2016年度高考全国2卷理数试题(解析版)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷 1 至 3 页，第n卷 3 至 5 页 2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 第I卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. (1)已知z (m 3) (m 1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是 (A) 3，1 (B) 1, 3 (C) 1, + (D) - ， 3

2、【解析】A /m 3 0， m 1 0， 3 m 1，故选 A. (2)已知集合 A 1，2 , 3，B x|(x (A) 1 ( B) 1，2 【解析】C B x x 1 x 2 0，x Z B 0 , 1，. AUB 0，1, 2 ,3， 故选 C.1)(x 2) 0，x Z，则 AUB (C) 0, 1, 2，3 (D) 1，0，1，2，3 (A) 8 (B) 6 (C) 6 ( D) 8 【解析】 D r r a b 4 , m 2 , r r r r r r (a b) b， 二 (a b) b 12 2(m 2) 0 解得 m 8 , 故选 D . 故选 A. (5)如图，小明从街

3、道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参 加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 (A)24 ( B)18 (C)12 ( D)9 【解析】B (4 )圆 x2 2 y 2x 8y 13 0的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1,则 a= (A) 4 3 (B) 3 4 (C) 3 (D) 2 【解析】 A 圆2 x 2 小 y 2x 8y 13 0化为标准方程为： 2 x 1 y 4 2 4 , a 4 1 4 r (3 )已知向量 a (1,m) , b=(3, 2), 且(a r b 1，解得a a2 1 E F有6种走法，F G有

4、3种走法，由乘法原理知，共 6 3 18种走法故选 B. (6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 (A)20 n ( B)24 n ( C) 28 n ( D)32 n 【解析】C 几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为 r，周长为c ,圆锥母线长为|，圆柱高为h . 由图得 r 2, c 2n 4n,由勾股定理得：I 22 2 3 4 , S表 n2 ch ；cl 4 n 16n 8 n 28n, 故选 C. n . n kn n , 令2 x kn+ ，得对称轴方程：x k Z , 12 2 2 6 n 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 (A

5、) x kn 2 n k 6 Z (B) x k n 2 n k Z 6 kn n , k n n , r (C) x k Z (D) x k Z 2 12 2 12 平移后n y 2sin2 x 12， (7 )若将函数 y=2sin 2 x的图像向左平移 【解析】B (8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法， 右图是实现该算法的程序框图 执行该程序框图, 故选 B.(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法， 右图是实现该算法的程序框图 执行该程序框图, (A) 7 (B) 12 (C) 17 (D) 34 【解析】 C 第一次运算: s 0 2 2 2, 第二次运算: s 2 2 2 6，

6、 第三次运算: s 6 2 5 17故选 C. n 3 (9)若 cos 4 ，贝U sin2 7 1 (A) 25 (B) 5 5 【解析】D 3 . c .cos sin 2 4 5， 故选 D. 1 7 (C) 5 (D) 25 n cos 2 2cos2 1 7 2 4 25若输入的x 2， n 2，依次输入的 a为 2，2，5，则输出的s (10)从区间0, 1随机抽取 2n个数 Xi ,x2，Xn , y , y2，yn ,构成n个数对 为, , 3 X2,y2 ， Xn, Yn，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m个，则用随机模拟的方法得 到的圆周率 的近似值为 4n 2n

7、4m 2m (A) m (B) m (C) n (D) n 【解析】C (D) 2 【解析】A 由题意X，Yi i , 1 的点均在 n (11 )已知 F , F2是双曲线 E: Y2 1 的左, b 右焦M在E上, Mh与 x 轴垂直, sin MF2F1 ,则E的离心率为 (A) 离心率e F1F2 MF2 MF1，由正弦定理得 F1F2 MF2 MF1 sin M sin F1 sin F2 如图所示的阴影中 C. n 1 2 2 (10)从区间0, 1随机抽取 2n个数 Xi ,x2，Xn , y , y2，yn ,构成n个数对 为, , 3 (12 )已知函数f x x R满足f

