平面向量基本定理课件

1、第二章第二章 平面向量平面向量 23 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 23.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 问题提出问题提出 1.1.平面向量共线定理是什么？平面向量共线定理是什么？ 非零非零向量向量a与向量与向量b共线共线 存在存在唯一唯一实实数数 ，使，使ba. . 2.2.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为为G G，下滑力为，下滑力为F F1 1，木块对斜面的压力为，木块对斜面的压力为F F2 2，这三个力的方向分别如何？这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？三者有何相互关系？ F F1 1 G G F F2 2

2、3.3.在物理中，在物理中，力可以分解，任何一个大力可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和方向的分力之和. .力是一个向量，将这力是一个向量，将这种力的分解拓展到向量中来，就是向量种力的分解拓展到向量中来，就是向量的分解的分解. . 平面向量基本定理平面向量基本定理 第二章第二章 平面向量平面向量 e2是同一个平面内的两个不共线的向量，是同一个平面内的两个不共线的向量， 如果如果 e1、 那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数1、a使使 a=?1e1?2e2.2， 我们把不共

3、线的向量我们把不共线的向量 叫做表示这一叫做表示这一e1、e2平面内所有向量的平面内所有向量的一组基底一组基底。 e1,e2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有 注意：注意： 不共线不共线 的向量的向量 向量向量 的一组基底。的一组基底。 这种表示是唯一的，这种表示是唯一的， 即即 若?1e1?1e2?2e1?2e2,则?1?2且?1?2若?1e1?1e2? 0,则?1?2=0基底不惟一，关键是不共线。基底不惟一，关键是不共线。 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 2两向量的夹角与垂直两向量的夹角与垂直 非零向量非零向量 (1)夹角：已知两个夹角：已知两个_a和和b，作，

4、作OAa，OBAOB 叫做向量叫做向量a与与b的夹角的夹角 b，则，则_范围：向量范围：向量a与与b的夹角范围是的夹角范围是0，180 同向同向 当当0时时a与与b_ 反向反向 当当180时时a与与b_ (2)垂直：如果垂直：如果a与与b的夹角是的夹角是90，则称，则称a与与b垂直，垂直，记作记作ab. 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 想一想想一想 2.零向量与任一非零向量的夹角有意义吗？零向量与任一非零向量的夹角有意义吗？ 提示：提示：由于零向量的方向不定由于零向量的方向不定(或任意或任意)，零向量与任意非零，零向量与任意非零向量的夹角没有什么实际意义向量的夹角没有什么实际

5、意义 做一做做一做 1，则向量，则向量3 a和和b的的 1.已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为602夹角为夹角为_ 答案：答案：60 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 2在ABC中，若BC1AB 2AC，则12_. 【答案】1 3在等边ABC中，向量AB 与BC的夹角为_ 【答案】120 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 要点阐释 1平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则所给的向量只能唯一地被这组基底表示出来 2因为零向量与任意向量共线，所以零向量不会在基底中出现 3在确定两个向量的夹角时，应把两个向量放在同一起点，否则容易出错如AB

6、C中，向量AB与BC的夹角不是角B，而是角B的补角 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 思路：思路：考虑向量所在的三角形或平行四边形，或共线，考虑向量所在的三角形或平行四边形，或共线， 用加法或减法或数乘表示出向量的线性关系。用加法或减法或数乘表示出向量的线性关系。 典例剖析 知识点 1 用两个不共线向量作为基底表示其他向量 【例1】 如图，OADB是以OAa，OBb为边的平行四边11形，又BM BC，CNCD，试用a，b表示OM，ON，MN . 33思路点拨：把要求的向量表示成两个分别与两基底(a，b)共线的向量之和(差)即可 师师OM，生，生ON，MN 栏目栏目导引导引 第二

7、章第二章 平面向量平面向量 解： 111115OMOBBMb3BCb3 BA b (ab)ab， 2666111122ONOCCNOC3CD2OD3 OD OD (ab)23322ab， 33?15?111MNMCCN(OCOM)3CD2(ab)?6a6b?3?1112(ab)2a6b. 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 变式：变式：已知已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，是平面内两个不共线的向量，a3 e12 e2， b2 e1e2，c7 e14 e2，试用向量，试用向量a和和b表示表示c. 【解】【解】 a，b不共线，不共线，可设可设cxayb，则，则xayb x(3

