常微分方程习题课-史悦

1、(只是本章重要部分的参考题，可结合其它课件上的 习题课内容及各位的情况选用。)第七章 常微分方程.重点微分方程的基本概念，可分离变量方程，一阶线性方程，二阶线性微分方程的解法.,难点由实际问题建立微分方程.一阶微分方程一、基本要求1 . 了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2 .能正确识别下列几种一阶微分方程：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、贝努利方程；可降阶的高阶微分方程yt )= f(x) y=f(x, y) y=f(y, y).3 .熟练掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解法.4 .会解齐次方程和贝努利方程，并从中领会用变换代换求解方程的思想.5 .熟练掌握可降阶的高阶

2、微分方程的解法.6 .对简单的实际问题能建立一阶微分方程从而求解.二、要点1 .关于常微分方程的基本概念(略)2 . 一阶微分方程的解法(1)可分离变量的一阶微分方程形如f(x)dx =g(y)dy的方程，称为可分离变量的微分方程.将上式两边同时积分即可求得通解.即jf (x)dx = Jg(y)dy+C .其中f(x)、g(y)在所考察的范围内是连续函数.若给定了初始条件，则可求得方程的特解.(2)齐次微分方程形如电=f :的方程，称为齐次微分方程.dxx令V ,则曳= xdv+v,从而有xdv + v = f (v),原方程化为可分离变量的方 xdxdxdx程：dv dx二，f (v) v

3、 x从而两边积分求得通解.(3) 一阶线性微分方程形如y + P(x)y =Q(x)的方程，称为一阶线性微分方程.分两步求解 求对应的齐次方程 包+ P( x) y = 0的通解dx将dy+P(x)y =0分离变量得dy = _P(x)dx ,从而通解为y = CeTP(x)dx.dxy用常数变易法求非齐次方程yr + P(x)y =Q(x)的通解7P(x)dxP(x)dx设y = C(x)e，代入原方程求得C(x)= feJ Q(x)dx + C ,所 以y(x)=P(x)dxe Q(x)dx C；一P(x)dx为方程y +P(x)y =Q(x)的通解.注意 在具体解题时，可直接代上述公式求

4、一阶线性微分方程的通解.若一阶线性微分方程的标准型y + P(x)y =Q(x),则其通解y(x) = eP(x) dxQ(x)dx C_ P(x) dx(4)贝努利方程形如dy + P(x)y =Q(x)yn (n0 0,1)的方程，称为贝努利方程. dx令Z = y15，则原方程化为dZ+ (1 -n)p(x)Z =(1 -n)Q(x), dx这是关于Z的一阶线性方程，代入公式求通解即可.(5)可降阶的高阶微分方程y(n)= f(x)型的微分方程对y(n)= f (x)两边积分，有yf- (x) = j f(x)dx +C1 ,y(n- *x )= j Jf(x)dx+Cidx +C2,依

5、次进行n次积分即得通解.y = f(x,y)型的微分方程方程的特点是右端不显含y,令y= p,则y*= p,于是原方程化为 p= f (x, p),是关于p的一阶方程，若其解为p =(x, C1),即dy =(x, Ci),积分求解即可.dxy“ = f(y,y)型的微分方程方程的特点是右端不显含自变量x ,令y = p ,则y” = dp = dp，dy = p dp ,于是dx dy dx dy原方程化为pdp = f(y, p),是关于p的一阶方程，若其解为p = p(y, C1),即 dydy=p(y, Ci),再积分求解即可.dx二阶线性微分方程一、基本要求1 .正确识别二阶常系数线

6、性齐次与非齐次微分方程.2 .熟练掌握二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法.3 .熟练掌握二阶常系数非齐次微分方程解的结构，掌握非齐次方程当自由项为两种特殊情 形时通解的解法.4 .会解决简单二阶方程的应用问题.、要点关于二阶常系数线性微分方程的解法：1.线性齐次方程 ay+ by+cy =0的通解2.-b - . b2 -4ac 八,解法 先解特征方程ar +br+c=0的根.设特征根为r2 =，分以下2a三种情况:.212(1)当b 4ac0时，特征方程有两个相异的实根r2=(bJb 4ac ),则2a方程的通解为y =Cier1x C2er2x.一 2b 一 , 一.(2)当b -4

