2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)

1、2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）已知复数z=1+2i,则|工3二（）A. 5 B. 5+4i C. - 3 D. 3-4i2. （5 分）已知集合 A=x| x2-2x-3<0, Bhl<0,则 AC B=（）A. x|1<x<3B. x T<x< 3C. x| 1 <x<0 或 0Vx<3 D. x| - 1 <x< 0 或 1 <x<33. （5分）设a, b均为实数，则“A|b

2、|”是“3i>b3”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. （5分）若点P为抛物线d上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF的最小值为（）A 2 V c： D-5. （5 分）已知数列an满足 an+1 - an=2, a1=-5,贝U|a1|+| a2|+ - +| a6| =（）A. 9 B. 15 C. 18 D. 306. （5分）在平面内的动点（x, y）满足不等式,则z=2x+y的最大值是（）A. 6 B. 4C. 2D. 07. （5分）某几何体的三视图如图所示，则具体积为（） 4正遢河1视图俯视图A. 4B.二 C. D.-8.

3、（5分）将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于立，则n的最小值为（）16A. 4 B. 5 C. 6 D. 79. （5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）JTxi,X2,则 Xl+X2=()10. （5分）若方程2sm（2科二it在kE 0，上有两个不相等的实数解6z11. . （5 分）已知向量加二（3, 1）,而二（-L 3）,（m>0, n>0）,若m+n C 1, 2,则|：OC |的取值范围是（）A.小 如加.心 2Vio)| C.(仁 历)D. I居，2V1012. （5分）已知定义在R上的函数f （x） =eX+mx2 - m （m&g

4、t;0）,当X1+X2=1时， 不等式f （X1）+f （0） >f （X2）+f （1）恒成立，则实数X1的取值范围是（）A.（,0）b. S.看）C.合，D D. （1, +2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （5分）现将5张连号的电影票分给甲乙等 5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 种不同的分法（用数字作答）.14. （5分）函数f （x） =e?sinx在点（0, f （0）处的切线方程是 .15. （5分）我国古代数学专著孙子算法中有 今有物不知其数，三三数之剩 二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之

5、问，那么这个数.2216. （5分）过双曲线三工尸b>0）的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A, B两点，若加二21项，则双曲线的离心率为 .三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）17. （12分）已知点 巴的，l）,Q（cosx, sinx）, O为坐标原点，函数F0）=OP *QP .（1）求函数f （x）的最小值及此时x的值;（2）若A为4ABC的内角，f （A） =4, BC=3求 ABC的周长的最大值.18. （12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对 500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机

6、进行打分，打分的频数分布表如下:女性用分值区50, 60)60, 70)70, 80)80, 90)90,100)频数2040805010男性用分值区50, 60)60, 70)70, 80)80, 90)90,100)频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小 （不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20名用户，在这20名 用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90 分的人数的分布列和期望.卧孽纲距0.040 0.035 0 IN。O.f)25 加印2仆 041 ? 口

7、 Ml” d(M)A0.040 0,035 DOJO U U?5 0.020 0.015 umn 0 00'S女村用户"50 60 70 SO 9ft 1110支分另件用户19. (12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PAa底面ABCRAD=AP, E为棱PD中点.(1)求证：PDXT面 ABE;(2)若F为AB中点，阿论工正(。< A<1),试确定入的值，使二面角P-FM-B的余弦值为二.32220. (12分)已知点P是长轴长为2蚀的椭圆Q：三十01殳>b>0)上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段

8、PA的中点，且 直线PA与OM的斜率之积恒为 一.(1)求椭圆Q的方程；(2)设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C, D两点，线段CD的 垂直平分线与x轴交于点G,点G横坐标的取值范围是4,0),求| CD的最 小化21. (12分)已知函数 f (x) = (x-2) ex+a (x+2) 2 (x>0).(1)若f (x)是(0, +8)的单调递增函数，求实数 a的取值范围；(2)当犯【仇)时，求证：函数f (x)有最小值，并求函数f (x)最小值的取值范围.选彳4-4:坐标系与参数方程22. (10分)已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，以x轴正半轴为极轴

