FIR的设计解读

1、第三章第三章 FIR FIR 数字滤波器设计数字滤波器设计 3.1 FIR DF 3.1 FIR DF 的线性相位特征的线性相位特征 3.2 FIR DF 3.2 FIR DF 设计的窗函数法设计的窗函数法 3.3 3.3 频率抽样法频率抽样法 1. 1.线性相位线性相位 H(e)?H(e) e|H(e)|j? ?j?j?j?(?)幅频响应幅频响应 相频响应相频响应 线性相位线性相位 ? ?(? ?)如果：如果： ?(?)? ?k?若若: ?(?)?k?也称线性相位也称线性相位 例：例： x(n)h(n) ? ?|H(ej? ?y(n)|ej? ?(? ?)输出输出： Y(ej? ?)? ?H

2、(ej? ?)X(ej? ?)X(ej? ?)若：若： |H(e)|? ?1 ,j? ? ?(? ?)? ? ? ?k? ?j? ? ?jk? ?线性相位线性相位 则则： Y(e)? ?X(e)ey(n)?x(n?k)j? ?输出是输入的简单移位，移位的大小正比于输出是输入的简单移位，移位的大小正比于 k因此不会发生失真。因此不会发生失真。 例例1： x(n)?cos(?0n)?cos(2?0n)则：则： y1(n)?cos(?0(n?k)?cos(2?0(n?k)没有发生相位失真没有发生相位失真 例2： x(n)?cos(?0n)?cos(2?0n)?/40?3?0/2若： ?(?)?3?/

3、2?0?则： y2(n)?cos(?0n?/4)?cos(2?0n?)发生了相位失真发生了相位失真 2x(n)0-2-10201020y1(n)0-2-10201020y2(n)0-2-1001020 如果系统的相频响应如果系统的相频响应不是线性的不是线性的，那么系统的输出将不再是输入信号作线那么系统的输出将不再是输入信号作线性移位后的组合，因此，性移位后的组合，因此，输出将发生失输出将发生失真。真。 定义：定义： ? ?g(? ?)? ? ? ?d? ?(? ?)为系统的群延迟为系统的群延迟d? ?(Group Delay, GD) 若系统具有线性相位，则其若系统具有线性相位，则其GD为常数

4、为常数。 2 FIR DF2 FIR DF的线性相位条件的线性相位条件 在绝大部分信号处理的场合，人在绝大部分信号处理的场合，人们都期盼系统具有线性相位，但是，们都期盼系统具有线性相位，但是，如何实现线性相位？如何实现线性相位？ 对对 FIR FIR 系统，如果保证：系统，如果保证： 则该系统具有线性相位。则该系统具有线性相位。 第一类线性相位条件第一类线性相位条件 偶对称偶对称 第二类线性相位条件第二类线性相位条件 奇对称奇对称 证明 线性相位线性相位 H(e)?H(e) ej?j?j?(?)幅频响应幅频响应 相频响应相频响应 如果：如果： ?(?)? ?k?若若: ? ?(? ?)? ?

5、? ?k? ? ? ?线性相位线性相位 也称线性相位也称线性相位 h(n)? ?h(N? ?1? ?n)偶对称偶对称 h(n)? ? ? ?h(N? ?1? ?n)奇对称奇对称 N奇奇数数 N偶偶数数 h(n)=h(N-1-n) 1. N为奇数为奇数 H(e )?h(n)ej?N?1n?0?j?n?N?1?j?2?(N?1)?12N?1?n?0h(n)e?j?n?令： m?N?1?nH(e )?j?N?1?12n?0(N?1)n?12?h(n)e?j?nN?1?h()e2?h(n)e?j?n?N?1?12m?0h(m)?j(N?1?m )?h(N?1?m )eN?1?j()?2N?1?h()e

