仍可采用前面讲过的质心坐标公式，各部分的质心关系仍可采用前面讲过的质心坐标公式，仅需做如下的变换仅需做如下的变换: im表示刚体各部分

14、的质量表示刚体各部分的质量,iiix y z,icicicxyz( 刚体各部分的质心坐标刚体各部分的质心坐标 )iicCim xxmiicCim yymiicCim zzm25例例3: 在半径为在半径为R的均匀等厚大圆板一侧挖去半径为的均匀等厚大圆板一侧挖去半径为 R/2的小圆板，大小圆板相切，如图所示。的小圆板，大小圆板相切，如图所示。求：剩余部分的质心。求：剩余部分的质心。xyo解：建立如图所示的坐标系。考虑解：建立如图所示的坐标系。考虑 对称性可知：对称性可知：0Cx 圆板单位面积的质量；圆板单位面积的质量；大圆板质量：大圆板质量：2MR大圆板质心坐标：大圆板质心坐标：0cx 26小圆板

15、质心坐标：小圆板质心坐标：小圆板质量：小圆板质量：214Rm 12cRx剩余部分质量：剩余部分质量：2234Rm 则剩余部分质的质心坐标则剩余部分质的质心坐标 由下式确定：由下式确定：2cx222234240cRRRxR26cRx xyo27二、刚体的动量与质心运动定理二、刚体的动量与质心运动定理刚体可视为由无穷多个质点组成，则刚体的动量应等刚体可视为由无穷多个质点组成，则刚体的动量应等于所有质点动量的矢量和。即：于所有质点动量的矢量和。即：i iPmviiiicim rm rrmm由质心的定义式：由质心的定义式：ddddtdtdtciiiirrmm rmci iPmvmv-刚体的动量刚体的动

16、量可得：可得：28dddddtdtcccmvvPmmat刚体动量表达式两边对时间求导数，可得：刚体动量表达式两边对时间求导数，可得：iF即：刚体质心运动定理表示为作用在刚体上所即：刚体质心运动定理表示为作用在刚体上所有外力的矢量和等于刚体质量与刚体质心运动加速有外力的矢量和等于刚体质量与刚体质心运动加速度的乘积。度的乘积。icFma刚体质心运动定理刚体质心运动定理若刚体所受合外力为零，则动量守恒。若刚体所受合外力为零，则动量守恒。29解解: 质心偏离转轴质心偏离转轴,则质心绕转轴作半则质心绕转轴作半径为径为d的圆周运动的圆周运动, 其向心加速度为：其向心加速度为：例例4：园盘形匀质飞轮：园盘形

17、匀质飞轮m5kg，半径，半径r0.15m，转速，转速 为为n400转转/分分，飞轮做匀速转动，飞轮质心距，飞轮做匀速转动，飞轮质心距 离转轴离转轴d0.001m。（忽略飞轮自身的质量）。（忽略飞轮自身的质量）rd222400 3.14/300.001( / )cadm s求求: 轴处所受作用力轴处所受作用力30方向方向:由质心指向转轴由质心指向转轴。由于转动体质心偏离转轴。由于转动体质心偏离转轴,则则轴承和支座受到时上时下时左时右的周期力的作用轴承和支座受到时上时下时左时右的周期力的作用,使机座产生有害震动。使机座产生有害震动。由于当飞轮转动时由于当飞轮转动时,不考虑重力的影响不考虑重力的影响

18、,故轴承处受故轴承处受到的作用力大小为：到的作用力大小为：2227( )FmdN31一、刚体定轴转动对轴上一点的角动量一、刚体定轴转动对轴上一点的角动量1m2mo1r2r1L2LL如图所示，由如图所示，由m1、m2以及细绳以及细绳组成的刚体，绕轴以组成的刚体，绕轴以 旋转旋转O点为轴上任意一点，则点为轴上任意一点，则m1和和m2对对O点的角动量分别为：点的角动量分别为：111 1Lrmv2222Lrm v则刚体对则刚体对O点的角动量为：点的角动量为：12LLL刚体对刚体对O点的角动量点的角动量 与角速度与角速度 方向不相同。方向不相同。L32说说 明：明：v 动量总是沿速度方向，但刚体绕定轴转

