对勾函数的图像与性质探究

1、第十二讲 对勾函数的图像与性质探究厦门二中唐文龙一、实验内容b探究对勾函数y ax （ a 0且b 0,下同）的图像与性质，由三部分组成： x1）当a,b同号时，探究y ax9的图像与性质xb2）当a,b异方时，探允 y ax 一的图像与性质x bb .3）探允对勾函数 y ax ,与y=ax和y=的图像的关系二、设计理念b通过用超级圆板绘制 y ax b的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾x函数在a,b符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法，培养学生的探究能力三、实验过程1.探究问题b当a,b同号时研究对勾函数 y ax b的图像与性质（定义域，值域，最

2、值，奇偶性，单 x调性等等）探究过程b1）当a>0,b>0时，请利用超级圆板做出函数y ax b的图像，借助函数的图像，研究它x的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等2）打开文件“对勾函数.zjz ”，拉动参数a,b对应的滑动块，让 a,b,分别从0慢慢增长到10,仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。3）观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值，4）当a<0,b<0时，拉动参数a,b对应的滑动块，让a,b,分别从-10慢慢增长到0类似上述问题研究此函数的图像与性质探究结果bba,b同方时，从对勾函数 y ax 一的

3、图像上看可得到 y ax 一有如下性质:1.定义域:x|x R,x 0 ;值域 y | y 2Tab或y2Tab2.整体图像呈“对勾”的形状，图像关于原点呈中心对称，是奇函数;3.当 a>0,b>0时图像在一，三象限b -b当x 0时，由y ax 2Tab （当且仅当x 取等号） x； ab当x 0时，其性质可仿照 x 0进行研究。故而得函数y ax 2的递增区间是x，一）,递减区间是（0, ,a当x>0时，在x= b-时，取最小值2赢，a4.当x<0时，在x=一时，取最大值2。aba当a<0,b<0时图像在二，四象限递增区间是（0,一,0）,递减区间是（a

4、当x>0时,在x= Jb时，取最大值2 JOb ,当x<0时在x= 时，取最小值2Jab互动交流当a,b同号时，很容易从函数的表达式判断该函数的定义域，奇偶性，但是从图像上更直观的观察出这些，尤其是最值与单调区间，但是同时要借助均值不等式来求得端点的数值。2.探究问题b当a,b异号时研究对勾函数 y ax b的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性,x单调性等等）探究过程b1）当a>0,b<0时，请利用超级圆板做出函数 y ax b的图像，借助函数的图像，研究它 x的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等2）打开文件”对勾函数.zjz ”,拉动参数a,b对应的滑动

5、块，让 a从0慢慢增长到10, b从-10慢慢增长到0仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间，观察函数是否有最值3）当a<0,b>0时，拉动参数a,b对应的滑动块，让a从-10慢慢增长到0, b从0慢慢增长到10类似上述问题研究此函数的图像与性质探究结果b b当a,b异号时，从对勾函数 y ax B的图像上看可得到y ax b有如下性质:1 .定义域：x | x R,x 0 ;值域y | y R图像关于原点呈中心对称，是奇函数；）,没递减区间，没有最值；）,没递增区间，没有最值；b一性质的异同点，可以了解当 a,b同号 x2 .整体图像是两条曲线，图像

6、分布于各个象限,3 .当a>0,b<0时，递增区间是（，0）,（ 0,4 .当a<0,b>0时，递减区间是（，0）,（ 0,互动交流a,b同号与异号两类情况的图像，比较y ax时求最值与单调区间是主要研究对象。3.探究问题bb .探允对勾函数 y ax ,与y=ax和y= _的图像的关系探究过程bb1）在同一坐标系内，通过用超级圆板绘制y ax , y=ax和y=的图像；b2）打开文件 对勾函数.zjz ,拉动参数a,b对应的滑动块，观祭 y ax ，与y=ax一 bb和y=的图像的变化情况，找出匕们之间的关系，找出 y ax 图像的渐近线。探究结果b从函数的表达式看

