不等式及不等式综合问题

1、本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！1 .不等式的基本概念(1) 不等(等)号的定义：a_b00 ab;ab=0= a=b;abc0u a < b.(2) 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式(3) 同向不等式与异向不等式.(4) 同解不等式与不等式的同解变形.2 .不等式的基本性质(1) a >b(=* b <a (对称性) a >b,b >c= a >c (传递性)(3) a ：>b= a+c>b+c (加法单调性)(4) a >b,c >d = a+c >b+d (同向不等式

2、相加)(5) a >b,c <d = a _c >>b _d (异向不等式相减)(6) a. >b,c >0=> ac >bc(7) a >b,c <03 ac <bc (乘法单调性)(8) a >b >0,c >d >0=> ac >bd (同向不等式相乘)a >b >0,0 <c <d a >-(异向不等式相除) c d(10) a b,ab .0=-=：-(倒数关系) a b(11) a >b>0=：)an >bn(nZ,Hn >1)

3、(平方法则)(12) a >b >0 = n'3 An'b(n WZ,且n >1)(开方法则)例1： (12茂名一模)已知a, b都是实数，那么" a >|b | ”是“ a2 a b2 ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例2: (12茂名一模)若1 <1 <0 ,则下列结论不正确 的是 a b. ( )2.22A.a<bB. ab <bC.b a- >2D. | a | +| b|>| a +b |a b含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(D含绝对值的

4、不等式的解法不等式解集x | x < 一a 或 x > a把ax+ b看成一个整体，化成|x|<a ,|x|>a(a>0)型不等式来求解例3：不等式3x -4 <2的整数解的个数为（）A0B1C2D 大于 2例4：不等式I 8-3x | < 0的解集是（）A. 0B. RC. （1,-1）D. ；8；例5:设人="| X-2|v3 , B=x| |x-1|R1,则 APB 等于（）A. x|-1vx<5B. x|xwo 或 xR2C. x|-1 v x< 0D. x|-1 v xw 0或2w xv 5例6：设集合 A=x xwZM

5、 -10<x<-1 , B=x xwZ且 x <5,则 AUB 中的元素 个数是()A. 11B. 10C. 16D. 15例7：不等式I x+2 | V 3的解集是,不等式I 2x-1 | > 3的解集是1例8:不等式1-x <1的解集是2例9:根据数轴表示a,b,c三数的点的位置，化简|a+b|+|a+c|-|b-c|=例 10:解不等式 | x +1|+| x2|<4.(2) 一元二次不等式的解法判别式二次函数2y =ax +bx +c（a >0）的图象一元二次方程2ax +bx+c=0(a>0)的根-b ± Jb2 -4acXi

6、,2=2a（其中 x1 <x2）无实根2ax +bx+cA0（a0）的解集 x | x < X1 或 x A X22 一，一.ax +bx+c<0（a>0）的解集例11:(11广东)不等式2x2 -x-1 >0的解集是()11A. （-一，1） B.（1, .二） C.（-二，1） 一（2,二） D.（一二，）一（1,二）22例12: （10广一模）不等式x2 3x十2 <0的解集为A. (-«, -2)U(-1,+ )B. (-2,-1 )C. L，1）U（2*）D （1,2）2例13：（深一模）若对任意正数x,均有a <1+x,则实数a的

7、取值范围是A.-1,1B.（-1,1）C. - , 1 x, 1 x D.例 14: (13 六校联考)集合 A=x | x2 2x E0 , B =x| y = lg(1 x),则 Ap B等于( )A x|0 :二 x <1R x|1 < x :二 2C、x |1 ： x _ 2例15:已知集合 M= y y =x2 +2x 3,x R，集合 N=y I y2E3,则 MCN()a. yy至-4B. y -1 < y < 5 C. y - 4 < y < -1 d.3.几个重要不等式（1 ）若a WR,则 |a|KD,a2 之0 若a、b WR*则a2行

8、之2ab（或a2 +b2221ab优2ab）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么同工亘至（当仅当a=b时取等号）21 4例16:已知两个变重x,y满足x+y=4,则使不等式一+m恒成立的头数 m的取值氾围是 x y;例17:已知a、bC （0, 1）且awb,下列各式中最大的是（）A. a2+b2B. 2 TabC. 2abD. a+b例18:已知x+3y-1=0 ,则关于2x +8y的说法正确的是（）A.有最大值8 B .有最小值242 C.有最小值8 D.有最大值 22例19:下列结论正确的是（）A.当 x>0 且 xw1 时，lgx+ >2 B .当 x&g