7、ac=0时，特征方程有重根 r =,则方程的通解为2ay = C1 C2x erx.(3)当b2 4ac0时，特征方程有一对共轲的复根r1 2 =口士i P =-b- U4ac-b2 -i-,2a2a则方程的通解为y =eax(Ci cosPx +C2 sin取).定理 若y1,y2为齐次方程ay十by+ cy =0的两个解，则y = C1yl e2 y2亦是齐次方程的解，其中Ci,C2是任意常数.又若yi, y2为线性无关时，则y = C1y1+C2y2 是齐次方程的通解.2.线性非齐次方程 ay + by + cy = f (x)的通解定理设y是非齐次线性方程的一个特解，而 y是相应的线性

8、齐次方程的通解，则其和 _*y = y y为线性非齐次方程的通解.具体解法：(1)先求ay+by+cy = f (x)的特解y ,由下表通过待定系数法可得自由项f(x)右端项与特征根特解形式euxPn(x),其中Pn (x)为n次多项式入不是特征方程的根 入是特征方程的单根 入是特征方程的重根e 浓Gn(x) xe 工 xGn(x) x2e“Gn(x)ePn (x)sin x x或ecxPn(x)cosxa十声不是特征方程的根a +iP是特征方程的根eax Qn(x)cosB x +Tn(x)sin x x】 xeax Qn (x) cos B x + Tn (x) sin 口 x 】其中 P

9、n(x),Gn(x), Qn(x),Tn(x)均为 n 次多项式.(2)再求对应线性齐次方程的通解，根据定理相加即可三、典型例题(一)解各类一阶微分方程1 .判别下列微分方程的类型，并分别求出其通解或特解.(1) cos ydysin y = ex (2) xy*-4y = x2 Jy dx22(3) (xcosy+sin2y)y=1, y |xz0 = 0的特解(4)=-一dx xy解 (1)原方程化为d sin y -sin y = ex,dxdu x令u =sin y,得u =ex,此为一阶线性方程.按公式求得其通解为 dxe 1 d dx+C 卜ex(x+C),于是原方程的通解为sin

10、y =ex(x + C).(2)原方程为xy * -4y = x2 %，y ,即y - 4 y = x,/ y ,它属于贝努利方程. x1_-dZ2x令Z = y2 ,则可化为线性方程 -Z =,其通解为dx x2Z 二 eEdxljlexdxdx+cl=x2、-xdx +C x21 - In x+C i；2-212)于是原方程的通解为y作自(3)原方程为(xcosy+sin2y)y = 1 ,它不属于一阶微分方程的四种类型，可将变量，x作为函数，于是方程改写成dxxcosy =sin 2y , dy此为x的一阶线性方程，其通解为x = e fsy 弓；口 2y4二际，弓 dy + C卜esi

11、ny 2 sin y cos y，esinydy +C 】= esinyL2 sinydeinycLesinyL2siny 右-2e”iny - dsin y-2sin y - 2 Ce代入初始条件y|x2=0 ,得C = 2 ,故所求特解为x = -2(siny+1esiny ).(4)原方程整理得dyxj丁 =,dx_yxydu1，u2齐次方程.令 一=U，则x+u=,分离变量xdx u,dxudu =,x1 2积分得u2 = ln x +C .2所以原方程的通解为22 ,22y =x In x +Cx .2 .2.求下列各微分方程的通解i 1 x, 、. 2y-12(1)y = y +x

12、e ；(2) y = -2(y ).xy 1解(1)原方程属于y“= f(x,y)类型.令y = p ,则y = p,原方程可化为P xex,x此为P的一阶线性方程，其通解为所以dy=xfex+C1),分离变量后得dy = x(ex + C1 dx ,两边积分，得原方程的通解为,，、X 12y=(x1)e 十一C1x 十C2.2(2)原方程为属于 y“=f(y,y庚型.令y= p,则y“= p型，代入原方程得dydp 2y -1p- = -2dy y 1当p =0时，得pdy =0dx,即y =C为原方程的解;当p 00时，得dp 2y-1dy y2 1p,分离变量dp 2y1两边积分ln p

13、 = ln（1 + y2 ）-arctany + In C1 ,即p=C1(1 + y2any,从而业=.(1 + 丫23”，dx分离变量，再两边积分后，得原方程通解为arctan yC1x=e+C2.3 .求方程(x+y)2dy = k2 (k为常数)的解. dx解 变量代换u = x + y ,可将原方程化为可分离变量方程.“一 du dy2 du 、2令u=x + y,则=1+,故原方程化为u -1 | = k ,即 dx dxdxJdu = dx ,两边积分得于是方程所求通解为u - k arctan u = x + C ,kx yy = karctan+C. k4 .求微分方程y2x

