厦门理工学院-概率论与数理统计参

1、厦门理工学院-概率论与数理统计参考答案概率论与数理统计练习题专业 姓名学号 第一章 随机事件及其概率一一选择题1对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点称为 C A不可能事件 B必然事件 C随机事件 D样本领件2下面各组事件中，互为对立事件的有 B AA1=抽到的三个产品全是合格品 A2=抽到的三个产品全是废品BB1=抽到的三个产品全是合格品 B2=抽到的三个产品中至少有一个废品CC1=抽到的三个产品中合格品不少于2个 C2=抽到的三个产品中废品不多于2个DD1=抽到的三个产品中有2个合格品 D2=抽到的三个产品中有2个废品3以下事件与事件A-B不等价的是 C AA-AB B(AÈ

2、;B)-B CAB DAB4甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，那么AÈB表示 CA二人都没射中 B二人都射中C二人没有都射着 D至少一个射中5以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销，那么其对应事件A为. DA“甲种产品滞销，乙种产品畅销； B“甲、乙两种产品均畅销；C“甲种产品滞销； D“甲种产品滞销或乙种产品畅销6设W=x|-¥<x<+¥,A=x|0£x<2,B=x|1£x<3，那么AB表示 AAx|0£x<1 Bx|0<x<1Cx|1£x<2 Dx|-&#

3、165;<x<0Èx|1£x<+¥7在事件A，B，C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为 AAACUBC； BABC；CABCUABCUABC； DAUBUC.8、设随机事件A,B满足P(AB)=0，那么 D AA,B互为对立事件 (B) A,B互不相容1(C) AB一定为不可能事件 (D) AB不一定为不可能事件 二、填空题1假设事件A，B满足AB=f，那么称A与B 。2“A，B，C三个事件中至少发生二个此事件可以表示为 三、简答题：1一盒 2A不发生，B与C发生；3A、B、C中恰有一个发生； 4A、B、C中恰有二个发生；5A、B、

4、C中没有一个发生； 6A、B、C中所有三个都发生；7A、B、C中至少有一个发生； 8A、B、C中不多于两个发生。答：(1)ABC(2)ABC(3)ABCÈABCÈABC(5)ABC(8)CÈAÈB=ABCABCÈABCÈABCÈABC或ABÈACÈBC 。 (4)ABCÈABCÈABC(6)ABC(7)AÈBÈC 2概率论与数理统计练习题系专业班 姓名学号第一章 随机事件及其概率二一、136选择题： 1181121111掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3的概率是

5、B A B C D2袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，那么两次都是红球的概率是 B A925310 B C625 D3203 事件A、B满足AÌB，那么P(B-A)¹ BAP(B)-P(A) BP(B)-(A)+P(AB)CP(AB) DP(B)-P(AB)4A、B为两事件，假设P(AÈB)=0.8,P(A)=0.2,P(B)=0.4，那么 BAP(AB)=0.32 BP(AB)=0.2CP(B-A)=0.4 DP(BA)=0.485有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，那么4本外文书放在一起的概率是 DA4!×6!

6、10! B710 C410 D4!×7!10!二、选择题：1设A和B是两事件，那么P(A)=P(AB)+ P(AB)2设A、B、C两两互不相容，P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.4，那么P(AÈB)-C=0.5P(AÈB)-C=P(AÈB)-P(AÈB)C解答：=P(AÈB)-P(f)P(A)+P(B)=0.5(因为A,B,C两两互不相容3假设P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，那么P(AÈB)= 0.8 。 P(A-B)=P(A)-P(AB)解：0.3=0.5-P(AB)ÞP

7、(AB)=0.2P(AÈB)=P(AB)=1-P(AB)=0.83 4设两两独立的事件A，B，C满足条件ABC=f，P(A)=P(B)=P(C)<P(AÈBÈC)=91612，且 ，那么P(A)=1/4P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)解：9/16=3P(A)-3P2(A)P(A)=1/4(3/4舍14(A,B,C两两独立，且ABC=f) 5设P(A)=P(B)=P(C)=率为 1/2 。 ，P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=18，那么A、B、C全不发生的概P(ABC)=