8、x 2 ，若函数 Y 图像的交点 故选 A. 2224 题为选考题，考生根据要求作答. 4 5 (13 ) ABC的内角 A, B, C的对边分别为a, b, c,若 cosA - cosC 5 13，a 1 则b 【解析】 21 13 .cos A 4 cosC 5 5， 13， sin A 3 sin C 12 5， 13， sin B sin A C 63 sin AcosC cos AsinC 65 由正弦定理得： b a解得 b 21 si nB si nA 13 ，那么 如果m , n / ，那么m n .为 X1 , y1 , X2, y2 , ?, Xm (A) 0 (B) m

9、 【解析】B 由f x 2 f x得f x 关于 x 1 而 y x 1 1 也关于 x 0, 1 m m m X Xi yi 01 i 1 i 1 ,ym ，贝y x yi () i 1 (C) 2m ( D) 4m 0, 1对称， 对称， y yi =2 , m 2 2 m，故选 B. 本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 (14 ) 是两个平面, m , n是两条线，有下列四个命题: 对于每一组对称点 x x 0 如果m/ n, 1 ,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 【解析】 （15 ）有三张卡片，分别写有 1 和 2, 1 和 3 ,

10、2 和 3 .甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲 看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的 卡片上相同的数字不是 1 ”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”, 【解析】（1,3） 由题意得：丙不拿（2 , 3）, 如果 a/ ，那么mil 则甲的卡片上的数字是 若丙（ 2），则乙（ 2，3），甲（1， 3）满足, 若丙（ 3），则乙（ 2，3），甲（1， 2 ）不满足, 故甲（ 3 ） ， （16）若直线 y kx b是曲线 y ln x 2 的切线, 也是曲线y In 1的切线，b 【解析】1 In 2 Inx 2的切线为: In x1 X1

11、 1 （设切点横坐标为 In x 1的切线为: 1 X2 1 x In x2 1 2 x X2 1 X2 In x In X2 X2 x2 1 X2 .b In x 1 1 In 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17 ）（本小题满分 12 分） x的最大整数，如 0.9 0， Ig99 1 . （1）求 b , bn , bo1 ； （n）求数列 tn的前1000项和. 【解析】设 an的公差为d , S7 7a4 28 , 84 a a4 4, d - 1 , a a (n 1)d n . 3 巾 lg a1 lg1 0, bn lg an lg11 1 , bi

12、 1 lga101 101 2. 记 bn的前n项和为Tn，则壬。b Q 匕皿 T1000 0 9 1 90 2 900 3 1 1893 . （18 ）（本小题满分 12 分） 某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年 度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2a Sn为等差数列 an的前n项和，且 ai 1 , S7 28 记bn lg an，其中lg a lg a? 当 0 w lg a. 1 时，n 当 1 w lg an 2 时，n 当 2

13、 w lgan 3 时，n 当 lg an 3 时，n lg a1000 . 1, 2, , 9 ; 10, 11, , 99 ; 100, 101 , , 999 ; 1000 . 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (n)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率; (川)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 【解析】设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A , P(A) 1 P(A)

14、1 (0.30 0.15) 0.55 . 设续保人保费比基本保费高出 60%为事件 B , P(AB) MO 0.05 3 . P(A) 0.55 11 解：设本年度所交保费为随机变量 X . X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 EX 0.85 0.30 0.15a 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 0.255a 0.15a 0.25a 0.3a 0.175a 0.1a 1.23a, 平均保费与基本保费比值为 1.23 . (19 )(本小题满分 12

15、 分) 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, AB 5, AC 6，点E, F分别在AD , 5 . CD 上, AE CF , EF交BD于点H.将ADEF沿EF折到 D EF 的位置 OD 10. 4 (I)证明：DH 平面ABCD ; (II)求二面角B DA C的正弦值. zr 5 【解析】证明： AE CF 5 , 4 .AE CF AD CD， EF II AC . 四边形ABCD为菱形, AC BD , EF BD , EF DH , EF D H . / AC 6 , AO 3 ； 又AB 5, AO OB , OB 4 , AE OH OD 1 , AO DH D

