恒成立问题的研究分析方法

1、个人收集整理仅供参考学习恒成立问题地研究方法思想与方法“恒成立”问题是数学中常见地问题，经常与参数地范围联系在一起，在高考中频频出现，是高考中地一个难点问题.常用方法： b5E2RGbCAP（ 1）函数与方程方法.利用不等式与函数和方程之间地联系，将问题转化成二次方程地根地情况地研究.有些问题需要经过代换转化才是二次函数或二次方程.注意代换后地自变量地范围变化 .p1EanqFDPw（ 2）分离参数法 .将含参数地恒成立式子中地参数分离出来，化成形如：af (x) 或a f ( x) 或 af (x) 恒成立地形式 .则 af (x)a地范围是 f ( x) 地值域 .DXDiTa9E3daf

2、 (x) 恒成立af (x) min； af (x)恒成立 af ( x)max.（ 3）若已知恒成立，则可充分利用条件（赋值法等）.范例选讲例 1：已知不等式2x2 9 x m 0 在区间 2,3 上恒成立，求实数 m地取值范围 .【分析】有哪些方法？答案：(,9例 2：已知关于 x 地方程 4x2 6xa 9x0恒有解，求实数a 地取值范围 .【分析】做代换后变量地范围发生了什么变化？例 3、（ 03 广东江苏）解： (II). 用 f(x) max、 f(x)min 表示 f(x) 在 0,1 上地最大值、最小值，则对任意x 0,1,都有|f(x)| 1 当且仅当f (x) max1（

3、* ）而 f(x)=-b(x a )2 + a 2，（ x 0,1）当 2ba 时，f (x) min12b4b0<a1 ，f(x) max =2，f(x) min =f(0) 或2ba4bb 1且 2b a于是(*)a21或4bf (0)01f (1)ab1f(1)；当 2b<a 时， a >1, f(x) max = f(1) ，f(x) min =f(0) ，2 bb1且 2baa2b 或f(1)ab-1b 1f(0 )01xyxyxb-1 a 2b .RTCrpUDGiT 2x yx 2 ycx 2y 2x y例 4：是否存在常数c，使得不等式对任意正数 x,y 恒成

4、立？试证明你地结论 .5PCzVD7HxA1 / 6个人收集整理仅供参考学习训练题1(2002 年全国高中数学联赛第12 题 )求使不等式 sin2xacosx a21 cosx 对一切 x R恒成立地负数 a 地取值范围 .jLBHrnAILg1 2 x(n 1) xa n x2.若 f(x) 当2 (1990 年全国高考题 )设 f(x)=lgn,a R, n N 且 nx (- ,1有意义，求 a 地取值范围 .xHAQX74J0X2xa3（福建 04）已知 f(x)=(xR)在区间 1， 1上是增函数 .x22（）求实数a 地值组成地集合 A ；（）设关于x 地方程 f(x)= 1 地

5、两个非零实根为x1、 x2.试问：是否存在实数m，使得2xm 地取值范围；不等式 m +tm+1 |x1 x2 |对任意 a A 及 t 1，1恒成立？若存在，求若不存在，请说明理由.LDAYtRyKfE4设 f ( x)ax2bxc，若 f (1)7,问是否存在 a,b, c R, 使得不等式 Zzz6ZB2Ltk2x 21f ( x)2x 22x3对一切实数 x 都成立，证明你地结论 .222 / 6个人收集整理仅供参考学习习题答案详解练习 1解：原不等即 cos 2x（ 1 a） cosxa20 (*)令 cosx=t，由 xR 知 t-1， 1，于是 (*) 对一切 xR 恒成立当且仅

6、当f(t)=t 2 （ 1 a） t a 20(*) 对一切 t-1， 1恒成立，其充要条件f(t) 在-1 ，1上地最大值 f(t)max0,而 f(t)max = f(1) 或 f(-1)，因此 (*) 对一切 t-1，1恒成立当且 dvzfvkwMI1a 0a 0f (1)1 1 aa 20a2或 a 1a-2f ( 1) 1 (1 a) a 20a 0或 a 1故所求地 a 地范围为 (-,-2.练习 2、解： f(x) 当 x(-,1有意义，当且仅当 1 2 x (n-1) x n x >0对 x (- ,1恒成立 .即 rqyn14ZNXIg(x)= ( 1) x ( 2 )

7、 x ( n1) x a>0，对 x(-,1恒成立，而 g(x) 在(-,1上是减函数，nnn其最小值为 g(1)=1 2 n1 a= 1(n 1) a.EmxvxOtOconnn2于是 g(x) >0 对 x(-,1恒成立当且仅当n1 a>0，即 a> 1 n .故所求 a 地范围为（ 1n ， +222）.42ax2x2=2( x2ax2)，练习 3、解：（） f(x)=(x 22) 2( x22)2 f(x)在 1， 1上是增函数， f(x) 0 对 x 1， 1恒成立，即 x2 ax 2 0 对 x 1， 1恒成立 .设 (x)=x2 ax2，方法一：(1) 1

8、 a 2 0(1)1a201 a 1，对 x 1， 1， f(x) 是连续函数，且只有当a=1 时， f (-1)=0 以及当 a=1 时， f(1) =0SixE2yXPq5 A= a|1 a 1.方法二：a0a2或01)1a222 0(0(1) 1 a3 / 6个人收集整理仅供参考学习0 a 1或 1 a 0 1 a 1.对 x 1， 1， f(x) 是连续函数，且只有当a=1 时， f ( 1)=0 以及当 a=-1 时 ，f(1)=0 6ewMyirQFL A= a|1 a 1.（）由 2 xa=1，得 x2 ax 2=0 ， =a2+8>0x22x x1， x2 是方程 x2

9、ax 2=0 地两非零实根， x1 +x2=a， x1x2=2，从而 |x1 x2|= ( x1 x2 ) 24x1 x2 = a 28 . 1 a 1， |x1-x2|=a28 3.要使不等式m2+tm+1 |x1 x2|对任意 a A 及 t 1， 1恒成立，当且仅当 m2+tm+1 3 对任意 t 1，1 恒成立，即 m2+tm 2 0 对任意 t 1， 1恒成立 .设 g(t) =m2+tm 2=mt+(m 2 2)，方法一：g( 1)=m2 m2 0， g(1)=m2+m 2 0，m 2 或 m 2.所以，存在实数m，使不等式 m2 +tm+1 |x1 x2|对任意 a A 及 t

10、1，1恒成立，其取值范围是 m|m 2，或 m 2. kavU42VRUs方法二：当 m=0 时，显然不成立；当 m 0 时，m>0， g( 1)=m2 m 2 0或 m<0， g(1)=m 2+m 2 0m 2 或 m 2.所以，存在实数m，使不等式 m2+tm+1 |x1 x2|对任意 a A 及 t -1， 1恒成立，其取值范围是 m|m 2，或 m 2. y6v3ALoS89练习 4：提示 假设存在，赋值法找到尽可能多地关系.f (1)abc72f ( 1)abc321c3f ( 0)22从而得到b=1,c=2.5-a等，然后用 a 表示 f(x)再利用恒成立求 a.4 /

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