函数单调性和奇偶性总结复习

1、学习资料收集于网络，仅供参考课次教学计划(教案)课题函数的单调性和奇偶性教学目标I.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解增区间、减区间等概念，掌握增(减)函数的证明和判别2.结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性教学策略重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略：讲练结合，查漏补缺函数的单调性1 .例1:观察y=x2的图象，回答下列问题问题1:函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？=随着x的增加，y值

2、在增加。问题2：怎样用数学语言表示呢？=设 XI、x2 0 , +o0,得 yi=f(Xl), y2=f(X2).当 Xl<X2 时,f(x1)< f(x 2).结论：这时，说y尸X2在0, +8止是增函数。(同理分析y轴左侧部分) 由此可有：2 .定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值X1、X2,当 X1<X2 时都有 f(Xl)< f(X2).那么就说f(x)在这个区间上是 增函数(increasing function)。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值Xi、X2,当Xi<X2时都有f(Xi)&

3、gt;f(X2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函说y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：(1)函数的单调性也叫函数的增减性;(2)注意区间上所取两点Xi,X2的任意性;(3)函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。3 .例2.己知函数f(x) =X2+2X+3，画出函数的图象；根据图象写出函数 f(x)的单调区间；利用定义证明 函数f (X) = X2+2X+ 3在区间(-8

4、,1上是增函数 M当函数f(x)在区间(一8,m上是增函数时，求实数m的 取值范围.1、用定义判断单调性：A . 设Xi, X2 W所给范围 且Xi < X2 ;B.计算f(x 1 )-f(x2尸几个因式的乘积形式C.判断上述差的符号；D.下结论。如果f(Xi) < f(X2),则函数是增函数；如果f(Xi)> f(X2),则函数是减函数用定义法判断单调性2X1,试用函数单调性的定义判断函数f(x)= 在区间(0, I)上的单倜性.X -I解：任取 X1 ,X2 C (0,1),且 Xi <X2 .则 f(Xl) 一 f(X2)=2x12X2X1 -1x2 -12(X2

5、 -Xi)(X1 1)(X2 -1)由于 0 <X1 <X2<1,X1 -1<0 ,X2-1 <0 ,X2X1>0 ,故 f(X1) f(X2) >0 ,即f (x) A f(X2).所以，函数f(x)=-23在(0, 1)上是减函数.X -1【扩展】1判断函数y =X +1在(1,收)的单调性，并用定义证明之.X1判断函数y =x +1在(0,1)的单调性，并用定义证明之.x求单调区间1 .判断函数 y=x26X+10在区间(2, 4)的单调性 一 2x -12 .已知f(x) =，指出f(x)的单调区间3x 2根据图像判断单调性(看图像，向上趋势的

6、就是增函数，向下趋势的就是减函数;1 已知函数 f (x) = x2 -2x-3 .(1) 画出该函数的图象；(2)写出函数的单调区间.21 .已知m<2,点(mT,y1 ),(m,y2 ),(m+1, y3)都在二次函数y=x 2x的图像上，则a .y1< y2< y3 b.y3< y2<yc .y< y3< y2d. y? <y1<y3()根据单调性求参数的取值范围一 2ax 1.若函数f(x)= 在(1,收)上为增函数，求实数 a的取值范围 x -12.如果函数y=x2 +(2a-1)x+1在区间L2,2】上为减函数，求实数 a的取值

7、范围223设函数f (x)=x -(3a-1)x+a在区间(1,口)上是增函数，求实数 a的取值范围。4 .若f (x) =x2+2ax与g(x) =a在区间1,2】上都是减函数，则a的取值范围是 x 15 .若函数f(x) =ax-b +2在0,收 让为增函数，则实数a,b的取值范围是().学习资料学习资料收集于网络，仅供参考利用单调性判断函数值例6.己知函数y=f(x)在0,十8止是减函数，试比较f(_3)与f(a2 一 a十1)的大小.函数的值域二、新知导航：1 .函数最大(小)值定义最大值：一般地，设函数 y = f (x)的定义域为I,如果存在实数 M满足：(1)对于任意的xw I

8、,都有f (x) MM ；存在x° w I ,使得f (x0) =M .那么，称M是函数y = f (x)的最大值.【例1】画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ f(x)=-x+3 f(x) = x+3 xw_1,2_2_2 f(x)=x +2x+1 f(x)=x +2x+1 xW2,22.注意：函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0w I ,使得f(x0) = M ;函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的xI ,都有f(x)<M (f(x)>m).利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法. 1(1)