9、，建立极坐标系，曲线 Ci的极坐标方程为p =4cos,8直线l的参数方程(1)求曲线Ci的直角坐标方程及直线l的普通方程；若曲线C2的参数方程为蓝丁(a为参数)，曲线。上点P的极角为千，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.选彳4-5:不等式选讲23. 已知 a>0, b>0,函数 f (x) =| x+a|+| 2x-b| 的最小值为 1.(1)求证：2a+b=2;(2)若a+2b Aab恒成立，求实数t的最大值.2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，

10、只有一项是符合题目要求的.1. （5分）已知复数z=1+2i,则|工日=（）A. 5B. 5+4i C. - 3 D. 3-4i【解答】解：vz=1+2i, a z=|z|2=（A/+2）5-故选：A.2. (5 分)已知集合 A=x| x2-2x-3<0,<0),则 AC B=()£A. x|1<x<3B. x 1<x< 3C. x| 1 <x<0 或 0Vx<3D. x| - 1 <x< 0 或 1 <x<3【解答】解：二.集合 A=x|x2 2x 3V 0=x| - 1<x< 3,B二k

11、|"L'<0=x| x<0 或 x> 1,AA B=x| - 1 <x<0 或 1 < x< 3.故选：D.3. （5分）设a, b均为实数，则“A|b|”是“3t>b3”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：由a>|b|"能推出 />b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a=1, b=- 2,不是必要条件，故选：A.4. （5分）若点P为抛物线&上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF 的最小值为（A 2B- - C: D-1【解答】解：点P为抛物

12、线a /F上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF| 的最小值为：-1.故选：D.5. (5 分)已知数列an满足 an+i - an=2, ai=- 5,贝U|ai|+| a2|+ - +| ae| =()A. 9 B. 15 C. 18 D. 30【解答】解： an+1 - an=2, ai=-5, .数列an是公差为2的等差数列. an= - 5+2 (n 1) =2n 7.数歹!J an的前n项和&一门1-5+*一4=# - 6n.令 an=2n 7>0,解得 -n03 时，| 2| =- an.n>4 时，| an| =an.则| a1|+| a2|+ - +| a

13、6| =一 a1 a2 a3+a4+a5+%=& 2S3=62 6X6 2 (32 6X 3)=18.故选：C.叶厂34。6. (5分)在平面内的动点(x, y)满足不等式则z=2x+y的最大值是()A. 6 B. 4 C. 2 D. 0【解答】解：根据不等式，工+1>。，画出可行域，；力。由厂。c ,，可得x=3, y=0xfy-3=0平移直线2x+y=0, .当直线z=2x+y过点A (3, 0)时，z最大值为6.故选：A.7. （5分）某几何体的三视图如图所示，则具体积为（【解答】解：由题意三视图可知，几何体是直四棱锥,底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长

14、度为2,所以四棱锥的体积故选D.8. （5分）将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于与，则n的最小值为（）16A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【解答】解：由题意，1 -4丝， n4, ，- n的最小值为4, 故选A.9. （5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（A.D.一5C.22316【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是 用二分法求函数f （x） =x2-2在区间1, 2上的零点，且精确到0.3;1+2 3 m=-时，f (1) ?f (三)=(-1) x1<0模拟如下;b=y "a- b| =y >d ；m=|时，f (1) ?

15、f 得)=(T) x (-) >0,I a- b| =<d;程序运行终止，输出故选：B.10. （5分）若方程尹g-）二it在kE 0, f-上有两个不相等的实数解X1, uZX2,则 X1+X2=（）A. Bi【解答】解：.xe 0,3,xTe 看，毛,TTTT方程2同口十丁）二丁在在0, 丁上有两个不相等的实数解X1, X2,贝U Xl+X2=-, 3故选：C.n>0),11 . （5 分）已知向量赢=（s, 1）,而二（-L 3），0C : idOAfOB （m>0,若m+n C 1, 2,则底|的取值范围是（）A. l二 一 B. 一，一C. ： D.一I【解答

