复变函数与积分变换期末考试题

1、哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年 第一 学期） 2011-01-041、 （ ）. 不存在 2、若在发散，则它在 （ ）.A. 收敛 收敛 C. 发散 D. 均不正确3、已知函数，则，分别是的 （ ）.二阶极点、孤立奇点 二阶极点、非孤立奇点可去奇点、孤立奇点 可去奇点、非孤立奇点4、映射在处的旋转角为 （ ）. C. D. 5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）.I：设解析，则是的共轭调和函数 III：的导数存在的充要条件是的偏导数分别存在：在任意圆环域不能展开为洛朗级数 3 6、设，则 .7、若函数为某一解析函数的虚部，则常数 .8、设函数的泰勒展开式为，则它的收

2、敛半径为 .9、设信号，则通过Fourier变换得到的频谱函数 .10、设，则通过Laplace逆变换得到 .11、函数在何处可导？何处解析？12、设是解析函数，且，求.13、计算积分，其中为负向，为整数.14、计算积分，其中为正向.15、利用留数定理计算定积分.16、求函数在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆内；(2) 环内；(3) 环内.17、设正向，试求： (1) 在复平面上除去的点处的函数表达式； (2) 及.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.平面 (1) Z平面阴影部分是角形区域，如下图所示。通过何种变换，保形映射为平面上的右半平面？在下图方框中填入该变

3、换. (2) ，在下图中画出经过该映射后的区域.19、质量为的物体挂在弹簧系数为的弹簧一端（如下图所示），其中常数为固有频率，为作用在物体上的外力。若物体从静止平衡位置开始运动，物体的初始位移初始速度大小，根据牛顿定律可得到方程：假设在初始时刻时，物体受到外力（为单位冲击函数），应用Laplace变换，求解物体的运动规律。xx=0mxkxf(t) 20、假设在给定区域D解析，且，若为常数，证明：为常数.21、若收敛而级数发散，证明：幂级数的收敛半径为1.题号一二三总分分数评卷人 哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2012 年 秋季 学期） 课程编号：0911009 课程名称：复变函数与积分变换

4、(A卷) 2012-12-021. .2. 设，则 .3. 幂级数的收敛半径= .4. 设为正向圆周，则积分 .5. 设C为包含原点的任意一条正向简单闭曲线，则 . 6. 0是函数的孤立奇点，其类型为 .（如果是极点，则要说明阶数）7. 函数在复平面内的所有有限奇点处留数的和为 . 8. 映射将平面内的圆域映射到平面内的区域为 .9. 函数在处的转动角为 .10. 已知函数，则 . 说明：请将以下单项选择题的答案按题号写入下表中.123456789101方程所表示的平面曲线为（）.(A) 圆(B) 直线(C) 椭圆(D) 双曲线2极限的值为（）.(A) (B) 1(C) (D)不存在3设，则为

5、（）.(A) (B) (C) (D) 4下列等式中，不成立的是（）.(A) (B) (C) (D) 5下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（）.(A) (B) (C) (D) 6在复平面内，下列命题正确的是（）.(A) (B) (C) 是有界函数(D) 7下列积分中，积分值不为零的是（）.(A) ，其中C为正向圆周(B) ，其中C为正向圆周(C) ，其中C为正向圆周(D) ，其中C为正向圆周8设C为正向圆周, 则积分的值为（）.(A) (B) (C) (D) 9是函数的（）.(A) 可去奇点(B) 一阶极点(C) 本性奇点(D)一阶零点10已知，则下列命题中正确的是（）(A) (B) (C)

6、 (D) 1. 已知为调和函数，求以为虚部的解析函数.2. 求在圆环域和内的洛朗展开式.3. 利用留数计算积分.4. 求分式线性映射，使下半平面映射为单位圆内部，并满足条件，.5. 利用拉氏变换解常微分方程初值问题.6. 求函数的傅氏变换，其中为单位阶跃函数，为单位脉冲函数.2012.12.2复变函数与积分变换期末考试A卷标准答案与评分标准一、 填空题（每小题2分，共20分）1.或； 2. 或； 3. ； 4. 0； 5. 0；6. 三阶极点； 7. 0； 8. 或； 9. 0； 10. 二、 选择题（每小题2分，共20分）1. D； 2. D； 3. B； 4. C； 5. C； 6. A； 7. D； 8. D； 9. A； 10. B三、 计算题（每小题5分，共30分）1. 解答：因为是调和函数，则由C-R方程，, 则, .2分又由，即，故, 所以。.2分 则 . .1分 2. 解答： (1) 在内： .3分(2) 在内： .2分3. 解答：被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴上无奇点，在上半平面有一个一阶极点,