8、1-P(AÈBÈC)解： P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-2/8+0=1/2(ABCÌAB)6设A和B是两事件，BÌA，P(A)=0.9,P(B)=0.36，那么P(AB)=0.54 。 解：P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(B)=0.54(BÌA)三、计算题：1罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，假设从中任取3颗，求：1取到的都是白子的概率；2取到的两颗白子，一颗黑子的概率；3取到的3颗中至少有一颗黑子的概率；4取到的3颗棋子颜色相同的

9、概率。(1)P1=C8/C12=14/5533解：1(2)P2=C8C4/C12=28/55(3)P3=1-P1=41/55(4)P4=(C8+C4)/C12=3/11333213 2加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解：A,B,C,D分别表示第一、二、三四道工序出现次品P(A)=2%,P(B)=3%,P(C)=5%,P(D)=3%加工出的成品率P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)=0.98*0.97*0.95*0.97=0.876次品率1P(ABCD)0.12443袋中人

10、民币五元的2张，二元的3张和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。法一：大于12的有13,14,15,16P大于12元P(13)+P(14)+P(15)+P(16)522152125235解：=C22C33/C10+C2C3C5/C10+C2C3C5/C10+C2C5/C10=2/9法二：P大于12元C2C8/C10=2/9235 概率论与数理统计练习题系专业班 姓名学号第一章 随机事件及其概率三一、 选择题：1设A、B为两个事件，P(A)¹P(B)>0，且AÉB，那么以下必成立是 A AP(A|B)=1 DP(B|A)=1 CP(B|A)=1 DP(

11、A|B)=02设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球，B表示“取到玻璃球，那么P(B|A)= D 。A610 B616 C47 D4113设A、B为两事件，且P(A),P(B)均大于0，那么以下公式错误的选项是 B AP(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AB) BP(AB)=P(A)P(B)CP(AB)=P(A)P(B|A) DP(A)=1-P(A)4设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，所取的2件产品中有一件是不合格品，那么另一件也是不合格品的概率为 B A 5 25 B15 C12

12、 D35解：A：至少有一件不合格品，B：两件均是合格品。BÌA P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=C42421416C+CC=4´3/26+24=1/5 5设A、B为两个随机事件，且0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)=P(B|A)，那么必有 C AP(A|B)=P(A|B) BP(A|B)¹P(A|B)CP(AB)=P(A)P(B) DP(AB)¹P(A)P(B) 0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)=P(B|A)ÞP(AB)P(BA)(B)-P(AB)P(A)=P(A)=

13、P1-P(A)解：P(AB)(1-P(A)=P(A)(P(B)-P(AB)P(AB)-P(AB)P(A)=P(A)P(B)-P(A)P(AB)P(AB)=P(A)P(B)二、填空题：1设A、B为两事件，P(AÈB)=0.8,P(A)=0.6,P(B)=0.3，那么P(B|A)=QP(AÈB)=0.8,P(A)=0.6,P(B)=0.30.8=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.3-P(AB)解：P(AB)=0.1P(B|A)=P(AB)P(A)=0.10.6=1/62设P(A)=0.6,P(AÈB)=0.84,P(B|A)=0.4，那么P(B)= 0.6

14、QP(A)=0.6,P(B|A)=0.4=P(AB)P(A)-P(AB)P(A)=P(A)=0.6-P(AB)0.6解：0.6-P(AB)=0.24,ÞP(AB)=0.36QP(AÈB)=0.84=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+P(B)-0.36P(B)=0.63假设P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(B|A)=0.2，那么P(A|B)= 0.96P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(B|A)=0.2=P(BA)P(A)=0.8-P(AB)1-P(A)=0.8-P(AB)0.4解：P(AB)=0.72P(A|B)= P(AB)P(B)=0.720.8=0.9

15、4某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 0.735解：A：合格品；C：一等品. P(C|A)=0.75,P(C)=P(A)P(C|A)=0.98*0.75=0.7355A1,A2,A3为一完备事件组，且P(A1)=0.1,P(A2)=0.5,P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=0.1，那么P(A1|B)= P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(A1)(B|A1)P(A1)(B|A1)+P(A2)(B|A2)+P(A3)(B|A3)=1/18解：= 0.1´0.20.1´0.2+0.5

16、0;0.6+0.1´0.4三、计算题：1某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？解：A: 某种动物由出生活到10岁.B: 某种动物由出生活到12岁BÌAÞP(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.72某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：1任取一件产品是正品的概率；2任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。解：A：某产品由甲两车间生产。B：任取一件产品是正品。 P(A)=0.6,P(A)=0.4,P(B|A)

