数列求和常见的7种方法

1、数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法.数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在离考和各种数学竞赛中都占有重要的地 位。数列求和是数列的重要內容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要 -定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和1、利用下列常用求和

2、公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 等差数列求和公式：S” =血Z） -+心-1）22、3、nax等比数列求和公式：S”=（5（l /）.(心)i g(E)川1S” =k =-nn + )4、S”=f 疋=!心 + 1)(2 + 1)5、例 1 已log3x =,求x + x2 +x3 +- + X11 + 的前 n 项#口.log23-ii解：由log.x = -=> log3 x = -log 2 => X =- log. 32（利用常用公由等比数列求和公式得S“ =x + x2 + F+ + x”式丿丄（1 一丄）（1-亠丁I 11-1 2” 21-XS例2设Sn=1

3、+ 2+3 +n, n EN求/（）= 丄的灵大值。（n+32）S加解：由等差数列求和公式得=|/7（/7 + 1）,=-（n +1）（77 + 2）2 2（利用常用公式）I心烏石+3； + 6411三丄/7 + 34 + （馆一-）2 +50"当亦一掛即门=8时,/（叽=命二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an - b的旃ri项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.an例3 求和：Sn = + 3x + 5x2 +7x3 + + （2一1）x"T解：由题可知， （2舁一1）0“ 的通项是等差数列2n-

4、1 的通项与等比数列的通项之积设 xSn =x + 3x2 + 5x3 + 7/ + + （2n 一 ）xn（设制错位）-得（1 一x）S” =l + 2x + 2x2 + 2a3 +2x4 + + 2卍,t 一（2一l）xn（错位相沁再利用等比数列的求和公式得：（-x）Sn = + 2x X-（2n-）xn1-xG （2/2 - l）xn+,-（2n + ）xn +（1 + x） Sn =2 46例4求数列£，r，2 22 23解：由题可知， 的通项是等差数列2n 的通项与等比数列 的通项之积詁前n项的和.In设S口2246=-+ + r +2 23 + 2"-得（1-S

5、”2n vITT（设制错位）（错位相三. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（勺+%）°例 5求证：C； + 3C： + 5C： + + （2n + 1）C； = （h +1）2"证明：设S“ =C：+3C；+5C；+ (2 + l)C； 把式右边倒转过来得S “ = (2n + 1)C； + (2« -1)0；-* + + 3C； + C；(反序)又由C； = 可得S“ = (2n + 1)C； + (2n-1)C*+ + 3C；J + C；.+得2S” = (2n +

6、2)( C； +C,；+ + C：J + C；) = 2(n +1) 2"(反序相加)S “ = (” + 1) 2”例6求sin21° +sin22* +sin23* +-+sin288e +sin289s的值解：设S = sin2 1° + sin2 2* + sin2 3+ + sin2 88° + sin2 89* 将式右边反序得5= sin2 89° +sin2 88e + + sin2 3° +sin22° +sin2l°(反序)又因为 sinx = cos(90° -x),sin x + c

7、os，x = 1+得(反序相加)2S = (sin21° +cos2 lo) + (sin2 2° +cos2 2°) + + (sin，89° +cos2 89°) =89S=44o 5题1已知函数证明：弘)+/(1)二1;(2)求110丿110丿110丿110丿的值。解：(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边二右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知，/(1+/f/f/f=/(V/f:110 丿UoJ lioj 110 丿 110 丿 “0 丿<8 9、110丿令4彳制"制+讥話戶丄110丿<2110丿

8、2S = 9xr+/9 H1©一 110 丿两式相加得：2心4:求值： 12+10222+9'=9S=-所以 2练习223232+82102102+12四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开,常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。/W刀求数列的祈n项和：1 + 1,丄+ 4,丄+ 7,，丄+ 3”一2, a a2 严解:设» =(1 + 1) + (丄+ 4) + (丄+ 7) + (点 + 3料一2)acra将其每一项拆开再重新组合得S” =(1 + 丄 + 丄 + + _Lj +(i + 4 + 7 + + 3”一 2

9、) a a2 (严组),| c(3/7 -1)/7(3/7 + 1)/7当 a=1 时，S” =n + -一=-一亍厶2 2丄p ，丄 g an (3/7 - l)nu _a'f (3n-1)/2当 OH1 时.S =+ =+ /r 丄 2G-12可分为几个等差、等比或(分(分组求和)例8求数列n （n+ 1 ） （2n+1）的前n项和。解：nak =k(k + )(2k + l) = 2k3 + 3k2 +kSn =±k(k +1)(2/: +1) = f (2宀3/ +k)2 2将其每一项拆开再重新组合得Sn2工疋+3工T+工k kJIJI（分组）=2(13+23 + +

