八年级数学竞赛题：因式分解及应用

1、八年级数学竞赛题：因式分解及应用解读课标因式分解是整式乘法的逆向运用，它不仅体现了二种“化归”的思想，而且也是学习后 续内容(如分式的化简、解方程)等普遍使用的恒等变形的基础，为数学交流提供有效途径.提公因式、公式法是因式分解的基本方法.有公因式先提公因式、分解因式必须进行到 每一个多项式因式都不能再分解为止，这是因式分解的基本原则.，一些复杂的因式分解问题，常用到以下知识方法：1 .若q = ob且p = a + b则形如/ + px+q的多项式可分解为(x + o)(x + ).2 .当多项式项数较多(4项或4项以上)时，通过恰当分组分解；3 .对结构较复:杂的多项式，利用换元法分解.问题

2、解决例 1 分解因式(2x3y)3 + (3x-2y)3125(x-y)3=.例2要使二次三项式V - 5x+ p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有().A. 2个 B. 4个 C. 6个 D.无数多个例3把下列各式分解因式(1) (x2 + 5x4- 2X2 + 5x + 3) -12 ；(2) (x + l)(x+2Xx + 3Xx + 6) + x2 ；(3) (x+ y)(x+ y+2xy)+(xy+l)(xy-1).例4阅读理解观察下列因式分解的过程：(1) x2 -xy + 4x-4y原式二(x2 -0)+ (4x-4y) = x(x-y) + 4(x- y) =

3、(x-y)(x+4)(2) a2-b2-c2 + 2bc原式二标 一( +c2-2bc) = a2 -(b-c)2 = (a + b-ca-b + c)第(1)题分组后能直接提公因式，第(2)题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的 方法，把下列各式分解因式：(1) a2 -ab+ac-bc ；(2) x2-4y2-z2 +yz.例5把下列各式分解因式(1) x3 + 6x24-11x+6；(2) x4 + 2x3-9x2-2x+8.1 .多项式。/一4。与多项式/-4x+4的公因式是.2 .分解因式：(1) a5 + ab2 - 2a2b =.(2) (x+2Xx+4) + x2 - 4=

4、.(3) x2-y2-4x+4 =.3 .分解因式：x 4a2 -b2 + 6a-3b ；+3x2-4x-12 =.4 .分解因式：(x?+ 3x)2-2(工2+3x)-8 =5 .多项式如一历+标-分解因式的结果是().A. (a-b)(a+b+c) B. (a-b)(a + b-c)C. (a + b)(a + b-c)D. (a + b)(a-b + c)6 .将多项式£ + 2/-3分解因式的结果是().A. (x2 + 3Xx2-l)B. (£ + 1)(/一 3)C.，+ 3)(工+1乂1-1)D.，+ 1乂工+3乂工一3)7 .把多项式/一y2一2X一4y一3

5、因式分解之后，正确的结果是().A. (x+y + 3)(x-y-l)B. (x+ y-l)(x-y + 3)C. (x+y-3)(x-y + l)D. (x+y + l)(x-y-3)8 .己知/+4X-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是().A. 3个 B. 4个 C. 6个D. 8个9 .分解因式(2) 9a3出下列关于尸(加的说法：尸(2)= ;/(24)= ;尸(27) = 3；若a是一个完全 8平方数，则尸(加=1,其中正确说法的个数是().A. 1 B. 2 C. 3 D. 4-4b2 +4bc-c2 ；(3) (a + c)(a-c) + b(b

6、-2a)：(4) (x2 + x+lXx2 + x+2)-12；(5) (2x2 -3x+1)2 -22x2 + 33x -1 ；(6) (x2-1)(x+3x +5) + 1210 .在三个整式x? + 2必y?+2必/中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得 整式可以因式分解，并进行因式分解.11 .分解因式：(x+l)(x+2)(x+3)(x+4) + x(x+5)=.12 .分解因式(x2)3 (y 2)18.已知a、b、c是板的三边长，且满足标+2+。2-2仅。+。)= 0,则此三角形 是(). (x y)3 -.13 .分解因式：9x2 -6x-y2 + 4y-3=.14 .

7、已知(19x-31)(13%(131-17)(1 lx - 23)可因式分解为(以+幼(8兀+ c), 其中a、b、c均为整数，则a+b+但.15 .，+4分解因式的结果是().A.(cr +2a- 2)(a2 -2a+ 2) B.(a2 + 2a- 2a2 -2a-2)C.(a2 +2a + 2)(<72 -2a-2) D.(a2 + 2a + 2)(/ -2a+ 2)16 .实数47 = 20053 2005,下列各数中不能整除。的是()A. 2006 B. 2005 C 2004 D. 200317 .任何一个正整数A行都可以进行这样的分解：HSX2(S、£是正整数，且s

8、Wt),如果 PXQ在行的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们称RQ是的最佳分解，并规定:尸5) = 2,例如18可以分解成1X18, 2义9, 3X6这三种，这时就有/(18)= = 一，给q6 2A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定19.分解因式：(1) 4x2-4x-y2 + 4y-3 ；(2) (x+ y-2xyx+y-2)+(xy-l)2 ；(3) 4x3-31X+15；(4) x3 + 5x2+3x-9；(5) (x4-4x2 +1)(x4 + 3x2 +1) + 10x4.20 .已知在板中，三边长a、b、。满足等式/一166一。2 + 6出?+10庆

