高等数学课件：6 第一型线积分和面积分-1

1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1第一型线积分和面积分第一型线积分和面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值一、问题的提出一、问题的提出近似代替近似代替.),(),(的的质质量量分分布布不不均均匀匀，求求该该构构件件质质量量线线

2、密密度度为为弧弧平平面面上上一一条条曲曲线线设设构构件件占占有有yxLABxoy 解解,max21nSSS 令令2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并并作作和和作作乘乘积积点点个个小小段段上上任任意意取取定定的的一一为为第第又又个个小小段段的的长长度度为为设设第第个个小小段段分分成成把把上上的的点点用用上上有有界界在在函函数数面面内内一一条条光光滑滑曲曲线线弧弧为为设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M

3、1M),(ii L01lim(,),( ,)()niiiifSf x yL 若则此极限值称之为在 上对弧长的曲线积分 也称第一型曲线积分2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系401:( , ),( , )lim( ,)LniiiLif x y dsf x y dsfs 记作即被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量( , ).LMf x y ds2.存在条件存在条件.),(,),(存存在在对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当 LdsyxfLyxf2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5注弧弧长长元元

4、素素记记为为为为闭闭曲曲线线时时若若 0)2(),(,)1(dsdsyxfLL3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6三、对弧长的曲线积分的性质三、对弧长的曲线积分的性质.),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL sdsL )4(!分分段段光光滑滑的的

5、情情形形有有用用特特别别在在L2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7平面曲线的弧长平面曲线的弧长 (p.106)定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy弧长元素(弧微分) :xyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(d

6、dyxs2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs注:可将上述公式推广到空间的情形.(p.107)2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10解解12,yx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11tayttaxcos1sin例例2 求旋轮线求旋轮线一拱的弧长。一拱的弧长。20toa2解解 由公式得由公式得dttatal2022)sin()cos1 (

7、dtta20cos12dtta202sin2.8a2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12四、对弧长的曲线积分的计算四、对弧长的曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,),(,)( ),( ),(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfLBAyxMtCttttytxLLyxfL描出描出变到点变到点从从时，对应点时，对应点变到变到由由当当其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13注;. 2 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限., 0 iits从而要求从而要求表

8、示弧长，总是正的，表示弧长，总是正的，积积分分。到到，再再从从，依依次次换换成成，只只要要把把计计算算 22)( )( )(),(,),(. 1ttttdsyxdsyxfL 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf20

9、07年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16 LdsyxI)(计计算算例例1 2020221)(0),20( , 0:)(xdxdxyxdsyxyxyLiL解解221)2(1)2()(0),30( , 2:)(32322 dyydyxydsyxxyxLiiL222( )(0,0)(2,0)( )(2,0)(2,3)()i Lii LABiii LxyR是与之间的直线段是与之间的直线段是的上半圆周2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17202)sincos()(cos)( ,sin)( )0(sin,cos:)(RRdttRtRdsyxRdtdstRtytRtxttRytRxLiii

10、L 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18例例2).(,sin,cos:,象限象限第第椭圆椭圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19例例3.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例4)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求

11、求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系20形形的的整整个个边边界界。第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇轴轴在在及及xxyayxLdseLyx ,:22222oxL2 :y=x2223:ayxL L1: y=0ydxdsyaxxyLadtdsttaytaxLdxdsyaxyL2, 1),20(:)40(sin,cos:, 0),0(0:321 例例5解解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系21dxdsyaxxyLadtdsttaytaxLdxdsyaxyL2, 1),20(:

12、)40(sin,cos:, 0),0(0:321 aaxaaxeaedxeadtedxea4)1(222240200 32222212222LyxLyxLyxLyxdsedsedsedse2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系22例例6 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系23五、几何与物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz 2007年8月南京航空航天大学 理学院