1996年试题全国高考试题(高考数学试卷)

1、199阿普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷(选择题共65分)一、选择题：本大题共15小题;第(10)题每小题4分，第(11) (15)题每小题5分，共65分，在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集 I=N,集合A=x | x=2n,nC N,B=x | x=4n,nC N,贝U(A)I A B (B)I A B (C)I A B (D)I A BKey C (1)已知全集 I=N,集合A=x | x=2n,n N,B=x | x=4n,n N,贝U(A)I A

2、B (B)I A B (C)I A B (D)I A BKey C若sin2x>cos2x,则x的取值范围是x 2k- ,k Z4x 2k5 ,k Z43x k - ,k Z)43x k - ,k Z)4(A)x|2k34，1(B)x|2k-4八,1(C)x|k-4,1(D)x|2k-4Key D (2 2i)4复数(1网等于(A)1. 3i (B) 1 3i (C)1. 3i (D) 1. 3iKey B5)如果直线卜m与平面a、B、丫满足：l=enY,la,m a和m, 丫那么必有 (A) a _L 丫 且 l _L m(B) a _L 丫且 m / 0(C)m / B 且 l，m(

3、D)且 / B 且 a，丫Key A(6)当 22 ,函数 f (x ) sin x,'3 cos x 的(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是-(1/2)(C)最大值是2,最小值是-2(D)最大值是2,最小值是-1Key Dx 33 cos(7)椭圆y 1 5 sin的两个焦点坐标是(B)(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5)(C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1)0 aarcsincos(a) arccossin( a)(8)若 2 ,则 (2)()(A)- (B)- (C)- 2a(D)-2a2222K

4、ey A(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为,2 (D) a 12aa小、3 3(A) (B)(C)一a61212 Key DS1031(10)等比数列an的首项a1=-1 ,前n项的和为Sn,若S532 ,则nim Sn等于22(A)- (B) - (C)2 (D) 2 33Key B3(11)椭圆的极坐标方程为2 cos ,则它在短轴上的两个顶点的极坐标是3(A)(3,0)(1, )(B)(.3,-)(.3,j)5. 3-,.3(B)(2, -)(2, ) (B)( . 7,arctg-)( 7,2 arctg)3322Key C(12

5、)等差数列an的前m项和为30前2m项和为100，则它的前3m项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260Key C22x y21(0 a b)(13)设双曲线ab的半焦距为c,直线l过两点(a,0)(0,b)。已知原点到直线l的距,3c离为4 ,则双曲线的离心率为-2 3(A)2 (B).3 (C),2 (D) 3Key A(14)母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角山等于(A)2-(B)2-(C). 2 (D)2-6333Key D (15)设f(x)是(-oo,+oo)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当00x0 1 时,f(x)=x,则f(7.5)等于(A)

6、0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5Key B (16)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切.贝U P=Key 2(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个(用数字作答).Key32(18)tg20° + tg40° +3tg20° tg40° 的值是Key ，3(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是二Key 丁.log(20)解不等式 Key本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分

7、类讨论的方法和运算能力.满分11分. 解:（1）当a> 1时，原不等式等价于不等式组：1 x1x1 a 由此得 因为1-a<0,所以x<0,1x 05 分1 a(H)当0<a<1时，原不等式等价于不等式组110(1)x7分11 23cos4cosBcos a (2) x由得,x>1或x<0,11由(2)得,0<x<1 a ,.-. 1<x< 1 a10分,1、x | x 0综上，当a>1时，不等式的解集为1 a,1 、x |1 x 当0<a<1时，不等式的解集为1a11分(21)已知 ABC的三个角A , B,

8、 C满足A+C=2B,1cosA1cosA2AC cos cosB，求 2 的值第9页共11页Key本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行包等变形和运算的能力.满分12分.解法一：由题设条件知B=60° ,A+C=120° . 2分_2cos602 2, AC AC ，.2 cos- cos-2. 2cos(A C) cos(A C)将 cosAC cos60 1,cos(A C) 1 代入上式得 222AC 2八cos() 2cos(A C) 6 分将cos(A C) 2cos3(AyC) 1代入上式并整理得4 2cos2(AC) 2cos(AC) 3.2 0,9分

9、22A C A C2 cos(-. 2)(2,2 cos- 3) 0 A C2,2 cos- 3 022 cosA-C2 02从而得cosA_C 与12分22解法二：由题设条件知B=60° ,A+C=12060 ,C 601cos(60 )(3分)A C一设A_C则A C 2 ,可得A2111所以 ' 1cosA cosC cos(60 )1 3_._1 _3 - cos 一sin - cos 一sin2 222cos1 -2cos 2 cossin44cos2 cos依题设条件有2 cosBcos整理得 4 - 2 cos22 cos3 20(9分)(2cos .2)(2

10、.2 cos 3) 02.2cos 3 0(2 cos .2) 0从而得cos AC 上2 (12分)22(22)如图,在正三棱柱ABC-A 1B1cl中,ECBB1,截面A1EC，侧面AC1.(I )求证:BE=EB1;（n ）若人人1=A1B1;求平面A 1 EC与平面A1B1cl所成二面角（锐角）的度数.注意:在下面横线上填写适当内容，使之成为（I ）的完整证明，并解答（H）.BiKey(I )证明:在截面A1EC内,过E作EG，A1C,G是垂足.V EG,侧面 AC 1 ;MAC 的中点 F,连结 BF,FG由 AB=BC 得BF XAC,. BFL侧面AC1;彳#BF/ EGBF、E