16、】解：根据题意，向量 祗1），丽二"1, 3）， 0C = mOA-nOB= (3m+n,则 I oc I ="焉苕田'，令 t=h%3 贝l=t,而m+nC1, 2,即1 < m+n<2,在直角坐标系表示如图, t=庐不表示区域中任意一点与原点（0, 0）的距离， 分析可得：白&t<2,又由|而|=/lot,故在 |无 |<2、/Ti；12. (5分)已知定义在R上的函数f (x) =ex+mx2-m (m>0),当xi+x2=1时， 不等式f (Xi) +f (0) >f (X2)+f (1)恒成立，则实数xi的取值范

17、围是()A.(，0)B.，-1) C.号，1) D. (1, +引【解答】解：:不等式f (xi) +f (0) >f (x2)+f (1)恒成立，不等式 f (为)-f (x2)>f (1) - f (0)恒成立，又.: x1+x2=1 ,.不等式 f (x1)- f (1 -x1)>f (1) - f (1 - 1)包成立，设 g (x) =f (x) - f (1 -x),f (x) =ex+mx2 m (m>0), . g (x) =ex- e1 x+m (2x- 1),则 g'(x) =ex+e1 x+2m>0,g (x)在 R上单调递增，不等式

18、g (&) >g (1)恒成立，方>1 , 故选：D.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. (5分)现将5张连号的电影票分给甲乙等 5个人，每人一张，且甲乙分得 的电影票连号，则共有48种不同的分法(用数字作答).【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4X2=8种情况，其余3人，有虏=6种 情况，共有8X6=48种不同的分法.故答案为48.14. (5分)函数f (x) =ex?sinx在点(0, f (0)处的切线方程是 一y=x . 【解答】解：= f (x) =ex?sinx, f'(x) =ex (sinx+cosx), (2 分)f&

19、#39;(0) =1, f (0) =0,函数f (x)的图象在点A (0, 0)处的切线方程为y 0=1 x (x- 0),即 y=x （4 分）.故答案为：y=x.15. （5分）我国古代数学专著孙子算法中有今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之问，那么这个数 128 .【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1,即15;第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1,即21;第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1,即70;然后将这三个数分别乘以被 7、5、3除的余数再相加，即：15X2+21X3

20、+70X 2=233.最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233 T05X 2=23.或105k+23（k为正整数）.由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128故答案为：1282216. （5分）过双曲线 J上：尸1Q>O, b>。）的焦点F且与一条渐近线垂直的直 /b线与两条渐近线相交于A, B两点，若证廊，则双曲线的离心率为昔2 2,X,【解答】解：双曲线三1（也0, b>0）的渐近线方程为y=±L a2 b2勺）；可得B （a2c2 i 2 a -bTv),设焦点F （c, 0）,与y上x垂直的直线为y= a尸一工 a尸 T

21、&y) bby=i ab冉由丽:2直，可得0-(- 我£ ) =2 (- 0),a -b 2 晓+b化为 a2=3b2=3 (c2-a2),即为 3c2=4a2,贝ij e=£_2/3_.a 5故答案为：类.三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (12分)已知点l),Q(cosx, sinx), O为坐标原点，函数£(富)二0P石F.(1)求函数f (x)的最小值及此时x的值；(2)若A为4ABC的内角，f (A) =4, BC=3求 ABC的周长的最大值.1 -sinx)，【解答】解：(1)，,旗二(对，

22、1),市=G/5-e",f(K)=3-V3cosx+r-sini=4-2sin(K兀(kE Z)时，f (x)取得最小值2.(2) vf (A) =4,人卓，p on-Q ?_r 2 2 e乂 BC-g a -b 4-c -2bc3s q , 'J9= (b+c) 2- bc.,45 9， 一 -' . 当且仅当b=c取等号， 一三角形周长最大值为3+2J118. (12分)某手机厂商推出一次智能手机，现对 500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用 分值区 50,60)60,70)70,80)80,90)

23、90,100)户 问频数 2040805010男性用 分值区 50, 60) 60, 70) 70, 80) 80, 90) 90,100)频数 4575906030(1)完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小 (不 计算具体值，给出结论即可)；(2)根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20名用户，在这20名 用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90 分的人数的分布列和期望.熟事ownu cna0 044J 酊IB5 0 030 U 口力 C (J2O 0.0150 00'S以 50 60 70 80文件用户口me o/