19、动时的角动量总是沿速度方向，但刚体绕定轴转动时的角 动量不一定沿角速度方向；动量不一定沿角速度方向；v 当质量分布与几何形状有共同的对称轴，且刚体当质量分布与几何形状有共同的对称轴，且刚体 绕该对称轴转动时，角动量与角速度方向相同；绕该对称轴转动时，角动量与角速度方向相同；222121 12 22zzzzzzLLLmrm rmr21()nzi iziLmr刚体对转轴的角动量为：刚体对转轴的角动量为：33二、刚体对一定转轴的转动惯量二、刚体对一定转轴的转动惯量由刚体对轴的角动量的表达式：由刚体对轴的角动量的表达式：21()nzi iziLm r可知，令可知，令21nziiiIm r转动惯量转动惯

20、量则刚体对轴的角动量表示为：则刚体对轴的角动量表示为：zzzLI刚体：刚体：质点：质点：角动量、角动量、动量、动量、转动惯量、转动惯量、质量、质量、角速度角速度速度速度转动惯量转动惯量 I 是用于描述刚体转动惯性大小的量度。是用于描述刚体转动惯性大小的量度。对于质量连续分布的刚体：对于质量连续分布的刚体：2dzLIrm34平行轴定理和正交定理平行轴定理和正交定理22222zi iiiiiiiixyImrm xymxm yIIXYZimixiyirO平行轴定理平行轴定理:2cIImdcdm正交轴定理正交轴定理:zxyIII35 例一例一 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。（1）轴通

21、过棒的中心并与棒垂直。（2）轴通过棒的一端并与棒垂直。 解解：（1）在棒上取质量元，长为 dx，离轴 O 为 x，棒的线密度为XlOxdxlm222mdIx dm xdlxdxl整个棒对轴 O 的转动惯量为2222112llmIdIx dxmll则 dm 对转轴的转动惯量为36XldxOx（2）22013lmIx dxmll或利用平行轴定理2cIImd同样得222111223lImlmml37 例二例二 求质量为 m，半径为 R 的细圆环和均匀薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动时的转动惯量。解解：（1）在圆环上取一质量元为dlRmdldm2该质量元对轴O 的转动惯量为222mdIR

22、dmRdlR整个细圆环对轴O 的转动惯量为22202RmIdIRdlmRRdlOR38ORrdr（2）在 r 处取一宽为 dr 的圆环，质量为rdrRmdSdm22于是有2dIr dm整个薄圆盘对轴 O 的转动惯量为22220122RmIr dmrrdrmRr中间挖空后如何？中间挖空后如何？39 例三例三 密度为的均匀矩形板，求通过与板面垂直的 几何中心轴线的转动惯量为 。其中 a 为矩形板 的长，b 为它的宽。2212baabdmxyabOdxdydSdm2222dIxydmxydxdy它对过O且垂直于矩形板的轴的转动惯量为 解一：解一：在矩形板上任取面元 dS，其质量为40整个矩形板对该轴

23、的转动惯量为整个矩形板对该轴的转动惯量为222222233222221312abababbaIdIxydxdyx y xyab ab 41223322211312aaayaIbx dxbxa b同理得：由垂直轴定理：22112xyIIIab ab223222313112bbbxbIay dyayab解二：解二：如图：如图：xyabOydy42影响I的因素：（一）（一）I与与M对转轴的分布有关；对转轴的分布有关；（二）（二）I与刚体质量与刚体质量M有关；有关；（三）（三）I与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。转动惯量的计算：点转动惯量的计算：点线线面面体体dVdSdldm43二、刚体定轴转动的二

24、、刚体定轴转动的角动量定理角动量定理和和转动定律转动定律（1 1） 角动量定理角动量定理由质点系对由质点系对Z轴的角动量定理，可得刚体轴的角动量定理，可得刚体定轴转动对轴的角动量定理：定轴转动对轴的角动量定理：zdd(I)izMt00ztztd (I) (I)tiztMt44二、刚体定轴转动的二、刚体定轴转动的角动量定理角动量定理和和转动定律转动定律（1 1） 角动量定理角动量定理刚体定轴转动对轴的角动量定理：刚体定轴转动对轴的角动量定理：00ztztd(I)(I)tiztMt即：作用于刚体上合外力矩的冲量等于刚即：作用于刚体上合外力矩的冲量等于刚体对该轴角动量的增量体对该轴角动量的增量角动量