9、=0.求证：a + c = 2b.21 .下金蛋的鸡 法国数学家费马（16011665） 一生中提出了不少猜想，最著名的是“费 马大定理”：关于x, y, z的方程=/ （为大于2的整数）没有正整数解.直到350 年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯于1994年证明.德国数学家希尔伯特（18621943） 将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数 学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了22'+1 = 5,22'+1 = 17,2+1 = 257,2'+1

10、 = 65537,发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数22*+1 （即2仁"）+1）都是素数.瑞士数学家欧拉（17071783）指出，2"+1并不是素数.我国数学家华罗庚（1910-1985）在他的著作数论导引中给出一种简明的证法：设 由2，b=5,可算得 2+l = （l + M）"+l a%。，可见2+1必有除1和本身以外的约数 （填较简单的一个，用含a、6的式子表示），即2'+1能被整除（填入具体数值），所以不是素数.因式分解的应用解读课标因式分解是代数变形的有力工具，其应用主要体现在以下几个方面:1 .简化复杂的数值计算；2 .把繁

11、杂的式子化简，使运算更加简便；3 .解不定方程；4 .证明代数相关问题等.有些多项式因式分解后的结果在解决问题过程中常常用到，我们应熟悉这些结果：1 .a3 ± Z?3 = (。土 ba2 + ab + b2)',2 .mn ±m±n + l = (in ± 1)(/? ± 1);3 ./ + 4 = (a2 +2a + 2乂标-2a + 2);4 .d2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ac) = (a + b + c)2;5 ." +/ + c3 _ 2>abc = (a + b + ca2 + b2 + c2

12、- ab-be - ac).问题解决。例1方程初-2x2y + 7 = 0的整数解 gy)为.例2已知。一b = 3,6 + c = -5,则代数式ac-bc + a? -的值为().A. -15 B. -2 C. -6 D. 6例3计算、20032 - 4004 x 2003 + 2002 x 4008 - 2003 x 2004(1) ；2003 -3005 x 2003 - 2003 x 2005 + 2005 x 3005(2) (74 + 64)(154 + 64X23" + 64)(314 + 64)(394 + 64) , (34 + 64)(114 + 64)(194

13、 + 64)(274 + 64)(354 + 64),例4已知a是正整数，且4-162 + 100是质数，求n的值.例5已知整数a、氏c使等式(x+a)(x+b) + c(x-10) = (x-ll)(x+l)对任意的x均成立, 求c的值.数学冲浪知识技能广场1 .已知2工一3 = 0那么代数式x(x2-x) + x2(5-x)-9的值为.2 .如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a、6的长方形卡片6 张，边长为6的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为b(第2题)3 .已知，一，b 1 + b 1 = 0,且2。3b = 1,则的值等于.4

14、.已知必22, 22,且以a均为正整数，如果将苏进行如下方式的“分解”，那么下列 三个叙述：（1）在2$的“分解”中最大的数是11；（2）在4s的“分解”中最小的数是13；（3）若石的“分解”中最小的数是23,则。等于5.其中正确的是.41yyr<:<"<:zr（第4题）5 .计算”和一/熊）”蔡）等于（）.a 1999D 2001万 1999八 2001A. D. C. D.20002000400040006 .已知。c,M +=+ 6/+c标，则"与 N的大小关系是（）.A. MN B. MN C. M=N D.不能确定7 .设a为某一自然数，代入代数

15、式3 一计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（）.A. 5814 B. 5841 C. 8415 D. 84518 . a、b、c是正整数。灰标一。6ac+bc = 7,则 zj-c等于（）.A. -1 B. -1 或-7C. 1 D. 1 或 79 .计算、20043-2x20042-2002（1） ；;20043+ 20042-2005（24 +1）（44 +1）（64 + g）（8、1）（104 +1）（2） 4444（I4 + 与 +。）（54 + 3。4+。 （9, +。） 4444410 . （1）求证：8/-27、9”能被45整除；（2）证明：当n为自然数时，

16、2 （2正1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.思想方法天地11 . a、b、。是正整数，并且满足等式abc+ab+ac+bc+a + b+c+l = 2004那么 的最小值是.12 .已知 a、b、x、y满足。+ Z? = x+y = 2,ax+6y = 5 ,则（标 + b2 ）xy + ab（x2 + y2） =.13 .若x, y为正整数，且/ + y2 + 4y - 96 = 0,则才尸.14 . A. a都是自然数，且人=2 + 15 + 26是一个完全平方数，则5.15 .若? = 2006?+2006? x20072+ 2007。则卬（ ）.A.是完全平方数，还是奇数B.是完

17、全平方数，还是偶数C.不是完全平方数，但是奇数 D.不是完全平方数，但是偶数16 .已知小b、。是一个三角形的三边，则。4+64+/ 2/一2/2/标的值（）.A.恒正 B.恒负 C.可正可负D.非负17 .设a是正数，且。一2 = 1,那么/一：等于（）.aaA. -3 B. 1 C. 3 D. 518 .设A为某一正整数，代入代数式J/ 一计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（ ）oA. 7770 B. 7775 C. 7776 D. 7779 。19 . （1）证明：1999x2000x2001x2003x2004x2005+36是一个完全平方数.（2）证明：数98/4-7防+4对于任何自然数视都能被20整除.20 .设a、b、c均是不为0的数，且满足/-A? =bc及 一/ =ca 证明：a2 -c2 =ab.373 + 133 37 + 13 5021 .当我们看到下面这个数学算式:73K =三二？=工时,大概会觉得算题的人错用 373+24337 + 24 61了运算法则吧，因为我们知道学丰”乌，但是，如果你动手计算一下，就会发现上 c3+d3 c + d式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种等式：