24、i J n.oio男性用户【解答】解：(I)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图:701*二-由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大.(R)运用分层抽样从男性用户中抽取 20名用户，评分不低于80分有6人,其中评分小于90分的人数为4,从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X,则X取值为1, 2, 3,C q C1P(X二 3)二一广二二 %所以X的分布列为19. (12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PAa底面ABCRAD=AP, E为棱PD中点.(1)求证：PDXT面 ABE;(2)若F为AB中点，问於人记,试确定入的值，使二面角P-FM-B的

25、余弦值为二区.3【解答】 解：(I)证明：丁 PA1底面ABCR AB?底面ABCRPA! AB, 又.底面 ABCD为矩形，. AB±AD, PAA AD=A, PA?平面 PAR AD?平面 PAD, AB，平面 PAD,又 PD?平面 PAR a AB± PD, AD=AP, E 为 PD 中点，AE± PD, AEA AB=A, AE?平面 ABE, AB?平面 ABE,. PD，平面 ABE(II)以A为原点，以菽，S,丽为x, y, z轴正方向，建立空间直角坐标系A- BDP,令| AB| =2,贝U A (0, 0(1,0, 0),P?=(l,-2)

26、，降 2,-2)|，而二(2%, 2人，-2X), M(2人,2 A, 2 22设平面PFM的法向量：二(八ni PF = 0-s+2z=012 h x+2 人 y-2 ' z=O0), B (2, 0, 0), P (0, 0, 2), C (2, 2, 0), E (0, 1, 1), FnF -1, 1)设平面BFM的法向量:二(9，y2-%el，BF=Ox=O(2 人一1了+2 1 y+(2-2 ) z=Cn=(O» 入 7,入n>l= II in I I n I V，/(AT)20. (12分)已知点P是长轴长为入历的椭圆Q：三+01殳卜0)上异于顶 2 b?

27、点的一个动点，O为坐标原点,A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积包为(1)求椭圆Q的方程;(2)设过左焦点Fi且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C, D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G,点G横坐标的取值范围是-/，0),求| CD的最小化【解答】解：(1)二椭圆Q的长轴长为人历，.1好6.设 P (xo, yo),组直线PA与OM的斜率之积恒为:花X口布二上 ,2 町十寸2/-2- 一: b=1，2故椭圆的方程为勺+/=1(2)设直线 l 方程为 y=k (x+1) (kw0),代入号 + J有(1+2k2) x2+4k2x+2k22=0,设 A (xi,

28、yi), B (x2, y2), AB中点 N (xo, yo),打+工。=£l+2k?2k2-21 r 2=ol+2k2町二万(工+工2)=2k j yD=k(x0+l)= l+2kz ° u丁 CD的垂直平分线方程为 广¥0二年Q), y=0,得,一一,一 _14 k +2丁耳gE4. 0)，,42 以，2。<1号.-四端 =咛,|CD|min. - 221. (12分)已知函数 f (x) = (x-2) ex+a (x+2) 2 (x>0).(1)若f (x)是(0, +8)的单调递增函数，求实数 a的取值范围；(2)当S,十)时，求证：函数f

29、 (x)有最小值，并求函数f (x)最小值的取值范围.【解答】 解：(1) f (x) =ex+ (x-2) ex+2ax+4a,(1-x) eK函数f （x）在区间（0, +8）上单调递增，；f （x） >0在（0, +8）上恒成eK . ex+ (x- 2) ex+2ax+4a>0,2x+4令(©_<1一工)i黑一匕(2x+4)一2 (1一算)11(-2-2-2二-2)<o+G 2(2x+4)2'.式工)g(2) f (x) ' =x?e2a>0,；y=f (x)在(0, +oo)上单调递增又 f (0) =4a- 1<0, f

30、 (1) =6a>0,存在 tC (0, 1)使 f (t) =0xC (0, t)时，f (x) <0, x (t, +oo)时，f (x) >0,当 x=t 时，二汽t)二(t-2) J+a(t+2)*且有 f =et? ( 1) +2a (t+2)二0,2a+2）,由（1）知、式在te（0, +°°）上单调递减,且0< te (0, 1).f (1) <f (t) <f (0), -e<f (t) <- 1, , f （x）的最小值的取值范围是（-e, - 1）.选彳4-4：坐标系与参数方程22. （10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为