14、y的通解.解将方程改写为2x - 2y 为贝努利方程(n = _1),以y乘方程两端，得yy -2x10令Z =y2,则Z-Z =x2 ,由一阶线性微分方程的公式法，解得 x将Z =y2代回，得原方程的通解为5.求(5x2 y3 -2x y + y =0 的通解.dx 5x2y3-2x -dydx解父换x, y地位，得一=,或 八 一23-y+2x = 5x y , dy1此为n =2的贝努利万程.令 Z ,则上式可化为 xdy2Z =5y3,此为一阶线性微分方程，其通解为Z =Cy二+ y3,即工=Cy，y3 x为原方程的通解.6.已知方程 y + y = g(x),其中g(x) = 2,

15、0 x 1，试求一连续函数y = y(x)满足条件y(0) = 0,且在0, +好)内满足上述方程的解.解当0 MxM1时，方程y + y =2其解为y =eFxj2edxdx+C1 )=C1eU +2 ,因 ylx4 = 0,得 Ci = 2,即y = -2e + 2,当x1时，方程为y + y=0,其解为y -C2e,因my=xiim书y,于是得-2e-1 +2 = C2e,，即 C2 = 2+2e,所以xy = (2+2e)e ,于是所求方程的解为g(x)= (_ _x_-2e +2, 0x1 1 , 、，17.已知 f(x)为可微函数， f (ax)da = f (x)+1 ,求 f

16、(x). o21x斛 在所给方程两边乘 x得(f (ax)d(ax) = ? f (x) + x .令t = ax,得xxJo f (t)dt =- f (x) +x ,上式两边对x求导1 1.f (x) = f(x)+ xf(x) +1,2 2r 一,12即f (x) f(x)=xx此为一阶线性方程，其解1dx f(x)=ex .-.ldxx dx+CIn x二e2dx + C i=x 2 +C =2 + Cx为所求.、 . 、 一 . . . . . . * . . . 8.将下列二阶常系数线性非齐次微分方程设出一个特解y的形式，并说明理由.(1) y-5y +6y =3e4x(2) y-

17、y = (x2-1ex(3) y-8y + 15y = sin 3x(4) y + 4y = 2cos22x解 (1)自由项f (x) = 3e4x,特征根为=1,2 =3,而九=4不是特征根，于是设特解形式为(2)自由项f(x)=ex(x21)特征根为r1 =1,r2=1,而 =1是单根，于是设特解形式为y = x Ax2 Bx C ex.(3) 自由项f(x) =sin3x,特征根r1 =3,r2=5, 3i不是特征方程的特征根，于是设特解形式为*y = Acos3x + Bsin 3x .(4)自由项 f(x) =2cos2 2x =1+cos4x ,方程右端为 f1(x) = 1, f

18、2(x) = cos4x之和,由可加性，设 y =y1十丫2,其中y1 = A y2 = B cos4x+C sin 4x,而特征方程的根为ri =0,2 = Y,而对fi (x) =1的方程，0=0是特征方程的单根，对f2(x) = cos4x的方程4i不是特征方程的根，于是设特解形式为*y = Ax+ Bcos4x+C sin4x .9.设f (x)为可微函数，且f (x) = ex + ex【f(t)】2dt,求 f(x).方程两边对x求导，整理得/ 1 1x()+- -e ，f(x)f(x)1v 1 = -ex(-e2x +C),代入 f (0) =1,求得 Cf(x) 2f(x)=2

19、ex/(3-e2x)。10.设*(x)连续，且中(x) =exxJ0(xt产dt,求平(x)。x解 方程两边对x求导，得平(x) =ex -05(t)dt,再求导，得9”(x) +#(x) =ex,率(0) =1,平(0) =1 ,.1 .解得中(x) = (ex +cosx +sinx)。2练习1.曲线上每点（x, y）处的切线在y轴上的截距为2xy2,且曲线过点（1,2）,求此曲线方程.解 设曲线的切线方程为Y y = y(Xx),令X=0,于是切线在y轴上的截距为 xy + y,从而2_ xy + y = 2xy ,rr.12即y y - -2 yx为贝努利方程，设u = y,，上方程化为1 ou 十一 u = 2,x_r!dx 产口dx、 c其通解为u=e xf2ex dx+C = x +,Ix x1C所以一 =x + ,yx1因曲线过(1, 2),代入上式，求得C =-,于是所求的曲线方程为211二x 一一 .y2x2,已知 f(x)为可微函数，且 f(x)=1 + /Sintcostfcost】dt,求 f(x).解 方程两边对x求导，得f (x) = sin x cosx - f (x) cosx ,为一阶线性微分方程，解得一 cosxdx .|cos xdxf (x)= e sin xcosx e dx C