25、定理角动量定理。45刚体为什么会转动？刚体转动状态改变的规律是什么？212kEI212,与比较，知I相对于质点或刚体平动 的质量是物体在转动中惯性大小的量度。反映转动状态改变的难易程度。kEmvm46力对转轴的力矩大小力矩大小为sinFrFdMz 力对转轴的力矩力矩等于在转动平面内的外力 F 的大小和 F 与轴之间的垂直距离 d 的乘积。SOFPdrZ内在平面力SF47，所以有能改变刚体的转动状态只有FFrMz一般情况一般情况FFF平行转轴平行转轴垂直转轴垂直转轴48。牛顿：米单位NmSI代数和zM；方向，刚体顺时针转动，沿；方向，刚体逆时针转动沿用代数表示为矢量。对定轴转动，ZOMOZMMz

26、zz0, 0:49确确定定的的转转轴轴。对对某某一一必必须须指指明明外外力力 FMz相同。相同，产生的效果完全可以不同，只要和是一完整的物理量，MFrM50地位相当。相比较与牛顿第二定律,amF 瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。可用代数表示。的方向均在转轴方位，和在定轴转动中，zM 刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。zMI511221,一轻绳跨过一质量为 的定滑轮（视为半径为 的薄圆盘），绳两端挂质量为和两物体，且滑轮轴间摩擦阻力矩为，绳与滑轮无相对滑动，求物体的加速度和绳中例1:的张力。fmrmmmmM根据牛顿定

27、律和转动定律列方程：根据牛顿定律和转动定律列方程： 解：解：隔离物体，受力分析， 作示力图。1m2mr52 3212121222221111mrMrTrTamTgmmamgmTmf对滑轮对对2211,TTTT 4ra绳与滑轮无相对滑动绳与滑轮无相对滑动2m2Tgm2a1m1Tgm1a1T2TfMOr53联立（1）（4）式可解得22112mmmrMgmmaf2212212111mmmrMgmmmagmTf2212211222mmmrMgmmmagmTf54gmmmmagmmmmTTMmf21122121212时，有和摩擦阻力矩当不计滑轮质量55例例4： 一长为l 、质量为m 的匀质细杆竖直放置，

28、其下端与一固定绞链 O 相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力的作用下由静止开始绕绞链 O 转动。试计算细杆转到与铅直线呈角时的角加速度和角速度。所示。如图的作用链对细杆的约束力，绞解：细杆受重力,NgmP的力矩分别为它们对转轴绞链 Osin21mglMgm0NMOl2lNgm56由转动定律 Isinmgl21213Im l于是得sin23lg由角加速度定义sin23lgdtd进行变换sin23lgdddtddddtd细杆绕轴 O 的转动惯量为57移项得dlgdsin23得时，, 0, 0000t00sin23dlgd积分后化简得角速度为c

29、os13lg对上式积分，并利用初始条件580: 一质量 的匀质矩形薄板绕其竖直边转动，初始角速度为，转动时受到空气阻力，阻力垂直于板面，每一小面积上所受阻力的大小正比于该面积和速度平方的乘积，比例常数为 。问经过多少时间角速度减为原来的一半？已知薄板的竖直边长为 ，水平边例为 。5长mkbadskvdf2ab59 解：解：建立如图坐标系，在距原点 x 处取宽为 dx 的细薄板，根据题意，其受空气的阻力为 bdxxkdskvdf22其对其对Oy 轴的转动阻力矩为轴的转动阻力矩为dxxkbxdfdMf32整个薄板的转动阻力矩为整个薄板的转动阻力矩为bakdxxkbdMMaff4203241Oxya