6、2j?H(e )的对称性，有 利用 H(e )?j?N?1?12m?0?h(m )e?j?m?e?j(N?1?m )?N?1?h()e2N?1j?(?m)2N?1?j()?2?eN?1?1N?12?j?2m?0?h(m )e?eN?1?j?(?m)2N?1?h()2N?1?1N?12?j?N?1N?12?e?2 h(n)cos?(?m )?h()22m?0j?H(?)增益增益 (Amplitude) 与幅度与幅度 (|H(e)|Magnitude) H(?)可正可负可正可负， |H(e)|总为正总为正 j?例：例： h(n)?1 ,1 ,1 H(e)?1?2cos?e增益增益 H(?)?1?2

7、cos?j?j?(?)? ?,j?j?幅度幅度 |H(e)|?|1?2cos?|0?2?/3?,H(e)?,2?/3?H(?)?1?2cos?|H(e)|?|1?2cos?|0?2?/3?,H(e)?,2?/3?j?j?(?)? ?,?eN?1?1N?12?j?2?m?0N?1N?12 h(n)cos?(?m )?h()22N?1N?1?2 h(?n)cos?n?h()22n?12N?1?m令： n?2N?1H(e )?e令令： j?N?1?j?2?N?1h()?2a(n)?N?1?2h(?n)?2j?j(N?1)?/2n?0n?1, 2, ,(N?1)2p197 (N?1)2H(e )?e?

8、n?0a(n)cos(?n)H(e )?ej?j(N?1)?/2(N?1)2?n?0a(n)cos(?n)p197 ?(?)? ?(N?1)?2(N?1)2相位 增益 Hg(?)?n?0a(n)cos(?n)Hg?Hg?2? ? ? 所以，只要保证滤波器的系数偶对称，所以，只要保证滤波器的系数偶对称，该滤波器必然具有线性相位。该滤波器必然具有线性相位。 2. N为偶数为偶数 H(e )?ej?j(N?1)?/2N12h(?n)cos(n?)?22n?1n?1, 2,N 2N 2令： b(n)?2h(N?n),2N,2则： H(e )?ej?j(N?1)?/21b(n)cos(n?)?2n?1H

9、g? ?Hg?2? ? ?第二类线性相位条件第二类线性相位条件 3. N为奇数为奇数 H(e )?ej?N?1?(N?1)2j?22?n?1c(n)sin(?n)N?1c(n)?2 h(?n)2n?1, 2, ,(N?1)2?(?)? ?(N ?1)?/2?/24. N为偶数为偶数 H(e )?ej?N?1? N 2j?22?1?d(n)sin?(n?)?2?n?1n?1, 2, ,N 2Nd(n)?2h(?n)2?(?)? ?(N ?1)?/2?/2请掌握四种情况下线性相位表达式的推导方法。 说明：说明： 第一类第一类 FIR 系统是系统是 cos(?n)? 0时，时， H(e )易取得最大

10、易取得最大 的线性组合，在的线性组合，在 j?值，因此这一类滤波器易体现低通特性，且是值，因此这一类滤波器易体现低通特性，且是 偶函数。通过频率移位，又可体现高通、带通、偶函数。通过频率移位，又可体现高通、带通、 带阻特性。所以，经典的低通、高通、带通和带阻特性。所以，经典的低通、高通、带通和 h(n)都是偶对称的。都是偶对称的。 带阻滤波器的带阻滤波器的 第二类第二类 FIR 系统是系统是 sin(?n)? 0时，时，H(e )的值为零，且的值为零，且 的线性组合，在的线性组合，在 j?是奇函数。这一类滤波器都是作为特殊形式的是奇函数。这一类滤波器都是作为特殊形式的 滤波器，如滤波器，如 H

11、ilbert变换器、差分器等。变换器、差分器等。 例：四类FIR滤波器的增益 FIR_Type I , FIR_Type II FIR_Type III ,FIR_Type IV P199, Tab. 7.1.1 FIR_Type I Impulse Response1052010, N: odd FIR Type I Amplitudeh(n)0-505na(n) coefficents10Hr0-10-2000.511.5Frequency(pi)21051Imaginary Part0.50-0.5-110a(n)0-505n10-10Real Part1FIR_Type II Impu