17、=0.9,P(B|A)=0.95：(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.6´0.9+0.4´0.95=0.92(2)P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B|A)1-P(B)=0.4´(1-0.95)1-0.92»25% 7 3为了防止意外，在矿即A+B=AB, 而P(B|A)=1-P(B|A)=1-0.85=0.15, 那么P(AB)=P(A)P(B|A)=(1-0.92)´0.15=0.08´0.15=0.012P(A+B)=1-P(AB)=1-0.012=0.988(2) B失灵条件下A有效的概

18、率为P(A|B), 那么P(AB)P(B)0.0121-0.93P(A|B)=1-P(A|B)=1-=1-=0.829 4某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为0.96,0.92和0.90。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？解：A：这瓶酒是一等品。B1,B2,B3分别表示甲、乙、丙说

19、是一等品。B1,B2,B3相互独立。：8P(B1|A)=0.96,P(B2|A)=0.92,P(B3|A)=0.9,P(A)=P(B1B2B3)=P(B1B2B3|A)P(A)+P(B1B2B3|A)P(A)=P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)+P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)=0.96´0.08´0.1´P(A|B1B2B3)=512+0.04´0.92´0.9´(1-512)CC110124=5/12P(B1B2B3A)P(B1B2B3)=P(B1B2B3|A)P(A)P(B1B2B3)0.96&

20、#180;0.08´0.1´5512)=0.96´0.08´0.1´»14.2%5129+0.04´0.92´0.9´(1-概率论与数理统计练习题系专业班 姓名学号第一章 随机事件及其概率四一、选择题：1设A，B是两个相互独立的事件，P(A)>0,P(B)>0，那么一定有P(AÈB)= B AP(A)+P(B) B1-P(A)P(B) C1+P(A)P(B) D1-P(AB)2甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，那么两人同时考上大学的概率是 B A0.75 B0.56

21、C0.50 D0.943某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 D A0.82´0.23 B0.82 C4设A，B是两个相互独立的事件，P(A)=125625´0.8 DC50.8´0.2 22231223,P(B)=13，那么P(AÈB)= C 34 A B C D5假设A，B之积为不可能事件，那么称A 与B B A独立 B互不相容 C对立 D构成完备事件组二、填空题：1设A与B是相互独立的两事件，且P(A)=0.7,P(B)=0.4，那么P(AB)= 2设事件A，B独立。且P(A)=0.4,P(B)=0.7，那么A

22、，B至少一个发生的概率为3设有供水龙头5个，每一个龙头被翻开的可能为0.1，那么有3个同时被翻开的概率为4某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，那么5件中恰有2件次品的概率为，5件中至多有2件次品的概率0 8 。三、计算题：1设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。解：所求的概率为106P=åK=2P(k)=1-P(0)-P1( )666=1-(0.4)6-6´(0.6)(0.4)5=0.95904 2某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。解：设A =“灯泡

23、使用寿命在1000个小时以上， 那么P(A)=0.2 =(0.2)3+3´(0.2)2´0.8=0.1043甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，那么飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，那么飞机被击落的概率是0.6；如果3人都 7.3+.0´4.0´5.0+7.0´6.0´5. =0.4´0.5´0=0 7.P(D3)=P(ABC)=0.4´0.5´0.7=0.14D)P(H|1D+) P(H)=P(1P(D)P(H2|+D)

24、23P(D)P( H|D)3.2+.04´1.0+6.0´14=1. 0 =0.36´0 4一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程每一过程有一定的持续时间以检查新生产元件的缺陷。假设缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为p。1求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率缺陷假设在一个过程查出就不再进行下一个过程；2求缺陷在第n个过程结束之前被查出的概率；3假设缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：1、2、3都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。4设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通

25、过检查，求在3的假设下一元件通过检查的概率；5一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率设p=0.5。11 2 =p+p(1-p)+p(1-p)2+L+p(1-p)n-1 =1-(1-p)n3 45 p=0.55设A，B为两个事件，P(A|B)=P(A|B),P(A)>0,P(B)>0，证明A与B独立。 证： B) )P(A)P( B) 即 P(AB)= 所以 A与B独立 概率论与数理统计练习题系专业班 姓名学号第一章 随机事件及其概率五一、选择题：121对于任意两个事件A和B B A假设AB¹f，那么A，B一定独立 B假设AB¹f，那么A，B有可能独立C假设