30、bdxx60细薄板对Oy 轴的转动惯量为222mdIx dmxdsxbdxab整个薄板的转动惯量为整个薄板的转动惯量为22013amIdIx dxmaa由转动定律由转动定律fdMIdt即即2243141dmabdtka61始条件两边积分，并考虑到初得2202003141dmdtbkat所以得0234bkamt 0, 0t621212,: 质量为和的两物体分别悬挂在组合轮两端。设两轮的半径分别为 和 两轮的转动惯量分别为 和轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速例6度和绳的张力。mmRrII和组合轮的受力图。解：用隔离体法分别作21,mmrR1m2m63根据

31、牛顿第二定律和转动定律 111111amTgmm对 222222amgmTm对 12123对组合轮 TR TrII2211,TTTTgm11T2Tgm21T2T64 111111amTgmm对 222222amgmTm对 12123对组合轮 TR T rII绳与滑轮无相对滑动绳与滑轮无相对滑动 421raRa65联立（联立（1）（4）式可解得式可解得12221212m Rm rgIIm Rm r121221212m Rm raRgIIm Rm r122221212m Rm rargIIm Rm r2122211221212IIm rm rRTmgIImRm r2121122221212IImR

32、mrRTm gIImRmr66例例7：两个均质园盘质量分别为：两个均质园盘质量分别为m1、m2，半径分别为，半径分别为 R1、R2，在同一平面内用软皮带相连，在，在同一平面内用软皮带相连，在盘盘1的的 轴上施加力矩轴上施加力矩M，使之由静止开始转动，假设皮，使之由静止开始转动，假设皮 带不打滑。带不打滑。求：两园盘的角加速度求：两园盘的角加速度12, M1R2R121T1T2T2T解：对园盘解：对园盘1、园盘、园盘2进进行受力分析，如图所示。行受力分析，如图所示。根据转动定律列方程：根据转动定律列方程：6712111()MTT RI21222( )TTRI园盘园盘1：园盘园盘2：皮带不打滑：皮

33、带不打滑：1122RR解上述方程得：解上述方程得：221222112MRR IR I212222112MR RR IR I68212kEI22222221211221122kccccEImdImdImv69 cv221122kccEImvdvc70v力对刚体做的功是各个力力对刚体做的功是各个力对各相应质元做功的总和。对各相应质元做功的总和。v内力、垂直转动平台的力均不做功。内力、垂直转动平台的力均不做功。垂直很微小，认为点的矢径为至，点处的质元产生线位移角度，并使轴逆时针转过作用，刚体绕个外力设刚体受转动平面内一OPsdsdrPOsdPdOZF,v（一）力矩的功（一）力矩的功OPFrZdsd7

34、1OPFrZdsd所以力矩的元功为为力矩的功做的功，外力转到当刚体从F212121dMMdAMddA72 212121111niiniidMMddMAA总v即即21dMA总总v（二）力矩的功（二）力矩的功率率MMdtMddtdAPv几个外力对物体做功，则合外力做功之和几个外力对物体做功，则合外力做功之和为为73221122211122AMdIdIIv 合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量的增量。74v niiiiniiiPiPmzmmggzmEE11v得得cPmgzE 度。势能零点（地面）的高为刚体的质心离开重力cz75v 如果刚体定轴转动中除受外

35、力矩外，还受重如果刚体定轴转动中除受外力矩外，还受重力力v矩作用，则有矩作用，则有2122211122外重MMdIIv当选地球和物体为系统时，且当选地球和物体为系统时，且2121ccM dmg zz 重76212222111122外ccM dmgzImgzI v 重力场中刚体定轴转动重力场中刚体定轴转动的功能原理的功能原理即，则刚体机械能守恒。力的合力矩。如果为除重力以外的其他外外外0MM212常量cmgzIv忽略地球动能的变化，则有忽略地球动能的变化，则有77v例例1： 如图，已知滑轮的质量为如图，已知滑轮的质量为 M，半径为，半径为 R ，物体的质量为物体的质量为 m 弹簧的劲度系数为弹簧

36、的劲度系数为 k，斜面的倾角，斜面的倾角为为，物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时，物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑 x 米时的米时的速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）v解：解法一解：解法一v 选取选取 m,M,k 和地球和地球为系统，重力和弹性为系统，重力和弹性力均为系统保守内力，力均为系统保守内力，其它外力和非保守内其它外力和非保守内力均不做功，系统机力均不做功，系统机械能守恒。械能守恒。M

