高等数学9-1第一类曲线积分

1、期中考试时间期中考试时间:5月月5日日良乡良乡2 2良乡良乡2-2-A206A20690900811110308111103、0811110408111104、0811110508111105良乡良乡2 2良乡良乡2-2-A202A20260600811110608111106、08111107081111072224DIRxy dxdyI 2cos222204RdRr rdr32222cos2021(4) |3RRrd采用极坐标采用极坐标222:()DxRyRxyoR266321( 64sin8)3RRd 2）截面法（先二后一）截面法（先二后一）21( , )( , )( , , )( ,

2、, )zx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy ;,)1型型的的恰恰是是型型的的不不是是积积分分区区域域zxy 1）投影法（先一后二）投影法（先一后二）二二. . 利用利用直角坐标直角坐标计算三重积分计算三重积分21( , )( , )zccDfx y z dvdzfx y z dxdy.dd),(,)2易易于于计计算算时时或或的的函函数数时时表表达达为为的的面面积积容容易易且且无无关关被被积积函函数数与与 zDzyxzyxfzDxy柱坐标系下三重积分的计算柱坐标系下三重积分的计算由柱面与直角坐标的关系由柱面与直角坐标的关系cossin(0,02 ,)x ry rr

3、zzz 有有( , , )( cos , sin , )f x y z dvfrdrdrdrzz 体积元素体积元素由球面坐标与直角坐标的关系：由球面坐标与直角坐标的关系：sincos0sinsin,0cos02xrryrzr 2( , , )( , ,s)inf x y z dvF rrdrd d三重积分在球面坐标系下的形式：三重积分在球面坐标系下的形式：体积元素体积元素其中其中( , , )( sin cos , sin sin , cos )F rf rrr 球坐标系下三重积分的计算球坐标系下三重积分的计算教材：教材：P200P200页页 1313题题zxyozDh注意圆锥体的方程为：注意

4、圆锥体的方程为：22cot (0)zxyz h 而不是而不是：22 (0)zxyzh解法解法1: 截面法截面法0 yxFF zF222 3 2dVzGVxyz0dhGz z2tan223 200ddzr rrz32222ddzDxyxyz0dhGz z2222:tanzDxyz利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量21 cosG hzxyozDh解法解法2: 采用球坐标采用球坐标0 yxFF zF222 3 2dVzGVxyzsec3300cossinddhrrr20dG利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量21 cosG hzxyozDh轮换对称性：轮换对称性： 积分区域积分区域重申：重

5、申：02222zyxazyx 利用轮换对称性 , 有szsysxddd222dddxsyszs第九章第九章积分学 定积分 二重积分 三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分 1、问题的提出、问题的提出 2、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的概念 3、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算 4、几何意义与物理意义、几何意义与物理意义一、问题的提出一、问题的提出

6、实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段

7、个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 思考思考 (2) 定积

8、分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.(1)当积分路径当积分路径L为为X正轴正轴上的直线段时，曲线积分就相上的直线段时，曲线积分就相当于定积分当于定积分?2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 说

9、明：说明：1.( , )( , ).Lf x yLf x y ds函数在闭曲线 上对弧长的曲线积分记为2. 若在若在 L 上上 f (x, y,z)1, 则则 dLl01limniill3. 当积分曲线当积分曲线 L 的方向改变时，积分值不变的方向改变时，积分值不变, 即即AB( , , )f x y z dl ( , , )f x y z dlBA4.性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL (4

10、)当积分曲线当积分曲线L具有对称性，具有对称性，且被积函数具有奇偶性时，且被积函数具有奇偶性时，第一类曲线积分与重积分有相同的第一类曲线积分与重积分有相同的对称性质对称性质.对称性质：对称性质：当当L为平面曲线时为平面曲线时（1）若）若Lx对称于 轴, ( , )f x yy为 的奇函数， 则( , )0Lf x y dl 若若Ly对称于 轴, ( , )f x yx为 的奇函数， 则( , )0Lf x y dl （2）若）若Lx对称于 轴, ( , )f x yy为 的偶函数， 则1( , )2( , )LLf x y dlf x y dl若若Ly对称于 轴, ( , )f x yx为 的

11、偶函数，则1( , )2( , )LLf x y dlf x y dl其中其中L由由 和和 连接而成，连接而成，1L2L且且 与与 关于关于 轴对称轴对称x1L2L其中其中L由由 和和 连接而成，连接而成，1L2Ly且且 与与 关于关于 轴对称轴对称1L2L当当L为空间曲线时为空间曲线时（1）若 对称于 坐标面LxOy（或 面，yOz或 面）, zOx( , , )f x y z( , , )0Lf x y z dl z为 的奇函数，则x（或y或 ）（2）若 对称于 坐标面LxOy（或 面，yOz或 面）, zOx( , , )f x y z1( , , )2( , , )LLf x y z