12、lse Response4010205, N: even FIR Type II Amplitudeh(n)0-505nb(n) coefficents1010Hr0-20-4000.511.5Frequency(pi)21Imaginary Part50.50-0.5-111b(n)0-505n10-10Real Part1FIR_Type III Impulse Response1054020, N: odd FIR Type III Amplitudeh(n)0-505nc(n) coefficents10Hr0-20-4000.511.5Frequency(pi)2101Imagina

13、ry Part50.50-0.5-110c(n)0-505n10-10Real Part1FIR_Type IV Impulse Response3010205, N: even FIR Type VI Amplitudeh(n)0-505nd(n) coefficents1010Hr100-1000.511.5Frequency(pi)21Imaginary Part50.50-0.5-1-10Real Part111d(n)0-505n10h(n)=h(N-1-n) N为奇数为奇数 线性相位线性相位 (N?1) 2H(e)?ej?j(N?1)?/2?n?0a(n)cos(?n)相位 增益

14、?(?)? ?(N?1)?2(N?1)2Hg(?)?n?0a(n)cos(?n)Hg?Hg?2? ? ?Hd(ej?)11hd(n)? ?2? ?2? ? ? ? ?Hd(e)ej? ?hd(n)j? ?nd? ?2?c?csin? ?cnhd(n)? ? ?n1j? ?|H(e)|? ?|Hd(e)|*|2? ?j? ?sin? ?(N)? ?22h1(n)? ?hd(n)? ?M(n)|sin窗函数窗函数: 主瓣宽度主瓣宽度 旁瓣最大峰值旁瓣最大峰值 越小越好越小越好 1j? ?|H(e)|? ?|Hd(e)|*|2? ?j? ?越小越好越小越好！sin? ?(N)? ?22|sin为了省

15、去每次的移位，事先给一线性相位为了省去每次的移位，事先给一线性相位 即即 ? ?ej? ?Hd(e)? ? ? ?0? ?c? ?j? ?M 20?c?c?e? ?jM? ?2于是： 1hd(n)? ?2? ? ? ? ?ej? ?ncsin(n? ?M 2)? ?cd? ? ? ?(n? ?M 2)h(n)? ?hd(n)? ?M(n)n? 0,1,.M使用窗 H(z)的思路可推广到的思路可推广到高通高通、 上述设计上述设计 带阻带阻及及带通带通滤波器，也可推广到其它特殊类滤波器，也可推广到其它特殊类j? ?型的滤波器。实际上，给定一个型的滤波器。实际上，给定一个 Hd(e) ，hd(n)，

16、即可由截短、移位，即可由截短、移位只要能积分得到只要能积分得到 的方法得到因果的、且具有线性相位的的方法得到因果的、且具有线性相位的FIR滤滤H(z)。 波器波器 高通高通： ?ej?H (e )?d令： ?0?j?M 2?c?0 ?csin( n?M 2)?sin( n?M 2)?chd(n)?(n?M 2)?处的低通滤波器减去一个截止处的低通滤波器减去一个截止相当于用一个截止频率在相当于用一个截止频率在 频率在频率在 ?c处的低通滤波器。处的低通滤波器。 ?e?l?hj?带通带通： Hd(e )?0其它?令： sin( n?M 2)?h?sin( n?M 2)?lhd(n)?(n?M 2)

17、?j?M 2相当于用一个截止频率在相当于用一个截止频率在? c2处的低通滤波器减去一个截止处的低通滤波器减去一个截止?c1处的低通滤波器。处的低通滤波器。 频率在频率在 带阻带阻 ?e令令： Hd(e )?0j?j?M 2?l,?h其它 三、三、 FIR DF 窗函数法设计的步骤：窗函数法设计的步骤： 1. 根据技术要求确定待求滤波器的单位取样根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应响应 1? ?j? ?j? ?nhd(n)? ?H (e)ed? ?d? ? ? ?2? ? 2.根据阻带衰减要求查表，选窗类型根据阻带衰减要求查表，选窗类型 3.根据过渡带计算滤波器阶数根据过渡带计算滤波器阶数N