16、H 3, |0D |2 |OH|2 |DH 2, DH OH . 又 OH I EF H , DH 面 ABCD . 建立如图坐标系 H xyz . 7 5 25 ， sin 2 95 25 (20 )(本小题满分 12 分) 2 2 X y 已知椭圆E: 1 的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k 0)的直线交E于A， t 3 M两点，点N在E上，MA丄NA. (I)当t 4 , AM AN时，求 AMN的面积; (II)当2AM| |AN时，求k的取值范围B 5, 0, 0 , C 1, 0 ,D 0 , 0 , 3 , A1, urn UUUT UUU AB 4 , 3 , 0 ,

17、 AD 1, 3, 3 , AC 0 , 6 , LT 设面 ABD法向量 n X, y, z , iu UUT X 3 AB 0 /曰 4x 30 廿 由 iu UULU 得 c c，取 y 4 , AD 0 X 33z 0 1 z 5 LT n3, 4 ,5 3, 0 , 0 , 同理可得面 ADC的法向IT UU IUn n2 cos 9 5 5 2 10 1 k2 2 2 当t 4时，椭圆E的方程为1 , A点坐标为 2 , 0 , 4 3 则直线AM的方程为y k x 2 . 2 2 x y 1 - - 1 2 2 2 2 联立 4 3 并整理得， 3 4k x 16k x 16k

18、12 0 y k x 因为 AM | AN，k 直线AM的方程为 y k x t tk2 3 t 3 tk2 ， 因为2 AM AN 解得 8 k2 6 4k 2，则 AM 1 k2 8k2 6 4k2 k2 12 3 4k2 因为 AM AN，所以 AN 1 12 k2 12 3k : 所以1 12 3 4k2 1 k2 3k 12 4， k 整理得 4k2 4k2 k 0 无实根，所以k 所以 AMN的面积为 1|AM I 12 3 4 144 49 2 x 联立t y 2 J 1 3 k x t 并整理得, tk2 x2 2t tk2 3t 所以 AM 所以AN 1 k2 t tk2 3

19、 t 2 3 tk 2 6 t 2 tk 3k 所以 2 1 k2 6 t2 所以 3 tk2 6 t 3k t，整理得, k 6k2 k3 2 3k 【解解得 x a , t 0 , 2 (21 )(本小题满分 12 分) 函数 h(a)的值域. 【解析】证明: x xex 2ex ax 2a x 因为椭圆E的焦点在x轴, 所以t 3，即 2 6k 3k 3，整理得 (I)讨论函数 f(x) X x 2 x e 2 的单调性, 并证明当 0时, x (* * * * x 2)e 0； (II)证明：当 a 0,1) 时, 函数 g x x e ax a(x 0)有最小值 设g 的最小值为 h

20、(a),求 2 x x e 2 x 2 当 x U 2, 时，f x f x 2, 上单调递增 -x 0时, 2ex f x 2 2x e 4 x ax a 由知，当x 0时, x2 ex的值域为 ，只有一解. a , t 0 , 2 当 x (0,t)时 g (x) 0 , g(x)单调减；当 x (t,)时 g (x) 0 , g(x)单调增10 2 25 2 t 1 t 2 et t 2 t2 h a k t 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图，在正方形 ABC

21、D，E, G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE= DG，过D点 作DF丄CE,垂足为F. (I) 证明：B, C, G, F四点共圆； (II) 若 AB 1 , E为DA的中点，求四边形 BCGF的面积. 【解析】（I）证明：T DF CE RtDEF s Rt CED GDF DEF BCF DF CF DG BC DE DG , CD BC DF CF DG BC记kt门，在t 0,2时，k t et t 1 et et a t 1 CFB DFG GFB GFC CFB GFC DFG DFC 90 GFB GCB 180 . B, C, G, F四点共圆. (n)T E 为 AD 中点，AB 1 , 1 DG CG DE 2