人教版 九年级上册 新初三暑假衔接课程 圆 第三课时 导学案 含习题和答案

1、.新初三暑假数学衔接导学案1.5 点和圆的位置关系问题引入问题1 我国射击运动员许海峰是中国奥运会历史上的首枚金牌得主，打破了中国奥运史上金牌“零”的纪录，为祖国赢得了荣誉。你知道射击靶是如何构成的吗？如图，是射击靶示意图，它是由许多同心圆构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？探究新知问题2 观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外，即点与圆的位置关系有三种：点在圆内；点在圆上；点在圆外。问题3 在纸上画一个圆，再在圆上任取一点，该点到圆心的距离有何特点？如果在圆外取一点呢？圆内呢？结论：圆上的点到圆心的距离都等于半径；圆外的点到圆心的距离大于半

2、径；圆内的点到圆心的距离小于半径。设O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外 d>r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d<r。问题4 （1）如图，作经过已知点A的圆，这样的圆你能作出多少个？（2）如图作经过已知点A、B的圆，这样的圆你能作出多少个？他们的圆心分布有什么特点？（3）经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？分别连接AB、BC、AC；分别作出线段AB的垂直平分线和，设他们的交点为O ，则OA=OB=OC；以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可以作出经过A、B、C的圆。由于过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的

3、圆只能有一个，即：不在同一条直线上的三点确定一个圆。经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。问题5 经过同一条直线上的三个点能不能作出一个圆？证明：（反证法）如图，假设过同一直线l上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，即点P为与的交点，而，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。所以，过同一直线上的三点不能作圆。应用新知例1：某地出土一古代残破圆形瓷盘，如图所示。为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和

4、圆规画出瓷盘的圆心。分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，且圆心到圆上任意一点的距离都等于圆的半径，所以圆心在弦的垂直平分线上。因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是该圆的圆心。例2：如图在RtABC中，BC=3，AC=4，以B为圆心。以BC为半径做B。问点A、C及AB、AC的中点D、E与B有怎样的位置关系？巩固新知练习1 已知圆的半径等于5厘米，A、B、C三点到圆心的距离分别为8厘米、4厘米、5厘米，请你说一说各点与圆的位置关系。练习2 矩形ABCD中，AB6，AD8，以点 A为圆心作圆，如果B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半

5、径r的取值范围是多少？练习3 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？O为外接圆的圆心，即外心。锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部。练习4 某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上以下设计过程中画图工具不限（1）按圆形设计，利用图（1）画出你所设计的圆形花坛示意图；（2）按平行四边形设计，利用图（2）画出你所设计的平行四边形花坛示意图；（3）若想新

6、建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适?请说明理由1.6 直线和圆的位置关系问题引入问题1 唐朝诗人王维在使至塞上写道：单车欲问边，属国过居延。征蓬出汉塞，归雁入胡天。大漠孤烟直，长河落日圆。萧关逢候骑，都护在燕然。其中第三句后半部分“长河落日圆”描写的是“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”。如果从数学的角度来分析，把黄河当作一直线，太阳当作一个圆，如何用几何图形来刻画这个落日的过程呢？请同学们动手画一画。探究新知问题2 从问题1落日的画图过程中，你能总结出直线和圆有哪几种位置关系吗？直线和圆有三种位置关系，如下图：追问1：以上三种情况中，直线和圆分别有几个交点？当直线与圆有两个公共点时，称之为

7、直线和圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，称之为直线与圆相切；当直线与圆没有公共点时，称之为直线和圆相离。追问2：你能根据点和圆的位置关系，类似得出直线和圆的三种位置关系中到直线的距离d和半径r之间的大小关系吗？设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，dr；当直线与圆相切时，dr；当直线与圆相离时，dr。因此可以用d与r间的大小关系来判断直线与圆的位置关系问题4 如图，在O中，经过半径OA的外端点A作直线，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和O有什么关系？可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是O的半径，直线l就是O的切线。这样，我们得到了切线的判定定理：经过半径的外端并且垂

8、直于这条半径的直线是圆的切线。追问1：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是O的切线，应该如何证明？两步：（1）这条直线经过圆上的一点；（2）过这点的半径垂直于这条直线。追问2：反之，如果知道一条直线是圆的切线，那么它是否垂直于经过切点的半径呢？假设OA与l不垂直，过点O作，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM<OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，于是直线l与圆相交，而这与直线l是O的切线矛盾。因此，半径OA与直线垂直。因此，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。问题5 在你手中的纸上画出O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与

9、点A重合的点为B，这时，OB是O的一条半径吗？PB是O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长（这点与切点之间的线段长）相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。问题6 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使载下来的圆与三角形的三条边都相切？与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。应用新知例1：已知RtABC的斜边AB8，AC4。（1）以点C为圆心作圆，当半径为多