26、AB=f，那么A，B一定独立 D假设AB=f，那么A，B一定不独立2设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P(A|B)=1，那么 D A事件A和B互不相容 B事件A和B互相对立C事件A和B互不独立 D事件A和B相互独立3设A，B为任意两个事件且AÌB，P(B)>0，那么以下选项必然成立的是 B AP(A)<P(A|B) BP(A)£P(A|B)CP(A)>P(A|B) DP(A)³P(A|B)二、填空题：1A，B为两个事件满足P(AB)=P(AB)，且P(A)=p，那么P(B)=2设两两独立的事件A，B，C满

27、足条件ABC=f，P(A)=P(B)=P(C)<P(AÈBÈC)=91612，且 ，那么P(A)= 3假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，那么取到的是一等品的概率是 三、计算题：1设两个相互独立的事件都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概91率相等，求A发生的概率P(A) B)2如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善13可靠性。在C发生时这些开关每一个都应闭合，且假设至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠

28、性即在情况C发生时闭合的概率，问这时系统的可靠性即电路闭合的概率是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，那么至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。解：设一个电路闭合的可靠性为p， C2p(1-p)+p=0.96，所以 p=0.8 设n个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999nnknkk12 那么åCp(1-p)=k=1åCk=1kn(0.8)(0.2)kn-kn=1-(0.2)³0.9999 所以 取6个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。 3将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a，而输出为其他一字母的

29、概率1-a为。今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道，输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分2别为p1,p2,p3(p1+p2+p3=1)，输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？设信道传输各个字母的工作是相互独立的解：P(AAAA|ABCA)AB)C 4一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为lnn!e-l(n=0,1,2,L)，假设产品的优质14率为p(0<p<1)。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：1计算生产线在两次故障间共生产k件k = 0，1，2，优质品的概率；2假设在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率。解： 概

30、率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第二章 随机变量及其分布一一选择题：1设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是 Xx1x2x3x4Xx A1x2x3x4p248Bp24Xx1x3x4Xxx C2x2x3x4p2 D134p 234-122设随机变量的分布列为X0123p0.10.30.40.2F(x)为其分布函数，那么F(2)= A0.2 B0.4 C0.8 D1二、填空题：1设随机变量X 的概率分布为X012pa0.20.5，那么a =15 2某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，那么抽得次品数X的概率分布为3设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，那么

31、击中目标次数X的概率分布为三、计算题：1同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和求：1X的概率分布； 2P(X£3)； 3P(X>12) 2产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X描述检查结果。 3随机变量X只能取-1，0，1，2四个值，相应概率依次为数c，并计算P(X<1) 4一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。 16 12c,34c8c16c,5,7，试确定常 5设随机变量XB(2

32、,P),YB(3,P)，假设PX³1=59，求PY³1概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第二章 随机变量及其分布二一、选择题：ì2x1设连续性随机变量X的密度函数为f(x)=íî00<x<1其他，那么以下等式成立的是 A 12121212AP(X³-1)=1 P(X=解：AP(X³-1)=12)=12P(X<)= P(X>)=ò¥-1f(x)dx=ò1 2xdx=1xÎ1,bxÏ1,bìlnxf(x)= 2设连续性随机变量X的密度

33、函数为íî0，那么常数b= A Ae Be+1 Ce-1 De2171=ò+¥-¥f(x)dx=òb1lnxdx=xlnx|1-òxdlnx1bbb解：=blnb-òb1dx=blnb-x|1=blnb-b+1=1lnb=1(b=0舍b=e3设XN(m,s2)，要使YN(0,1)，那么 C AY=X+m BY=sX+m CY=X-mss DY=sX-m4设XN(0,1)，F(x)=òx-¥e-x22dtx³0)，那么以下等式不成立的是 C A B DF(0)=0.5 CF(x)=1-F

34、(-x) F(-x)=F(x) P(|x|<a)=2F(a)-15X服从参数l=119的指数分布，那么P(3<X<9)= C 19 AF(1)-F() B3-1e) C-1e Dòe39-x9dx二、填空题：ìAx21设连续性随机变量X的密度函数为f(x)=íî00£x£1其他，那么常数A = 32设随机变量XN(2,s)，P(2£X£4)=0.4，那么P(X£0)= 0.1三、计算题：1设XU(1,4),求P(X£5)和P(0£X£2.5) 218

