高中数学 2.1.2指数函数及其性质同步测控优化训练 新人教A必修1

1、2.1.2 指数函数及其性质5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )A.y=（-4）x B.y=xC.y=-4x D.y=ax+2（a0且a1）思路解析：从指数函数的定义出发解决此题.由指数函数的定义知，选B.答案：B2.右图是指数函数y=ax；y=bx；y=cx；y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是( )A.ab1cd B.ba1dcC.1abcd D.ab1dc思路解析：直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a）、（1，b）、（1，c）、（1，d），由图象可知纵坐标的大小关系.答案：B3.函数y=ax-3+3（a>

2、;0且a1）恒过定点_.思路解析：a3-3+3=a0+3=4.答案：（3，4）4.某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f（t），（1）写出函数y=f（t）的定义域和值域；（2）在所给坐标系中画出y=f（t）（0t6=的图象；（3）写出研究进行到n小时（n0，nZ）时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示）?解：（1）y=f（t）定义域为t0，+，值域为y|y=2n，nN *.（2）0t6时，为一分段函数y=图象如下图.（3）n为偶数时，y=；n为奇数时，y=.y=10分

3、钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957 6，设质量为1的镭经过x年后，剩留量是y，则y关于x的函数关系是( )A.y= B.y=（）xC.y=0.957 6100x D.y=1- 思路解析：首先应求出经过一年后放射掉其质量的百分比，然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据x、y的函数应该是指数函数，就可得正确答案.设镭一年放射掉其质量的t%，则有0.957 6=1·（1-t%）100.t%=1-（0.957 6.y=（1-t%）x=（0.957 6.选A.答案：A2.当x0时，函数f（x）=（a2-1）x的值总大于1，则实数a的

4、取值范围是( )A.1|a| B.|a|1C.|a|1 D.|a|思路解析：由指数函数的性质，可知f（x）在（0，+）上是递增函数，所以a2-11，a22，|a|.答案：D3.已知函数f（x）=ax+a-x（a>0且a1），f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值为_.思路解析：f（0）=a0+a0=2，f（1）=a+a-1=3，f（2）=a2+a-2=（a+a-1）2-2=9-2=7,f（0）+f（1）+f（2）=12.答案：124.函数y=（2m-1）x是指数函数，则m的取值是_.思路解析：考查指数函数的概念.据指数函数的定义，y=ax中的底数a约定a0且a1.故此2m-10

5、且2m-11，所以m且m1.答案：m且m15.已知+=3，求a2+a-2的值.思路解析：本题考查指数的运算.从已知条件中解出a的值，再代入求值的方法不可取，应该设法从整体寻求结果与条件+=3的联系进而整体代入求值.解：将+=3两边平方得a1+a-1+2=9，即a1+a-1=7.再将其平方，有a2+a-2+2=49，从而得到a2+a-2=47.6.已知f（x）= +a为奇函数.（1）求a的值；（2）求函数的单调区间.思路解析：本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力.主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义.解：（1）f（-x）=+a=+a=-1+a-=-1+2a-f（x），由f（-x）=-

6、f（x），得-1+2a=0.a=.（2）对于任意x10，x20，且x1<x2.f（x1）-f（x2）=.当x1<x2<0时，>，<1，<1.f（x1）-f（x2）>0；当0<x1<x2时，>，>1，>1.f（x1）-f（x2）>0.函数的单调递减区间为（-，0），（0，+）.7.如果函数y=a2x+2ax-1（a0，a1）在区间-1，1上的最大值是14，求a的值.思路解析：利用换元法、配方法及等价转化思想.解：设t=ax，则y=f（t）=t2+2t-1=（t+1）2-2.当a1时，0a-1ta，此时y max =a2

7、+2a-1，由题设a2+2a-1=14，得a=3，满足a1.当0a1，ta，a-1，此时y max =（a-1）2+2a-1-1.由题设a-2+2a-1-1=，得a=，满足0a1.故所求的a的值为3或.快乐时光 传话 对说：“听说老王家的鸡刚生出的蛋落地便破壳，马上变出了小鸡.”告诉：“新鲜事，老王家的鸡生出的蛋，壳还没破，就变成了小鸡.”又对说：“真怪，老王家的鸡直接生出了小鸡！”又对说，告诉了，告诉了恰好巧遇，告诉：“奇迹，老王家的鸡生出一只小乌龟！”30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.若函数y=ax+b-1（a>0且a1）的图象经过一、三、四象限，则一定有( )A.a>

8、;1且b<1 B.0<a<1且b<0C.0<a<1且b>0 D.a>1且b<0思路解析：本题考查指数函数的图象.函数y=ax+b-1（a>0且a1）的图象经过一、三、四象限，则必有a>1；进而可知答案：D2.如果函数y=（a2-4）x在定义域内是减函数，则a的取值范围是( )A.|a|>2 B.|a|>C.|a|< D.2<|a|<思路解析：0<a2-4<1，4<a2<5.2<|a|<.答案：D3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积