10、长时，AB与C相切？（2）以点C为圆心，分别以2和4的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？分析：根据d与r间的数量关系可知：dr时，相切；dr时，相交；dr时，相离。例2：如下图，AB是O的直径，ABT45°，ATAB。求证：AT是O的切线。分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知ATAB，所以ABTATB，又由ABT45°，所以ATB45°。由三角形内角和可证TAB90°，即ATAB。例3：如图，ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切与点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD，

11、CE的长。解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x，由BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14，解得x=4。因此AF=4，BD=5，CE=9。巩固新知练习1 在RtABC中，C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2。4cm； （3）r=3cm。练习2 已知A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与A的位置关系是 ， y轴与A的位置关系是 。练习3 已知AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是O的切线

12、。分析：要证DC是O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出34，又因为ODOB，OC为公共边，因此CDOCBO，所以ODCOBC90°。练习4 如图，已知O是ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3。求内切圆的半径r。解：O是ABC的内切圆，切点为D、E、F，AF=AE，EC=CD，DB=BF，AE=2，CD=1，BF=3，AF=2，EC=1，BD=3，AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，ABC是直角三角形，内切圆的半径r=3+4-52=1知识小结本节课学到那些知识？发现了什么

13、？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？1、点和圆的位置关系；2、不在同一直线上的三个点确定一个圆；3、三角形外接圆和三角形外心的概念；4、反证法的证明原理。5、直线和圆相交、相切、相离等概念。6、设O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：直线L和O相交 d<r；直线L和O相切 d=r；直线L和O相离 d>r；7、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；8、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；9、圆的切线长概念及定理；10、三角形的内切圆及内心的概念。习题1.3 点、直线与圆的位置关系A组1（2019重庆一中）如图，AB是圆O的直径，点D在AB

14、的延长线上，射线DC切圆D于点C，若A= 25°，则D等于 ( )A60° B50° C40° D45°【答案】C2（2019重庆一中）如图，PA和PB是O的切线，点A和B是切点，AC是O的直径，已知P=50°，则 ACB的大小是 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75°【答案】B3（2019西大附中）如图，P是O外一点，PA 、PB是O 的切线，APB= 50°，点C在O上，则ACB=( ) A.50° B.65° C.75° D.130&

15、#176; 【答案】B4（2019重庆南开）如图，已知PA、PB是O的切线，A、B为切点AC是O的直径P= 40°，则BAC的大小是 ( )A70° B40° C50° D20°【答案】D 5如图，RtABC的内切圆O与两直角边AB、BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为 ( )A.r B. C.2r D.【答案】C6（2019盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少

16、有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 【答案】3<r<57（2019镇江）如图，AB是O的直径，OA =1,AC是O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D若BD=-1，则ACD= 【答案】112.5°8（2019哈尔滨）如图，AB为O的直径，直线l与O相切于点CADl垂足为D,AD交O于点E，连接OC、BE若AE=6，OA =5，则线段DC的长为 【答案】49（2019泰安）如图，半径为3的O与RtAOB的斜边AB切于点D，交OB于点C连接CD交直线OA于点E若B= 30°，则线段AE的长为 【答案】B组10（2019荆州）如图，过O外一点P引

17、O 的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交O于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接 AD、CD，若APB= 80°，则ADC的度数是( ) A15° B20° C25° D30°【答案】C（提示：根据切线的性质，连接OA、OB易得AOB =100°由切线长定理可得PA =PB，POBPOA.则AOP=50°，ADC=25°）11（2019常州）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1， 半圆O2,，半圆On与直线y=相切，设半圆O1， 半圆O2,，半圆On的半径分别是r1，r2，rn，则当

18、r1 =1时，r2019= 【答案】32019（提示：根据一次函数解析式易得直线与x轴的夹角为30°分别连接圆心与相应切点，构造直角三角形根据30°角所对的直角边等于斜边一半，可依次求出半径依次为1，3，9-找规律即可得到答案）12（2019攀枝花）如图，ABC中，C = 90°,AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的O 和AB、BC均相切，则OO的半径为 【答案】13如图，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径

19、的圆上?并说明理由解：（1）证明：AD为直径，ADBCBD=CD（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上理由：由（1）知：BD=CDBAD=CBDDBE=CBD+CBE，DEB=BAD+ABECBE=ABEDBE=DEBBD=DE由（1）知：BD=CDDB=DE=DCB，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上14. 如图，在直角梯形ABCD中，AB90°，AD/BC，E为AB上的一点，DE平分ADC，CE平分BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的关系？15. 已知：如图，ABC中，ABAC，以AB为直径作O交BC于D，DEAC于E。求证：DE是O的切线。16.如图，已知点C在O上，延长直径AB到点P，连结PC，COB2PCB。（1）求证：PC是O的切线；（2）若ACPC，且PB3，M是O下半圆弧的中点，求MA的长。17.如图，在中，以AB为直径的交BC于点D，DEAC于点E。（1）求证：DE是的切线；（2）若BAC1