9、配方法 (2)换元法(3)数形结合法一一 ，一一 2 ，一一 ，一 一x -1【例2】求函数y =在区间2 , 6上的取大值和取小值【例3】求函数、经典范例:学习资料【例1】求函数y=一6一的最大值.y x x 1解：配方为 y=6由(x4)2 +3 得 0<6-<8.(x 1)2 324 4(x)2 22424所以函数的最大值为 8.【例2】21 .已知函数f(x)=x 2x3 ,求出函数的最值 ；22 .已知函数f(x)=x 2x3, xW 0,4求出函数的最值 ；23 .已知函数f(x)=x -2x-3 , xw 2,4求出函数的最值 ;【扩展】 已知函数f(x) =x2 -

10、2mx + 2在(-8,2)上是减函数，在(2,+=)上是增函数，求实数 m的值；并根据所 求的m的值求函数在(_oo, 上上的最值.已知函数f (x)=卜2 +2x3 .(1)写出该函数的单调区间；(2)求函数在区间xw 1-2,2】上的最值.2已知函数f(x)=2x + .x(1)试讨论函数在 x w (0, 士对上的单调性，并证明之；(2)由(1)试求函数在(0,七码上的最值.【例3】求函数y =2x，Jx -1的最小值.解：此函数的定义域为 1,此),且函数在定义域上是增函数，所以当x=1时，ymin =2+，77=2,函数的最小值为 2.点评：形如y=ax+b±uCx工d的

11、函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令 我"7=t，则t至0, x =t2 +1 ,所以y =2t2 +t +2 = 2(t+1)2 +15 ,在t20时是增函数，当t = 048时，ymin =2 ,故函数的最小值为 2.【例4】求下列函数的最大值和最小值:一、25 3(1) y =3 -2x x , x = -一,一 ;(2) y 弓x +1| -|x -2|.2 2学习资料收集于网络，仅供参考解：（1）二次函数y =3_2x_x2的对称轴为x=-b,即x = 1.2a画出函数的图象，由图可知，当x=1时，ymax=4；当x=N时，ymin=_9.

12、24所以函数y=32xx2, x引5,3的最大值为4,最小值为号.2 24四、课堂练习1 .已知函数y =kx+2 , x 0,-Hc）,下列说法中正确的是（）（A）函数有最大值2（B）函数有最小值 2（C）当k>0时函数有最大值2（D）当k<0时函数有最大值 22 .已知函数f（x）=x2 +mx+2在（g,1）上是减函数，在（1,上c）上是增函数，求实数 m的值；并根据所求的m的值求函数在 （-00,土无）上的最值. 3 .已知函数y=x2 2x+2, xw3,2，求该函数的最值 4 .已知函数 f(x) = x2 -2x -3 .（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间

13、xw L1,5 的最值.6.函数f （x） =x22ax+a在区间（-°o,1）上有最小值，则a的取值范围是（）.A. a <1B. a <1C. a >1D. a >123 .7.已知函数f（x）=x2 +x+1,x虻0,3的最大（小）值情况为（）.2A.有最大值-，但无最小值B.有最小值-,有最大值144C.有最小值1,有最大值 D.无最大值，也无最小值48 .函数y =3x J2x的最大值是 .9 .已知函数y=r2+axa+1在区间0, 1上的最大值为2,求实数a的值.4 2函数的奇偶性1 .回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。2 .

14、初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转180、能够与另一图形重合）这节课我们来研究函数的另外一个性质一一奇偶性学习资料收集于网络，仅供参考y=f(x)=x点，那么，与它关于y轴的对称点(-x,y)1 .偶函数(1)观察函数y=x2的图象(如右图)图象有怎样的对称性？从函数 本身来说，其特点是什么？二当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-2)=4, f(2)=4,即 f(-2)=f(-2) ; f(-1)=1 , f=1 ,即 f(_1)=1, f

15、(1)=-,即 f (_1)=f (l)°f(-1尸 f,242422由于(-x) 2=x2f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点( x,y)是函数y=x2的图象上的任也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数。(2)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function )。22例如：函数f(x)=x +1, f (x), f (x) =|x等都是偶函数。x 112 .奇函数(1)观察函数y=x3的图象(投影2)当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