35、6;xï2设随机变量X的密度函数为f(x)=íax+bï0î0£x<11£x£2，且P(0<X£其他32)=78 求：1常数a,b 2P(解12<X<32) 3X的分布函数F(x)：2.(1)由P(0<X£又1=ò(2)P(+¥-¥3210)=78Þò103xdx+ò21(ax+b)dx=78f(x)dx=òxdx+32)=ò21(ax+b)dx.可得a=-1，b=2.3212<X<&

36、#242;112xdx+ò1(-x+2)dx=34ì0 x<0ïï0.5x 0£x<1(3) F(x)=í2ï-0.5x+2x-1 1£x<2 ï1 x³2î 3设某种电子元件的使用寿命X单位：h服从参数l=个该电子元件，且它们工作时相互独立，求：191600的指数分布，现某种仪器使用三1一个元件时间在200h以上的概率；2三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。+¥2003.(1)P(X>200)=ò160013e-1600xdx

37、=e-13(2)Y=&quot;使用时间在200h以上的元件个数&quot;P(Y³2)=C(e 23-13)(1-e2-)+C(e33-13)=3e3-23-2e-1概率论与数理统计练习题专业 姓名学号 第二章 随机变量及其分布三1X的概率分辨为Xpi-22a-10.103a1a2a32a，试求：1常数a； 2Y=X2-1的概率分布。(1) 2a+0.1+3a+a+a+2a=1Þa=0.1 (2) Y -1 0 3 8 p 0.3 0.2 0.3 0.22设随机变量X在0，1服从均匀分布，求： 1Y=e的概率密度； 2Y=-2lnX的概率密度。X 202.

38、(1)FY(y)=P(Y£y)=P(eX£y)=P(X£lny)ì0 y£1ï =FX(lny)=ílny 1<y<eï1 y³e îì1dFY(y)ï 1<y<efY(y)=íyyï0 otherî(2)FY(y)=P(Y£y)=P(-2lnX£y)=P(X³e=1-P(X£e-y2-y2 )y-ìï1-e2 0<y<+¥ )=í

39、ïî 0 y£0 ì1-ydFY(y)ïe2 0<y<+¥fY(y)=í2yï0 otherî3设XN(0,1)，求：1Y=2X2+1的概率密度；2Y=|X|的概率密度。 213.(1)FY(y)=P(Y£y)=P(2X =P(-£X£1-2+1£y) =2P(X£-1=2FX(111-1fY(y)=2fX1y-1=1e2=e-y-14(y³1)y-1-ì14e y>1ïfY(y)=íï&

40、#238;0 other 22(2)FY(y)=P(Y£y)=P(X£y) =P(-y£X£y)=2FX(y)-1ì-1e2 y³0 ï2fY(y)=íïî0 othery2 ì2xï4设随机变量X的概率密度为f(x)=íp2ï0î0<x<p其他，求Y=sinX的概率密度。 4.FY(y)=P(Y£y)=P(sinX£y)=P(X£arcsinyUX³p-arcsiny )=P(X£a

41、rcsiny)+1-P(X£p-arcsiny)fY(y)=fX(arcsiny)2arcsiny11-fX(p-arcsiny)(-11 =+2(p-arcsiny)<y<1)2ì0<y<1ïfY(y)=íïî0 other 23 概率论与数理统计练习题专业 姓名学号 第三章 多维随机变量及其分布一一、填空题：ìAxy2,0<x<1,0<y<11、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=í，那么常数î0,其他A=1=òò-

42、¥¥¥-¥f(x,y)dxdy=Aòxdxòydy=A 112x22|10y33|0=6A1 ìAarctanx×arctany,x>0,y>02、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=í，那么常î0,其他数A= 4/p2 。1=F(+¥,+¥)=Alimarctanxlimarctany=Ax®¥y®¥p24 二、计算题：1在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：

43、1放回抽样；2不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： ì0 X=íî1假设第一次出的是正品ì0， Y=í假设第一次出的是次品î1假设第二次出的是正品假设第二次出的是次品 试分别就1，2两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：11放回抽样 2不放回抽样 2设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求1P12<X<32,0<Y<4，242P1£X£2,3£Y£41232P<X<,0<Y<4解：1=P(X=1,Y=2)+P(X=1,Y=3)+P(X=1,Y=