7、y ax 是一个正比例函数与一个反比例函数的和，它的图像反映xbb 一这一点，可以观察到 y ax b的图像可以看做是 y=ax和y=b的图像 叠加 而成， b并且由图像可以看出 y ax 有两条渐近线分力1J是 x=0和y=ax。互动交流在拉动a,b滑块时候，也是分两种情况，就是 a,b同号与异号，观察在这两种情况下，y ax P的图像是不是都与y=ax和y= P的图像有关系，是不是都能找到渐进线。 xx拓展探究1当x 2时候，探究x k恒成立时，求k的取值范围 x探究过程1）问题归结为求x -在x 2时最小值，如果用基本不等式， 发现x=1才能取到最小值 2, x但是与题目的x 2矛盾，故

8、最小值不是 21 2）利用超级圆板回 y x 的图像，可以看出在 x 1时函数是递增的。 x探究结果15y x 1在x 1时函数是递增的，所以在 x 2时，也是递增，当x=2时，y有最小值2x2一 5 所以k 52四.实验反思“函数及其性质”是高考的热点、重点，难点。而“对勾函数”是其中一个常见又特殊的函数，了解它的图像性质无疑对学生解题是大有好处的。但是传统的教学方法直接告诉学生对勾函数的图像是什么样子性质是什么不利于学生掌握数学思想方法，而只是单纯记结论而已。真正应该让学生自己通过画函数图像去探究对勾函数的性质，超级画板就提供了这样一个利器，使得这个探究变得方便直观，探究的过程中让学生体会

9、数形结合的数学思想方法，尤其在找单调区间，最值的情况是一目了然。但是超级画板也有局限性，就是在找单调区间端点和最值点还是需要代数上定理来辅助去计算出来。最后在探究3中让学生从另外一个角度去认识对勾函数，同样借助超级画板绘制函数图像以及在a,b参数变化的过程中让学生探究对勾函数与正比例反比例函数图像的关系，使学生对函数的图像性质有更进一步2 b3 b的了解。此外之貌似的函数y ax -、y ax 分别有什么性质与函数 23xxy ax B的关系如何对于函数 y xn：（n N*）性质又怎样因此就由特殊引出了一 xx般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。这些都可以

10、借助超级画板让学生进行探究。附件：课件制作（供参考，建议有能力的老师、同学可以独立制作课件。）1）单击工具点击y轴的负半轴，画两条与 x轴平行的线段 AB,CD 。4B2）按住键盘的“ Ctrl ”选中点B,D,点击菜单的【测量】下的【点】下的【 x坐标】就出现B,D的横坐标b<81测量愣标点出平行直战上的点;245 ； 测量逐标点D：平行直线上的点二：“改成“ a="3）双击第一个框，选中“测量 x坐标点B:平行直线上的点 类似第二个框改为“ b="，如图OLE对象和文本和图像文本关4）依次选中B与" a=2.25 "，点击菜单的【对象】的【点与

11、联】，点击B,D a,b的文本框就跑到B, D上|力=2.254-1J5Pb-2JiLPa，Eg工81 « D5）分别双击点B,D改标签为a,b,分别点击A,C,按右键选中菜单中的【隐藏】分别选中点a,b，点击国若干次,使点变大，再分别选中a=, b=的文本框选择卬，使得文本边界消失，效果如图所示6）点击【作图】下的【函数或参数方程曲线】打开对话框，如图设置就出现对勾函数的图像，选中图像，点击国若干次，加粗图像7）点击 图，在出现的对话框中如图设置，然后点击淄 若干次，加大文本点击文本和 区:把文本边界去除，效果如图8）类似6的步骤画y=ax的图像函数I画筌I埴充I渐变文本I理S y=f lx）,口口口*乂O x=f （r）。参数方程0极坐标：。=间断点扇小值单位;坐标）西一曲线的点,数：国一口折线段舞题范圜：6< |< |6画点口江轴区域 点的大小：一口断点建接续段确定 取消 9）类似7的步骤操作