16、二也是一对相反数。这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢?是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点(y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函数。(2)定义一般地，(板书)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有f (-x) = - f(x)那么 函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。1例如：函数f (x) =x, f(x)=都是奇函数。 x3 .奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。例1.判断下列函数的奇偶性。(4) f(x)=x 2,x 0,二；(5) f(x)=-; x(1) f(x)=x 3

17、+2x;(2) f(x)=2x 4+3x2;(3) f(x)=x 2+2x+5;(6) f(x)=x+ ;x分析： 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；f(x)=0 (x C R 或函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有xC (-a,a).a>0)既是奇函数又是偶函数。从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次f(-x)= f(x)或f(-x尸-f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对 称，若对称，再计算f(-x),看是等于f(x)还是等于-f(x),然后下结论；若定义域关于

18、原点不对称，则函数没有 奇偶性。学习资料例2、判断下列函数的奇偶性(1)f(x)2,1 -x| x 2 | -2,1 x(二(1-对口判断下列分段函数的奇偶性(1 -x)x(1 + x)(x-0)(x :二 0)一3(2) f(x)=x|x|+x一 一，1例3.函数f(x)= 1x的图象关于()(判断图像性质)xA. y轴对称B.直线y=-xC.坐标原点对称D.直线y=x例4、已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在 (0,十8提增函数。证明y=f(x)在(-g ,0 )上也是增函数。4 .结论： 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；奇函数的图象关

19、于原点对称，偶函数的图象关于Y轴对称；奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.利用函数奇偶性的定义和性质求参数例1.若函数f(x) =r+a是奇函数 则a=2x -1x -2, x 0例2.若函数f(x)=a,x=0是奇函数，则a+b =x b, x ：二 03、如果定义在区间3-a,5上的函数f(x)为奇函数，则a=5 .已知函数 f(x) =ax2 +bx+c,xw12a3,1是偶函数，则 a + b=_7536 .已知 f(x) =ax +bx +cx +dx+5,其中 a,b,c,d 为常数，右 f(7) = -7,则 f (7) =27 .若函数f(x)=(k2)x +(k1)x+2是偶

20、函数，则 f(x)的单调递减区间是 8 .已知函数 f(x)=ax2 +bx+c.(1)若函数为奇函数，求实数(2)若函数为偶函数，求实数a, b, c满足的条件;a, b, c满足的条件_54f (x) = ax bx若函数是奇函数，则3 , 2 , cx dx ex f【总结】若函数是偶函数，则求函数表达式:22.已知f(x)是偶函数，x之0时，f(x)=2x +4x,求x<0时f(x)的解析式.解：作出函数y=-2x2+4x = -2(x1)2+2, x之0的图象，其顶点为(1,2). f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称.作出x <0时的图象，其顶点为(-1,2),且与右侧

21、形状一致，x<0时，f (x) =2(x+1)2 +2 =-2x2 4x.【扩展】若函数f(x)是奇函数，当xA0时，f (x) =2x x2,试求函数f (x)在x<0时的解析式.若函数f(x)是奇函数，当x<0时，f (x) =x+x2 ,试求函数f(x)的解析式.判断抽象函数的奇偶性1 .设f (x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是()A. f(x) f(x)是奇函数B, f(x) 'f(x)是奇函数C. f(x)+f(x)是偶函数D, f(x)-f(-x)是偶函数2,设函数f (x)和g(x)分另ij是R上的偶函数和奇函数，则下列结论一定成立的是()A. f

22、 (x) + |g(x)|是偶函数B. f(x)|g(x)|是奇函数C. | f (x)|+g(x)是偶函数d.| f(x)|-g(x)是奇函数利用函数的图像比较函数值的大小例定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x210,)(x1x2),有 3fM0则 x2 - x1f (3), f (-2), f的大小关系是.利用奇偶图像判断单调性以及解不等式(数形结合)1 .若奇函数f(x)在3, 7上是增函数，且最小值是1,则它在_7,一3上是().A.增函数且最小值是1B.增函数且最大值是1C,减函数且最大值是-1D,减函数且最小值是-12 .若f (x)为奇函数，且在(0,十g)内是增函数，又f (-3) = 0，则xf(x)<0的解集为3 .已知奇函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示)，其定义域为-1,0)= (0,1,则不等式f(x)-f(-x)1 的解集是()x1,x2都有 f (x1 %)=f (x1)+ f (x2),且当A. * |-1 _ x _ 1且x = 0，