44、1)，=1/4P1£X£2,3£Y£42=P(X=1,Y=3)+P(X=1,Y=4)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4)=5/16 3设随机变量(X,Y)的联合分布律如表：求：1a值； 2(X,Y)的联合分布函数F(x,y)3(X,Y)关于X，Y的边缘分布函数FX(x)和FY(y)解：11/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3 ì0ï1ïï4ïï5F(x,y)=í2ï12ï1ï2ïïî13x&lt;1或y&a

45、mp;lt;-11£x<2,-1£y<0x³2,-1£y<01£x<2，y³0x³2,y³025 0 p j1/4 1/4 1/6 1/3 5/12 7/12pi1/2 1/2ì0x<1ïï1FX(x)=í1£x<2；ï2x³2ïî1ì0y<-1ïï5FY(y)=í-1£y<0. ï12y³0ï

46、38;1ìk(6-x-y)î 0&lt;x&lt;2,2&lt;y&lt;4其他4设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=í，求：1常数k； 2求PX<1,Y<3； 3PX<1.5； 4PX+Y£42421òò k(6-x-y)dydx=1Þk=18;38;2732;2P(X<1,Y<3)=òò 13218(6-x-y)dydx=3P(X<1.5)=P(X<1.5,2<Y<4)=24-x2òò

47、1.54218(6-x-y)dydx=4P(X+Y£4)=òò 18(6-x-y)dydx=2623.概率论与数理统计练习题专业 姓名学号 第三章 多维随机变量及其分布二一、选择题：1、设随机变量X与Y独立，且X:N(m1,s12),Y:N(m2,s22)，那么Z=X-Y仍服从正态分布，且有 D AZ:N(m1+m2,s12+s22) (B) Z:N(m1+m2,s12-s22) (C) Z:N(m1-m2,s12-s22) (D) Z:N(m1-m2,s12+s22) 2、假设(X,Y)服从二维均匀分布，那么 B A随机变量X,Y都服从均匀分布 B随机变量X,Y

48、不一定服从均匀分布 C随机变量X,Y一定不服从均匀分布 D随机变量X+Y服从均匀分布 二、填空题：ì2xy,0£x£1,0£y£2ïx+1、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=í， 3ï0,其他.î那么P(X+Y³1)= 。101-x01-P(X+Y<1)=1-òdxò(x+2xy3)dy=1-ò( 1x6+2x32-5x63)dx=78 ì32ïx,0<x<22、设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为f(x)=&

49、#237;8，设A=X>a与ï0,其他îB=Y>a相互独立，且P(AÈB)=34，那么a=a0a3P(A)=P(X>a)=1-P(X£a)=1-ò3x82=1-8 2P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-P(A)27a=2(1-)-(188a332)a3=16446三、计算题： 1PX=k=ak,PY=-k=bk2,(k=1,2,3)，X与Y独立，确定a，b的值，求出(X,Y)的联合概率分布以及X+Y的概率分布。 解：由归一性åkP(X=k)=a+a2b4+a3b9=11a649b

50、36=1 所以 a=611 由归一性åkP(Y=-k)=b+=1 所以 b=3649 (X,Y)的联合概率分布 由于 P(X+Y=-2)= P(X+Y=-1)=P(X+Y=0)=24539 649 12653966539=251539P(X+Y=1)= P(X+Y=2)=72539 X+Y的概率分布为： ì12e-3x-4y,x>0,y>02随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)=í，分别求以下概率密度函其他î0,数：1Z=X+Y； 2M=maxX,Y； 3N=minX,Y。 解：1FZ(z)=P(Z£z)=P(X+Y£

51、;z) =òòx+y£z=f(x,ydxdy)òz dxòz-x 12e-3x-4ydy28=3òze-3x(1-4(z-x)0e)d x=(-e-3x-3ex-4z)|z =1-4e-3z+3e-4z 即 Fì0z<0Z(z)=í-3z-4z î1-4e+3ez³0 所以 Z的概率密度函数为 fì0z<0Z(z)=îí12e-3z-12e-4zz³0或 当z<0时，fZ(z)=0 当z³0时，fZ(z)=ò+¥-¥f(x,-zx) dx=òz12e-3x-4z(-x0dx)=12e-4z×ex0| z=12e-4z×(ez-1)所以 Z的概率密度函数为 fì0z<0Z(z)=îí12e-3z-12e-4zz³0 2由于fx-4yX(x)=ò+¥-¥f(x,y)dy=ò+¥01