11、G确定一个平面，交侧面AC1于FGVBE/ FG四边形BEGF是平行四边形，BE=FG,VFG/ AA1AAA 1cszFGC,V_11 1FGAA1BB1,即 BEBB1,故 BEEB1222(H)解本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力.满分12 分.(I ).面 A1ECL侧面 AC1,2分面ABC,侧面AC1,3分=BE/侧面AC1, 4分BE/AA1, 5分. AF=FC,6分(H)解:分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D.EB"/CC1,EB1BB1CC1221EB1DC1 B1cl A1B12A1B1C1B1C1A1 601

12、.DA 1B1A1DB1 （180 DB1A1 30DA1C1DA1B1 B1A1C1 90,即 DA1 AG（明）CC1，面A1clB1,即A1cl是A1c在平面A1clD上的射影，根据三垂线定理得DA1LA1C,所以/CA1cl所求二面角的平面角.11分. CC1=AA 1=A1B1=A1C1,ZA1C1C=90° ,.二/CA1cl=45°，即所求二面角为45° . 12分23.某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提 高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 1公顷)?3

13、.10 1310 13.10 1101.1 (1 0.01)1.221.11.22_1 _2(1 C100.01 C100.012 )1.11.22(1.1045)总产量、 总人口数)(糖食单产士二: 二，人均粮食占有量(耕地面积，Key本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用近似计算的方法和能力.满分10分.解:设耕地平均每年至多只能减少X公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷. 依题意得不等式(1 10%)(5 分)M (1 22%) (104 10x) M 1044.1x4.1(公顷)(9分)答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少 4

14、公顷.10分(24)已知1i、l2是过点P(-?2,0)的两条互相垂直的直线，且1i、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为Ai、Bi和A2、B2(I)求1i的斜率k1的取值范围；(II)若|AiBi|=而|A2B2|,求 1i、l2的方程(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力.满分12分.解：(I)依题设，1i、l2的斜率都存在，因为1i过点P(-6,0)且与双曲线有两个交点，故方程组y 空 7)(k1 0)(1 分) y2 x2 1有两个不同的解.在方程组中消去y,整理得(k2 1)x2 2.2k2x 2k2 1 0(2)若k21-1=

15、0，则方程组只有一个解，即1i与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故k21-1w0即第8页共11页|ki|wl方程的判别式为i (2.2k2)2 4(k2 1)(2k2 1)4(3k2 1)设的斜率为k2,因为12过点P(-我,0)且与双曲线有两个交点，故方程组y k2(x 2)(k20)y2 x2 1有两个不同的解.在方程组中消去y,整理得(k2 1)x2 2%Qk2x 2k 2 1 0(4)同理有 k2 1 0, 24(3k2 1)又因为11-2,所以有k1 k2=-1 4分于是,112与双曲线各有两个交点，等价于3k2 1023k2 1 0k1?k21|k1| 1 解得k1|k1 |,3.

16、 3.3 八k1 ( <3, 1) ( 1) (,1) (1)(7分) 333(H )设AxoOB4x2y2)1 .由方程知x1 x22.2k22k2 1T2L- ,x1 x2k1 1k1 11A1B1 I 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2(1 k2)(x1 x2)22 一 24(1 k1)(3k1422(k11)1)(5)(9分)同理，由方程可求得,|A2B2|2|A2B2|2,整理得22心)(3以)2(1 仁)(6j由 |AiBi|=d5 1A 2B2 L 得|AiBi|2=5|A2B2|2 将、代入上式得22224(1 ki )(3ki 1) 5 4(1 ki)(3 ki )

17、(k； i)2(i k2)2解得ki.2- - -取 ki.2 时,li：y ,2(x.2)2：y (x .2)2j2取ki'2时，li：y寸'2(x <2),12 ： y 5-(x J2)(i2分)25.已知a、b、d!实数，函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-i0x&i时，| f(x) | < i.(I)证明：I c | < l;(10证明:当/乂& i时，| g(x) | < 2;(I)设a>0,当-iWxWi时,g(x)的最大值为2,求f(x).Key本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以

18、及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力。满分i2分.(I)证明：由条件当-i<x<iB, | f(x) | < i,取x=0得I c | = | f(0) | <i,即 I c | 0 i. 2分(H)证法一：当a>0时,g(x)=ax+b在-i,i上是增函数, g(-i)wg(x)&g(i), I f(x) I < i(-Kx<i), | c | <i,., g(i)=a+b=f(i)-c< I f(i) I + I c I < 2,g(-i)=-a+b=-f(-i)+c >-( | f(-i) I + I c| > 2,由此得I g(x) | < 2； 5分当a<0时,g(x)=ax+b在-i,i上是减函数， -g(-i)>g(x)>g(i), I f(x) I < i(-Kx<i), | c | <i,g(-i)=-a+b=-f(-i)+c < I f(-i) I + I c I < 2,g(i)=a+b=f(i)-c&