12、dlf x y z dlz为 的偶函数，则x（或y或 ）其中L由 和 连接而成，1L2L且 与 关于 坐标面 ( 或1L2Lxoy对称. 面，或 面）yozzox5. 5. 若若 Lsyxfd),(与与 Lsyxgd),(都存在，都存在，且在且在 L 上上),(),(yxgyxf 则则 LLsyxgsyxfd),(d),(6. 6. 若若 Lsyxfd),(存在，则存在，则 Lsyxfd| ),(|也存在，且也存在，且 LLsyxfsyxfd| ),(|d),(|首页首页22( , ) ( ),( )( )( )dLf x y dlf x ty txtytt基本思路基本思路:计算定积分计算定积

13、分转转 化化若若L L为平面曲线，其参数方程为为平面曲线，其参数方程为则曲线的弧微分则曲线的弧微分( ) ()yy tt :( ),L xx t求曲线积分求曲线积分且且 有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数,( ), ( )x ty tdl 22( )( )xtyt dt由第一类曲线积分的定义，导出如下的计算公式由第一类曲线积分的定义，导出如下的计算公式三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限.,),(. 2而是相互有关的而是相互有关的不彼此独立不彼此独立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .

14、)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc )0(dl保证(3).如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:( ) (),L 则则( , )dLf x yl( ( )cos,( )sin)f 22( )( )d 推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf问题：若问题：若L由一般方程给出由一般方程给出12( , , )0( , , )0 x y zx y z( , )( , )zg x yzh x y或如何计

15、算曲线积分？如何计算曲线积分？答：一般先把方程化为参数方程答：一般先把方程化为参数方程.参参数数可选为变量可选为变量 中的任意一个中的任意一个., ,x y z被被积积函函数数不不彼彼此此独独立立 而而是是相相互互有有关关的的,.x y注注意意：1:;Ldl确确定定曲曲线线 的的方方程程, ,求求弧弧微微分分2:, ,x y z变变换换被被积积函函数数，将将曲曲线线中中的的代代入入被被积积函函数数中中3:()确确定定积积分分限限 下下限限小小于于上上限限 ，代代入入公公式式计计算算计计算算步步骤骤：积积分分下下限限 小小于于积积分分上上限限ab利利用用对对称称性性例例1：求求其其中中的的一一段

16、段,:cos ,sin ,.(02 )Ixyzdlxayazk 解解:.21222kaka 2cossinak 20I222( )( )( )dlxyzd22ak d 22220sin22a k akd 22ak d 22220cos24a k akd 2222200( cos2cos2)4a k akd 例例2：.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsIL解：解：dyyyI222)2(1 . 0 xy42 所以：是奇函数，轴对称，被积函数关于关于yxL例例3.3.计算计算d ,Lx l其中其中 L L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B B (1,1

17、) (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . . 解解:)10(:2xxyLdLx l10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点上点 O O (0,0)(0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B2,0,1LIxydlLOABOyxyx 例4：计算其中 为闭路，例4：计算其中 为闭路，由抛物线和围成平面区域的边界由抛物线和围成平面区域的边界(1,1)B(1,0)Ayox0y 在在上上, ,OAOAxydl 在在上上:ABABxydl 10 1 y 解解: :如图如图dl 01y 2yx 0dydy12 :AB,1yyx 01,yLOAABOB

18、xydlxydlxydlxydl令令214xt2214xt4xdxtdt 4tdxdtx 51 221 144tt dt 25 51120 :15tLOAABOBxydlxydlxydlxydl所以所以25 561120 :OB在上在上2,01yxxdl 214x dx OBxydl 10 3x214x dx 例例5. 计算计算d ,LIxl其中其中L为双纽线为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为1:cos2(0)4La利用对称性 , 得14dLIx l42204cos( )( )d 402dcos4a222a22:cos2 ,Layoxxyo例6

19、. 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求22xyCIedl2)24(aeaa4xy 0yar 解解: 分段积分0daxex2240(sin )( cos ) daeaa222201 1 daxxexABI 22xyOAedl22xyOBedl22xyedlAB0daxex40daae2202daxexd d s例7. 计算计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(2092d2Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则

20、18习习1 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa四、几何与四、几何与物理意义物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz ,)4(轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧

21、对yx.,22 LyLxdsyIdsxI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 例例1. 椭圆柱面椭圆柱面22159xy被平面被平面 所截，所截，0zzy和求截得部分求截得部分 的侧面积的侧面积.(0)z 解xyz35所求椭圆柱面的准线是xoy面上的半个椭圆22:1(0).59xyLy对L作分割，取微元,dldl则相应小柱面的侧面积近似等于dl z,因此侧面积LAzdlLydl积分曲线L的参数方程为5cos,3sinxtyt0t 于是LAydl2203sin5sin9costttdt2203sin5sin9cosAtttdt20354cos(cos )tdt 121354u du 120654u du12205354ln(254)2uuuu159ln54xyz35dl例例2. 2. L L为球面为球面2222Rzyx面的交线面的交线 , , 求其形心求其形心 . . 在第一卦限与三个坐标在第一卦限与三个坐标解解: 如图所示 , 交线长度为RozyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由对称性 , 形心坐标为321d1