2011年全国高中数学联合竞赛一试试题+解析

1、2011年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)考试时间：2011年10月16日8 : 009: 20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上1 .设集合A &,a2,a3,a4,若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B 1,3,5,8,则集合 A .解 显然，在H的所有三元子集中，每个元素均出现了 3次,所以3(口+ ii.+£1) = ( l| + + 5 + S = 15-故门+即+/+/ =5,于是集合.4的四个元素分别为5 ( I ) =6. 5 3=3 5 5 =0* 5 8=3,因此.集合 = ；3,0.25匕22 .函数f(x)

2、二的值域为 x 1解设工二tanH-:,且。二二，则 224/M= 8 盼='3 n日7 sEOrs。力4设白三力丽仪白一， Hd -Jl < « < 1 j且以工0,所以 /(J)® (00,1 U (lt-+0O)-3 .设 a,b 为正实数，-2亚, (a b)2 4(ab)3 ,则 loga b .a b解由_L+L，2",得计6,2缶h . a b又(t?+2>3 = 4ab-¥(a-b)2 = 4ab + 4(aby > 4= 8(off13»即ab> 七口力 <于是 ab - 2ylab

3、 .再由不等式中等号成立的条件，得M = l,与联立解得上"、二"'或心=省. U = V2+1,h = C 八故 1ogd b = -.4 .如果cos5sin57(sin 3cos3 ) ,0,2 ) , UP 么的取值范围是.龄 人等式。心, 8-，in' 0 < 7siti1 £?-cos, £?)等价 J，sin 0- - sm' 0 > cos + cos( 0 -77又/ (.r) = / + y x?是JR一!方)上的增函数，所以siti 8 > 8*8 ,故 2 An +< 2Jcjt +

4、伏三 Z).因为。w0,2幻，所以9的取值范围是(生,吏.5 .现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一 个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安 排方案数为.(用数字作答)解由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形:(I )有一个项目有3人参加，共有b： 5!-C* 5!-3600种方案：(2)有两个项目内有2人舂加，共有工。0+-蠹，=1川0种方案；所以满足题设要求的方案数为3600 +11400 = 15000 .6 .在四面体 ABCD 中，已知 ADB BDC CDA 60 , AD BD 3 , CD 2, 则四面体ABCD的外接

5、球的半径为 .解 设四面体EO的外接球球心为Q，则。在过/8。的外心.V且垂苴于平面,4日。 的垂线上.由题设知，/月。是汨三角形，则点A为 的中心.设尸,“分别为g仇CD 的中点.则N在上，且QV1QF, 0M 1 CD .ZCDA = ZCM = ZADB = 60° ,设8与平面IE。所成角为9T可求得ffi W V =石.四边形以MOW的外接圆的直径由=也=£ =拒.sin <9 J?耳故球。的半径内=石.7 .直线x 2y 1 0与抛物线y2 4x交于A,B两点，C为抛物线上的一点, ACB 90 ,则点C的坐标为.解 设图上凡上班上由 2人丫 二 4花得

6、x2 - S v - 4 = 0 1 则,-%=8 v, ' > 2 = -4 rX j, = 2yt +1? = 2 +1 f 所以彳 十工,-24胃 +> )+2 = LB » % -工、=4v, i + 2(F. + t、)+ 1 = I ,因为匕wa = g(r,所以B 而=o,即有(广一方 )1 ¥ + (2f y, )1 2/ = 0 '即 t* -(x, + x=)/: + a, - x2 + 4fa -2(j 4- ViX + J i - v3 = 0 t即 -14/J 1& -3 = 0,即( +4f+ 3Xr -4f-

7、|)l0 .显然八七_ 3to.否则一2 »T = 0 ,则点C在直线i-力-1 = 0上，从而点C与点/ 或点3重合，引以J 4-3二0,解得r 二一1#二二一3.故所求点e的坐标为(L-2)或(9.-6).n _ 200 n8 .已知an C 2oo 3.16+ (n 1,2, ,95),则数列an中整数项的个数解 =crw要使外。口£95）为整数T必有2M-3 400 - 5均为整数，从而6 " + 4.当tt = 2+8,14204602,3344,50,56,656&74,80 时.出U和竺竺史均为非负整数,所以4为整数.共有14个.当井三崎时，

