排列组合的主要题型及解答方法

1、一、相邻问题捆绑法例 16 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 （） 种A. 720 B. 360 C. 240 D. 120解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余 四人进行全排 列有'种排法；甲、乙两人之间有；种排法。由分步计数原理可知，共有二 =240 种不同排法，选 C 。评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素 相邻的问题 时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。二、相离问题插空法例 2 要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞 蹈节目不得相邻，有多少不同的排法 ?（只要求

2、写出式子，不必计算 ）解：先将 6个歌唱节目排好，其不同的排法为种;这 6个歌唱节目的空隙 及两端共 7个位置中再排 4 个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知， 任何两个舞蹈节目不得相邻的 排法为 '? ：种。评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻， 由其它 元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。三、定序问题缩倍法例 3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有 3 面红旗、 2 面白旗，把这 5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 （用数字作答 ）。解：5 面旗全排列有种挂法，由

3、于 3面红旗与 2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10 (种)。评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。 这类 问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。四、标号排位问题分步法例 4 同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送 来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有 () 种A. 6 种 B. 9 种 C. 11 种 D. 23 种解：此题可以看成是将数字 1, 2， 3， 4 填入标号为 1, 2, 3, 4 的四个方格 里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将 1 填入 2 至 4 号的 3 个

4、方格里有 种填法 ;第二步把被填入方格的对应数字， 填入 其它 3 个方 格，又有种填法 ；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有 1 种填法。故共有 3X 3X1=9 种填法，而选 B。评注：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。 求解这类问题可先 把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。五、有序分配问题逐分法例 5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由 2 人承担，乙、丙各需由 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有 () 种A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040解：先从 10 人中选出 2 人承担甲

5、项任务，再从剩下 8 人中选 1 人承担乙项 任务，最后 从剩下 7 人中选 1 人承担丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有 ? =2520种，故选 C 。评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组， 常采用逐步下量分组法 求解。六、多元问题分类法例 6 由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字字的共有 （）A. 210 个 B. 300 个 C. 464 个 D. 600 个解：按题意个位数只可能是 0, 1, 2, 3, 4 共 5 种情况，符合题意的分别有 吃' 直沁 ; A； ，A 扭期 直; ，臺; 星个。合并总工有+上； =300

6、（个），故选 B。评注：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情最后总计。另解：先排首位，不用 0，有二种方法 ； 再同时排个位和十位，由于个位数 数字，即顺序固定，故有- 种方法 ； 最后排剩余三个位置，有种排法。故共有符合要求的六位数=300 （个）。七、交叉问题集合法例 7 从 6 名运动员中选出 4 名参加 4 X 100 米接力赛，如果甲不跑第一棒 棒，共有多少种不同的参赛方法 ？解：设全集U= 6人中任取4人参赛的排列, A= 甲跑第一棒的排列第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有小于十位数况分别计算，字小于十位乙不跑第四, B= 乙 跑=252

7、(种)cafd(LI) - card(AJ - card(B ) 4 card(An E) =：A - 直 ;_ 鸯斗直 ：评注：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式来求解card( 盘)+ card(3)- card(A C1B)八、定位问题优限法成一行陈列，例 8 计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，排 要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不 同的陈列方式有 （）A.且 4%B.出旦 4 且 5 c.55fD.电"AA5解 : 先把 3 种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，则

8、油画与国画有 种放法。再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。故 总的排列的方法 为 * 种，故选 D。评注：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置 ）在解题时优先考虑。九、多排问题单排法例 9 两排座位，第一排有 3 个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学生入座 （ 每 人一座 位 ） ，则不同的坐法种数为 （）A.CfVB.為戌雳C.D.朋解：此题分两排坐，实质上就是 8 个人坐在 8 个座位上，故有 ' ：: 种坐法， 所以选 Dt 评注：把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑。十、至少问题间接法例 10 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要

9、甲型与乙 型电视机各 一台，则不同的取法共有 （） 种A. 140 B. 80 C. 70 D. 35解析：在被取出的 3 台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意， 故符合题意的取法有， -=70 种，选 Co评注：含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法。本题所用的 解法是间接 法，即排除法 （ 总体去杂 ），适用于反面情况明确且易于计算的情况。十一、选排问题先取后排法例 11 四个不同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的四个盒子中，则恰有一个 空盒的放法共有 种（用数字作答）。解：先从四个小球中取两个放在一起， 打种不同的取法；再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆

10、，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有 ' 种不 144同的放法。依据分步计数原理，共有1种不同的方法。评注：这是一道排列组合的混合应用题目，这类问题的一般解法是先取（组合）后排（排列）。本题正确求解的关键是把四个小球中的两个视为一个整体，如果考虑不周，就会出现重复和遗漏的错误。十二、部分符合条件淘汰法例 12 四面体的顶点及各棱中点共有 10 个点，在其中取 4 个不共面的点， 不同的取法共有（）A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种解： 10个点中取 4个点共有 二种取法，其中同一侧面内的 6个点中任取 4 个点必共面， 这样的面共有 4个;又同一条棱上的 3 个点与对棱的中点也四点共 面，共有 6个面；再各棱中 点共 6个点中，取四点共面的平面有 3个。故符合条 件 4个点不共面的取法共有 - - ' - =141（种），故选 D。评