37、Rkx0PEmOm78MRkx0PEmOmv设设 m 未释放时未释放时为初态，此时重为初态，此时重力势能为零。当力势能为零。当m 下滑下滑 x 后为终态。后为终态。v初态能量：初态能量：000pkoEEv（滑轮的重力（滑轮的重力势能不变）势能不变）v终态能终态能量：量：222111sin222kpMEEkxmgxmvI 79v由机械能守恒得由机械能守恒得 222111sin0 1222MkxmgxmvIv由角量和线量的关系由角量和线量的关系得得 22132MvRIM Rv联立式（联立式（1）、（）、（2）、（）、（3）得）得Mmkxmgxv221sin4280v解法二：解法二：选取选取 m、M

38、、k 为系统，由动能定为系统，由动能定理理2211022Mf dxmg dxmvIv绳子的张力为内力。绳子的张力为内力。v所以有所以有220011sin22xxMkxdxmgdxmvIv即即222111sin222MkxmgxmvIv代入角量、线量关系并解之得相同结果。代入角量、线量关系并解之得相同结果。81v例例2：均质杆的质量为：均质杆的质量为m，长为，长为l，一端为光滑的支点。，一端为光滑的支点。 v 最初处于水平位置，释放后杆向下摆动如图所示。最初处于水平位置，释放后杆向下摆动如图所示。 vov(2) 杆在铅垂位置时，杆对支点的作用力。杆在铅垂位置时，杆对支点的作用力。v求：求： (1

39、) 杆在铅垂位置时，杆下端的线速度杆在铅垂位置时，杆下端的线速度 ；vv解：解： (1) 杆在下摆过程中，只有杆重力做功，机械能杆在下摆过程中，只有杆重力做功，机械能v守恒，则有：守恒，则有：212cm g hI222221 11122 366lvmgmlmlmvl3vgl82v(2) 求支点受力。分析杆的受力情况如图所示。求支点受力。分析杆的受力情况如图所示。onNmgv根据质心运动定理有：根据质心运动定理有：cNmgmav选取如图所示的自然坐标系，得到分量表达式：选取如图所示的自然坐标系，得到分量表达式：2cnccvNmgmrNmav杆在铅直位置时杆在铅直位置时,不受力矩作用，不受力矩作用

40、，则角加速度为则角加速度为0，故，故0ca52nmgNN83v刚体的平面平行运动。刚体的平面平行运动。v平平v刚体上任一质元的运动轨迹都平行于某一刚体上任一质元的运动轨迹都平行于某一v面，这种运动称为面，这种运动称为v刚体的平面平行运动。刚体的平面平行运动。v特点：特点：v刚体上每一质元的运动轨迹都是平面曲刚体上每一质元的运动轨迹都是平面曲v线，且各平面互相平行；刚体在运动中转轴始终线，且各平面互相平行；刚体在运动中转轴始终v保持平行且垂直于某一固定平面。保持平行且垂直于某一固定平面。v复习：复习：7.5 刚体平面运动的动力学刚体平面运动的动力学84 刚体平面平行运动的描述（运动学）刚体平面平

41、行运动的描述（运动学）v刚体平面平行运刚体平面平行运动动v整个刚体随其质整个刚体随其质心的心的平动平动v绕过质心并垂直于运绕过质心并垂直于运动平面的转轴的动平面的转轴的定轴转定轴转动动v+cccavr,v联系联系rvvc转aaacv描述描述85线加速度角加速度角速度，质心加速度质心速度，转aavcccvcaCPr转a86v刚体随质心的平动规律遵从质心运动定理：刚体随质心的平动规律遵从质心运动定理：ccciiamdtvdmdtrdmF22cyiyicxiximaFmaF87v刚体绕过质心的转轴的转动遵从定轴转动定律：刚体绕过质心的转轴的转动遵从定轴转动定律：v v vcvcv vIvM v v物