9、是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A.10天 B.15天 C.19天 D.2天思路解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2x，当x=20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半.故选C.答案：C4.函数y=2|x|的值域是( )A.（0，1 B.1，+ C.（0，1） D.（0，+）解法一：y=2|x|=作出图象观察得函数的值域为1，+）.解法二：令u=|x|0，则y=2u20=1.答案：B5.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3 150元（其中工资性收入为1 800元，其他收

10、入为1 350元），预计该地区自2004年起的2年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2005年该地区农民人均收入介于( )A.3 200元3 400元 B.3 400元3 600元C.3 600元3 800元 D.3 800元4 000元思路解析：本题考查指数函数的应用.设2005年该地区农民人均收入为y元，则y=1 800×（1+6%）2+1 350+160×23 686（元）.答案：C6.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：y=at，有以下叙述，其中正确的是( )这个指数函数的底数为2

11、第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月浮萍每月增加的面积都相等若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3A. B. C. D.思路解析：本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质.由图形得函数解析式应为y=2x（x0）.答案：D7.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：十进制12345678二进制110111001011101111 000观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数；当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是_.思路解析：此题考查学生的观察能力、归纳

12、总结能力.通过观察图表：二进制为1位数时，十进制的最大数为1=21-1；二进制为2位数时，十进制的最大数为3=22-1；二进制为3位数时，十进制的最大数为7=23-1.依次类推，二进制为6位数时，十进制的最大数为26-1.答案：26-18.求函数y=f（x）=（）x-（）x+1，x-3，2的值域.思路解析：将（）x看作一个未知量t，把原函数转化为关于t的二次函数求解.解：f（x）=（）x2-（）x+1，x-3，2，（）2（）x（）-3，即（）x8.设t=（）x，则t8.将函数化为f（t）=t2-t+1，t，8.f（t）=（t-）2+，f（）f（t）f（8）.f（t）57.函数的值域为，57.9

13、.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化.如果物体的初始温度是T0，则经过一定时间t后的温度T将满足T-T=（T0-T）·（，其中T是环境温度.使上式成立所需要的时间h称为半衰期.现有一杯用195°热水冲的速溶咖啡放置在75°的房间中，如果咖啡降温到105°需20 min，问欲降温到95°需多少时间？思路解析：由所给公式知它是时间t与温度T的指数函数关系，将题中有关数据代入求得h值.再将T=95代入已求得的T=f（t）中求得t.解：由题意，知T=T+（T0-T）.将有关数据代入，得T=75+（195-75）·.这里h是以分钟为

14、单位的半衰期，为了确定它的值，将t=20时，T=105代入，此时，105=75+（195-75）·，解得h=10.T=75+（195-75）·. （*）欲使T=95，代入（*）式，得95=75+（195-75）·，即=.两边取对数，查表得=2.6，即t=26（ min）.因此，在咖啡冲好26 min之后降温至95°.10.已知f（x）=x（+）.（1）判断函数的奇偶性；（2）证明f（x）>0.思路解析：本题以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式.（1）解：函数的定义域为x|x0.f（-x）=-x·=-x·

15、=x·=f（x），函数为偶函数.（2）证明：由函数解析式，当x>0时，f（x）>0.又f（x）是偶函数，当x<0时，-x>0.当x<0时，f（x）=f（-x）>0，即对于x0的任何实数x，均有f（x）>0.11.设函数f（x）是定义在R上的增函数，且f（x）0，对于任意x1、x2R，都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）.（1）求证：f（x1-x2）=；（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）>4f（x）.思路解析：由于函数y=ax具有本题中f（x）的条件与结构，因而在解题时可以用指数函数y=ax（a>0且a1）为

16、模型类比.本题考查抽象函数的性质.（1）证明：f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）·f（x2），又f（x）0，f（x1-x2）=.（2）解：f（1）=2，2f（x）=f（1）·f（x）=f（1+x），4f（x）=2·2f（x）=f（1）·f（1+x）=f（2+x）.那么f（3x）>4f（x）可化为f（3x）>f（2+x）.又函数f（x）是定义在R上的增函数，由f（3x）>f（2+x）得3x>2+x，即x>1.故不等式f（3x）>4f（x）的解集是x|x>1.12.定义在R上的函数y=f（x），f（0）0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）证明f（0）=1；（2）证明对任意的xR，恒有f（x）>0；（3）证明函数y=f（x）是R上的增函数.思路解析：本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x理清解答的思路和方法.证明：（1）取a=b=0，则f（0）=f2（0）.f（0）0，f（0）=1.（2）当x0时，f（x）1>0成立，当x<0时，-x>0，f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1，f（x）=>0.xR时，恒有f（x