10、 n3) + 3(l2+22 + + /) +(1 + 2 + + n)_n (n + iy 71(/?+ 1)(271 + 1) n(n + l)=*+2 2（分组求和）n(n + l)2(n + 2)五. 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1) =/(n +l)-/(n)sin V(2) = tan(n + l)c - tanncos7?ccos(/? + l)°(3) an =!=-n(n +1) n n + 廿A 十丄 ”2 1）（2+ 1）

11、 2 1.n(n-lX« + 2)2" n(n +1) (n + l)(w + 2)(6)n+ 21 _2(n + l)-n 1 _1血2 + 1) 2 " n(n +1) 丁 _ 2心(n + l)2r,!=(- _ -)( An + B)(An + C) C _ B An + B An + CL 1 =Jl + -肩JH + yjll + 1例9求数列£亍'云了F._打， 的前 n 项和.J n +、/ n + 1（裂项）S =丄+I + a/2y/2 + y/3+ +yn + y/n + （裂项求石）=(/2 - VT) + (3 一 y/

12、2) + + (J" + 1 - y/n)=Jn + 1-1例 101 2在数列g中，+ +n + l2,求数列 bn的前5 %】n项的和。解:1 2a，_ n+T+n+T+ +” + 1（裂项）数列bj的前n项和S” =8(1 £) + (£_) + (_：) + + (-!22334n n +1= 8(1L)=竺n + 1n + )1（裂项求和）求证：+cos0° cosl" cosl0 cos2c+ +cosT1cos88° cos893 sin21°解：设5* =+cosO° cosT coslc cos2

13、c+ +cos88° cos89°sinl0=tan(7i + l)° - tann0cqsh cos(72 + l)e（裂项）+ +cos88° cos89°/ S =1cosOc coslc cosf cos2°=!(tanT tan0°) + (tan2° - tanT) + (tan3° - tan 2°) +tan 89° -tan88° sin lc（裂项求和）一 (tan89° - tan0°) = cotl° =竺- sinfsi

14、n 1°sinl答案:11(2 3« + 2«+3,原等式成立六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求Sno例 1 2求 c o s 1 ° + c o s2c + cos 3 ° + + c os 178" + cos 1 79J 的值.解：设 Sn= cos1 ° + c o s2° + co s 3C + + co s 1 78° + co s 1 79°I cos/f =-cos(1

15、80°-7f)(找特殊性质项)/ Sn= (co s 1 ° + co s 1 79c ) + ( cos2° + cos 178° )+ (cos3 ° + cos177° )+ (co s89 0+ c o s 91°)+ c o s 9 0 °(合并求和)=0例 13数列an:= l9a2 = 39a3 = 2,«/l+2 = an+l-an ,求 S2002.解：设 S2002= Cl + +“2()02由 q=i, a2 =3, a3= 2,= % 一 an 可得。62=匕 心知2=3, %知3

16、=2, a6k4 = -1, a6k5 = -3,= -2“6A+1 +。6£+2 +“6如3 +“62 +“6女+5 +。6«+6 = °(找特殊性质项)/ S 2 002= ci + Cl2 + a3 HF &2002(合并求和)=(。1 + “3 + 记“)+(a7 + “8 + * 讹12 ) + + (°6"1 + “6 如 2+ 6知6)d F (。1993+ "1994+ "1998)+ 1999 + “2000 + 2001 + 20021999 + “2(X)0 + 02001 + “2(X)2a6

17、M + “62 + “6 知 3 + “614=5例14 在各项均为正数的等比数列中，若坷心=9,求log/】 +iog3 a2 + + log3«l()的值.解：设 S” = logs 5 +log3&2 + 吨沁。由等比数列的性质m + n = p + q=> aman = apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质logfl M +logn N = log& M7V 得sn = (log3 ax +log3a10) + (fog3«2 + log3 a9) + + (k)g3 «5 + log3 )(合并求和)= (log3®

18、aIO) + 0og3a2 G9)+ + (log3“5 “)=log 3 9 + logs 9 log3 9=1 0七. 利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法.W 15求 1 + 11 + 111 +111 1 之和.（找通项及特（分组求和）解：由于111 .1 = 1x9999 =丄(10女_)' 9 ' 9征) 1+11+111+111 1"个1=丄(io1-l) + i(io2 -1) +1(103 _1) + + 丄(10 _1)9999=-(10'4-102 + 103 + +10" )-(1 + 1 + 1 + + !)99_ 1 10(10"