42、理量。物理量。v均为对过质心的转轴均为对过质心的转轴的的v v v v,v,vcvcvIvMv动动能能v2v2v2v1v2v1v vcvcvkvIvmvvEv v v势能势能vcvPvmgzvEv v总机械能总机械能vPvkvEvEvEv v v上述质心运动定理和转动定律称为刚体平面运动的动力学规上述质心运动定理和转动定律称为刚体平面运动的动力学规律。律。88v 摩擦力足够大，其运动形式为无滑动的摩擦力足够大，其运动形式为无滑动的滚动滚动纯滚动纯滚动。 摩擦力不够大，则出现滑摩擦力不够大，则出现滑动又滚动的情况。动又滚动的情况。v纯滚纯滚动条件：动条件：rdtdrdtdvardtdrdtdxv

43、rxcccccv 圆柱体或圆球沿一直线轨道的滚动圆柱体或圆球沿一直线轨道的滚动刚体平面平行运动的常见情况。刚体平面平行运动的常见情况。89v刚体上任一点的速度公式和纯滚动的条刚体上任一点的速度公式和纯滚动的条件件rvv0 rarvrxccc90cv例例1: 固定斜面倾角固定斜面倾角a，质量为，质量为m，半径为，半径为R的均质圆的均质圆柱柱v 体顺斜面向下作无滑运动。体顺斜面向下作无滑运动。v求：圆柱体质心加速度及斜面作用于圆柱的摩擦力。求：圆柱体质心加速度及斜面作用于圆柱的摩擦力。xy x ymgfNv解：圆柱体的受力如图所示。解：圆柱体的受力如图所示。v由质心运动定理有：由质心运动定理有：c

44、Nmgfmav建立固定于斜向上的坐标系建立固定于斜向上的坐标系xoy，vy轴分量式为：轴分量式为：sincmgfma91212fRImRv刚体做无滑滚动时，有：刚体做无滑滚动时，有：caRv解上述方程，可得质心加速度和斜面作用于圆柱解上述方程，可得质心加速度和斜面作用于圆柱体体v的摩擦力分别为：的摩擦力分别为：2sin3cag1sin3fmgv利用对质心利用对质心轴的转动定律轴的转动定律有有：sincmgfma92v求：汽车前后车轮对地面的压力。求：汽车前后车轮对地面的压力。v例例1: 质量为质量为m的小汽车在水平路面上急刹车，前后的小汽车在水平路面上急刹车，前后论论 均停止转动。前后论相距均

45、停止转动。前后论相距L，与地面，与地面的摩擦系数为的摩擦系数为 ，汽车质心离地面高度为，汽车质心离地面高度为h，与前轮轴，与前轮轴水平距离水平距离 。lc y xxyo1f2fmg2N1Nv解：汽车受力情况如图所示。解：汽车受力情况如图所示。v建立地面坐标系和质心坐标系如图。建立地面坐标系和质心坐标系如图。v由质心运动定理有：由质心运动定理有：1212cmgffNNma93v在地面坐标系下写出在地面坐标系下写出 y 分量表示式为：分量表示式为：120NNmgv同时考虑到摩擦力为：同时考虑到摩擦力为：1122,fNfNv对质心坐标系，应用转动定律：对质心坐标系，应用转动定律：1221()()0f

46、f hNLlN lv解上述方程，可得：解上述方程，可得：1()/Nmg L lh L 2()/Nmg lh Lv而汽车静止在水平地面上时：而汽车静止在水平地面上时：1()/Nmg LlL2/Nmgl L94v例例2 一个半径为一个半径为 R 的半球固定在地面上，在它的半球固定在地面上，在它的顶部有一半径为的顶部有一半径为 r 的球从静止只滚不滑地开始的球从静止只滚不滑地开始滚下，问：小球滚到何处恰好脱离大球面？滚下，问：小球滚到何处恰好脱离大球面？RrfNgm根据质心运动定律，有 1cos2rRvmNmgcv 解：解：当小球滚至任一当小球滚至任一角度角度 时，其受力为时，其受力为Nfgm和支撑力，摩擦力重力95v 以小球和大球为系统，外力以小球和大球为系统，外力 不做功机不做功机械能守