9、t;0 时，Jx+；>2lg x. x6C.当 x>2 时，x+ 1 >2 x.当0<xw 2时，x- 1无最大值x慢值定理;若 x, y w R+x+y =S,xy = P,则:如果如果P是定值，那么当x=y时, S是定值，那么当x=y时,利用极值定理求最值的必要条件：若& b、cWR+KU世也cX磁(当仅当3 一S的值最小；P的值最大.一正、二定、三相等.a=b=c时取等号)若ab >0,则b+另之2 (当仅当a=b时取等号) a b(7)若a、bwR,则|a|bka土b旧a|+|b|4.几个著名不等式(1)平均不等式：如果a,b都是正数，那么211+

10、a bFa4b讦方(当仅当a=b时- ab - -2.取等号)即：平方平均算术平均几何平均调和平均(.2 .2特别地，ab E(a也)2<a-b-(当 a = b 时,22(%)2a、b为正数)：22a b )=ab)22221 .二帚平均不等式：a1 +a2 +.+an > -(a1n、2a2 .an)注：例如：(ac bd)2 _ (a2 b2)(c2 d 2).常用不等式的放缩法：2n n 1 n(n 1) nn(n -1) n-11 (n-2) nn - n - 12 n n .nn -1二.n - n -1(n -1)(2)柯西不等式：若耳鼻鼻,an三尺打功总,bn WR

11、；则(a1b1 +a2b2 融3b3 芈脑口灯)2 4(a； +a2 +af +" +an)(b12 +bf %2 Ab2)当且仅当a1 =生 b1b2b3=包时取等号bn(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点K,x2(x1 /x2)，有则称f(x)为凸(或凹)函数.5 .不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、 放缩法、构造法.一 一，一 x y例 20:设 x>0,y>0,求证: <11例 21: 122 325212(2n-1)2>6 2(2n -1)(n-2)(使用放缩法)

12、11例22:求证：一2 31ln(n 1)二 1 一 2+ 1 (使用构造法) n6 .不等式的解法(1)整式不等式的解法(根轴法)步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解 .特例一元一次不等式ax>b解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c>0( aw 0)解的讨论.(2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则(3)无理不等式：转化为有理不等式求解(4) .指数不等式：转化为代数不等式(5)对数不等式：转化为代数不等式(6)含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想;应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例(x为正数)：2 112 3 4 x(1-x) 2

13、 = - 2x(1-x)(1-x) <-(-)3= 22 327 y = x(1 x2) = y_ 2222 2x (1 -x )(1 -x ).1/234.2.3-(-)=-y z 2 3279类似于 y=sinxcos2x=sinx(1sin2x), x+1Rx|(x与)同号，故取等 +2 x x x线性规划问题：1 . 了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解2 .线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.3 .解线性规划实际问题的步骤：(1)将数据列成表格；(2)列出约束条件与目标函数；(3)根据求最值方法：画：画可行域；移：移与目标函数一致的平

14、行直线；求：求最值点坐标；答；求最值；(4)验证。x y三1I y例23: (12广东)已知变量x,y满足约束条件 x yM1,则z = x+2y的最小值为x 1 - 0A. 3B. 1C. -5D. -6例24:(11广东)已知平面直角坐标系M(x, y)为D上的动点，点AA.3B.40 < x < V2xOy上的区域D由不等式组<xW2 给定.若x - 2的坐标为(J2,1),则z = OM QA的最大值为(C.3 . 2D.4,2例25:( 12广一模)在平面直角坐标系中，若不等式组x y -2>0,«x y+2)0,表示的 x& t平面区域的面积为4,则实数t的值为A. 1B. 2C. 3D. 4例26:（11广一模）某所学校计划招聘男教师X名，女教师y名，X和y须满足约束条件2x - y , 5, « x- y < 2, x < 6.则该校招聘的教师人数最多是A. 6B. 8C. 10D. 12例27: （12深一模）已知点x-2 .0、 IP(x, y)在不等式组y -1 < 0Ix 2y-2 _0表示的平面区域上运动，则z = x - y的最小值是A. -2B.C. -1D. 12x - y _ 0例28： （12汕头一模）实数x, y满足不等式组<x + y 2至0,且z = a