18、 确定窗函数确定窗函数 ? ?(n)4. h(n)? ?hd(n)? ?(n)N? ?1n? ?0? ? ? ?A/ N? ?nH(z)? ? ?h(n)zFIR DF 阶数阶数N越大，越大， 阻带衰减也越大。阻带衰减也越大。 FIR DF 阶数阶数N越大，越大， 过渡带越小。过渡带越小。 ? 例：低通：例：低通： FIRLPHam.m 高通：高通： FIRHPHam.m 带通：带通：FIRBPHam.m function hd=ideal_lp(wc,M) function dB,w=freqz_m(b,a) 上一节的窗函数法是指定连续的理想上一节的窗函数法是指定连续的理想j?Hd(e )，

19、然后用积分的方法求出，然后用积分的方法求出频率响应频率响应 理想滤波器的单位抽样响应理想滤波器的单位抽样响应 hd(n)，再将，再将其移位、截短，得到因果的、具有线性相其移位、截短，得到因果的、具有线性相H(z)。 位的位的 FIR DF Hd(e )进行采样，进行采样， 对连续的理想频率响应对连续的理想频率响应 Hd(k)，再求，再求IDFT得到得到 得到离散的频率响应得到离散的频率响应 j?hd(n)一、基本思路一、基本思路H: : ?2?d( ej?)1频率频率 ?2?采样采样 ?c?c?1Hd(k)?得：得： ?0N?1forpassband kforstopbandk1j2?nk/N

20、h(n)?Hd(k)eNk?0滤波器就设计出来滤波器就设计出来 如何实现线性相位？ Hd(e )? ?Hg(e )eN: odd Hg(e)? ?j? ?(N? ?1)/2n? ?0j? ?j? ?j? ?(? ?)(N ? ?1 )? ?偶对称偶对称 h(n)? ?h(N? ?1? ?n)? ?(? ?)? ? ? ?2N:even 1Hg(e )? ? ?b(n)cos? ?(n? ?)2n? ?0j? ?N/2? ?a(n)cos(? ?n)Hg?Hg?2? ? ?Hg? ?Hg?2? ? ?FIR_Type I Hg?Hg?2? ? ?2010, N: odd Impulse Resp

21、onse105FIR Type I Amplitudeh(n)0-505na(n) coefficents10Hr0-10-2000.511.5Frequency(pi)21051Imaginary Part0.50-0.5-110a(n)0-505n10-10Real Part1FIR_Type II Impulse Response4010205, N: even Hg? ?Hg?2? ? ?FIR Type II Amplitudeh(n)0-505nb(n) coefficents1010Hr0-20-4000.511.5Frequency(pi)21Imaginary Part50.

22、50-0.5-111b(n)0-505n10-10Real Part1二、线性相位对二、线性相位对H(k)H(k)的约束条件的约束条件 H(k)? ?Hd(e)|j? ?2? ? ? ?kN? ?Hg(e)ej? ?j? ?(? ?)|2? ? ? ?kNN? ?12? ?N? ?1? ?(k)? ? ? ?k? ? ? ? ?k2NNHg(k)? ?Hg(e)|N: odd N:even j? ?2? ? ? ?kNHg(k)? ?Hg(N? ?k)Hg(k)? ? ? ?Hg(N? ?k)?1 ,?j?Hd(e)?0 ,?|?|?4FIRLPSampling.m ?4?用频率采样法设计该滤波器，要求具有线性用频率采样法设计该滤波器，要求具有线性相位。滤波器系数的长度为相位。滤波器系数的长度为N N29 Sampling,M=2910.8)k0.6(Hr0.40.2000.51frequency(pi)1w)Hr(0.5000.51frequency(pi)0.3Impulse response0.2)h(n0