8、金二C二丁 2",在C'200!86M14!中,2Ml中因数2的个数为20(1二皿20(1V'+' -|+'200200200-+2(H)同理可计算得的!中因数2的个数为82, U4中因数2的“数为l】o.所以C：中因数2的个数为I97-X2-1IO = 5,故%.是整就?001当M 黑在CQ 诉中，同样可求得管中四缸的个数为静.10国中因数2的个数为105.故C；,中因数2的个数为I97-8H-IOS = 4.故不是整数.因此，整数项的个数为14 + 1 =15 .二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.9 .

9、(本小题满分16分)设函数f(x) 11g(x 1)|,实数a,b(a b)满足f(a) f( -b-),b 2f(10a 6b 21) 41g2 ,求 a,b 的值.解=IgS+DM 14一1士+1)1=11=1 lg(b+2)| ,8+2b+2b+2口 +1 = b 4二或(口+ 1 )(6 + 2) = t又二*二3+ 1 于人*2， A -b)(/? +2) = I *4 分又由= IgS + 1)|有意义知0< + 1,从而修<曰+ 1<方+ 14力+2，于是0< & + 1 <<H2 .所以 (1加+的 + 2)+ 1 =1(Mfl +

10、l)6l7? + 2) = 6(/? + 2) + ->1 .8 分h + 2从而 /10o+66 + 21)lg6(6 + 2) + -)(=)gfi(4-2) + -.b+2b-2tn又 f 110tJ + 6/i + 21) = 41g 2 ,所以g63 + 2)d = 412 ,b + 21 q故 6(A + 2)h=16 .12 分b + 2解写占二-2或8 = 1 :舍去).J把方=；代入(口 + l)(b + 2) = I解得d = .母以 a = * A = *】6分5310 .(本小题满分 20分)已知数列an满足：ai 2t 3(t R且t 1),(n(2tn 1 3

11、)an 2(t 1)tn 1an 2tn 1(1)求数列an的通项公式;(2)若t 0 ,试比较an 1与an的大小.解 (I)由原式变形得外一2 一 12a十1)则 口i+i= .凡+D =1-i' -口 d-1 4+i 、4-2-re iJ n + I己一=tK -Ia +12f-2又7T =44T4. +1故一r -iI I 1 I ”而后 11 ,、1 H1 . = 1 从,血有=一 =12 b 2b b 2 2Ji1ITI口 2 于是有&n迎二11M2(r+, -h 2H一i)a 4-1日“？ 4- 1)jt( +/ + , , f + / ' + f)-(

12、+1)(1 + rh+ / _|)+工十工,F + 1)+I. + / j+ l )十一, + f T20分2(； hr)hf(/" 一丁 ) 叩 1 + 1)L4- I)显然在二 H 1)时恒有乐.i. > 0.故凡. >1x211 .(本小题满分20分)作斜率为1的直线l与椭圆C :三336交于A,B两点(如图所示)，且P(3%6,72)在直线l的左上方.(1)证明： PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若 APB 60 ,求 PAB的面积.解(1)设直线/： >, = jx + w t .4(x, v,),5(x2, v2)将)，=Lt+m代入三十二=1

13、中，化简整理得 336 42x2 + 6mx+9m: -36 = 0.t.勺9m 36于是有 X + 0 = -36，x1x2 =,-6 月-也 _ （乂一向（2-3后）+ （），2一万）（士-3扬 3VI 4 -38一3-3万）区-3拉）上式中，分子=（石占+】一行）（与-3行）4（：.4 +加一拒）（3-3收）j.v,x2 +(加-2后收1 +巧)-671(?-VI) - + (/7/- 26)(-3-6y2 (m - 6)32=3加'-12 -3,力'+ 62w - 6Jim + 12 = 0 ,从而,kPA +kps = 0 .又P在直线/的左上方，因此，乙4P8的角平分线是平行于），钝的直级，所以248的10分内切圆的圆心在直线x = 36上. 若乙4P8 = 60。时，结合(1)的结论可知 =石.=-6.直线P4的方程为，y-63x-3g,代入土+匕=1中，消