8、e12e2)y(2e1e2)(3 x2y)e1(2xy)e27e14e2.又又 e1，e2? ? ?3x2y7，不不 共共 线线 ， ? ? ? ?2 xy4. 解解 得得? ? ?x1，? ?ca2b. ? ? ?y2， 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 【名师点评】【名师点评】 将两个不共线的向量作为基底表示其他将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用

9、基底表示一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解向量的唯一性求解 栏目栏目导引导引 方程思想的应用方程思想的应用 第二章第二章 平面向量平面向量 2.在平行四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，设AM a，ANb.试以a，b为基底表示向量AB和AD . 解：根据向量加法的三角形法则有 AB BNAN，ADDMAM， 24?1?AB 2AD b，?AB 3a3b，即?解得?142?AD AB a，?AD ab.233? 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 题型三题型三 向量的夹角向量的夹角 例例 3 已知已知|a|b|2，且，且a与与b的夹角为的夹

10、角为60，则，则ab与与a的的夹角是夹角是_，ab与与a的夹角是的夹角是_ 【解析】【解析】 如图，作如图，作OAa，OBb，且，且AOB60，以以OA，OB为邻边作为邻边作? ?OACB，则，则OCab，BAab， BCOAa. 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 |a|b|2，OAB为等边三角形为等边三角形 OABABC60， 故故ab与与a的夹角为的夹角为60. |a|b|，? ?OACB为菱形为菱形 1COA AOB30，即，即ab与与a的夹角为的夹角为30. 2【答案】【答案】 30 60 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 【名师点评】【名师点评】 两向

11、量夹角的实质和求解两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决加以解决 (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三一作二证三 算算”的步骤求出的步骤求出 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 练习练习 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 解： 如图，作AB

12、a，ACb，并使BAC80. 则CBab. 由于|a|b|2，所以ABC为等腰三角形， 由于a，b80，即BAC80， 所以ABCACB50， 平移向量b，使其起点与ab的起点重合，则ACB的补角为ab与b的夹角易求得ab，b的大小为 130 . 方法点评： 求向量的夹角很多同学容易出错，出错的原因就是没有把两个向量平移到使其起点重合 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 方法感悟方法感悟 1平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量为同一平面内两个不共线向量e1、e2的线性组合的线性组合1e12e2.在具

13、体求在具体求1、2时有两种方法：一是直接利用三角形时有两种方法：一是直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理；二是利用待定法则、平行四边形法则及向量共线定理；二是利用待定系数法，即利用定理中系数法，即利用定理中1、2的唯一性列方程组求解的唯一性列方程组求解 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 2在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1、e2，平面上的任何一个向量平面上的任何一个向量a都可以用都可以用e1、e2唯一表示为唯一表示为a1e12e2

14、，这样几何问题就转化为代数问题，转化为，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有只含有e1、e2的代数运算的代数运算 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示 名师解题名师解题 待定系数法求解基底表示向量问题待定系数法求解基底表示向量问题 例例4 如图，如图，在在AOB中，中，OAa，OBb，设设AM2 MB，ON3 NA，而，而OM与与BN相交于点相交于点P，试用，试用a、b表示向量表示向量OP. 交点交点两组三点共线两组三点共线方程组方程组 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 2【解】【解】 OMOAAMOA AB 32OA (OB

15、OA) 3212a (ba)ab. 333OP与与OM共线，令共线，令OPtOM， 12则则OPt( ab) 33栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 3又设又设OP(1m)ONmOB a(1m)mb . 4? ? ?2tm.? ?3t3 ? ?1m? ?，34 ? ? ?9t.? ?103m ，5 33OPab. 105栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 作业作业 已知已知OAB中，中，延长延长BA到到C，使使ABAC，D是将是将OB分成分成21的一个分点，的一个分点，DC和和OA交于点交于点E， 设设OAa，OBb， (1)用用a，b表示向量表示向量OC，DC； (2)若若OEOA，求实数，求实数的值的值 栏目栏目导引导引 第二章第二章 平面向量平面向量 解：解：(1)A为为BC的中点，的