复变函数复习要点

1、复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上

2、连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件

3、解决解析函数为常函数的各种条件；4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算（即直接利用这些函数的结构表示来计算）；8、熟练幅角连续改变量的计算公式；熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求

4、终值的公式，并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值；9、熟练掌握（其中是多项式）的单值化方法（包括支点的确定方法，支割线的作法），以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。第三章复习要点1、熟悉复积分的定义，复积分与实部、虚部两个二元实函数的实积分的关系；2、熟悉复积分的基本运算性质（线性性，曲线可加性，沿正向积分与负向积分的关系，估值性）；3、熟练掌握复积分的基本计算法（即参数方程法），熟练掌握复积分的牛顿莱布尼茨公式；4、熟悉柯西积分定理的三种常用形式（基本形式、推广形式、一般形式），并能熟练运用柯西积分定理简洁地计算某些复积分和某些实积分；能用柯西积分定理解决解析函数的原函数的存在问

5、题；5、熟悉几个典型积分的值（如：）6、熟练掌握柯西积分公式，并能利用该公式简洁地计算某些复积分和实积分；7、熟练掌握解析函数的无穷可微性（包括解析函数的高阶导数公式，以及利用高阶导数公式简洁计算某些复积分和实积分）和解析函数的积分定义法；8、熟练掌握柯西不等式，并能用柯西不等式解决关于整函数的刘维尔定理；9、掌握刘维尔定理以及刘维尔定理的应用（如判断整函数为常函数，证明代数学基本定理）。第四章复习要点1、能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛、条件收敛等概念掌握复级数收敛的必要条件（例如，通项的极限为零）和充要条件（例如，级数收敛的柯西收敛准则；复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系），特别

6、是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题。例如：利用复级数的和求实级数的和的问题等，如利用，其中，求实级数和，的和。2、了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质，比如：收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；两指标级数的求和法则，即在，以及，都是同号级数或至少有一个绝对收敛的条件下，有，成立。注意：上面所列的性质中，乘积性和两指标级数的求和法则也是今后求有些复杂解析函数的幂级数展式或洛朗展式的完整形式时经常用的技巧，而这样的技巧往往是传统数学分析教材中

7、忽略的。3、了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭一致收敛的含义；掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法，并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛；掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性。下面关于复函数项级数在区域内（内闭）一致收敛的几个结论是数学分析中忽略或没有的： 在区域内内闭一致收敛对任意，存在的某邻域，使得在内一致收敛（称为内闭一致收敛的局部判别法）；【此结论的必要性显然，充分性利用柯西准则和有限覆盖定理即可证明】注意：在数学分析中，我们也可建立类似的平行结论。 设解析函数项级数在区域内收敛，则

8、在区域内内闭一致收敛在区域内内闭一致收敛对任意整数，在区域内内闭一致收敛； 设为有界区域，每一项函数在内解析，在上连续，若在上一致收敛，则在上一致收敛，进而在内一致收敛。注意：上面的两个结论是解析函数项级数特有的，对数学分析中的可微函数项级数，上面的两个结论一般不成立。4、熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法：记，是的不解析点中距最近的点，则幂级数的收敛半径有下面两个常用的计算公式：利用系数计算的公式：（常规公式，也称柯西阿达玛公式）。利用和函数的计算公式：（技巧性公式，前提是要知道和函数）。5、熟练掌握同类幂级数的运算性质。比如：设有两个同类幂级数，其收敛半径分别为，不妨设，则在它们收敛的公

9、共圆域内加、减性：。乘积性：。注意：（1）在用乘积性时，级数不能缺项，若缺项需要将所缺项补齐后，再用乘积性。（2）缺奇数项或偶数项幂级数的两种补项技巧： 对形如的级数可借用因子的取值特点进行补项得：；对形如的级数可借用因子的取值特点进行补项得：。 对形如的级数可借用正弦值的取值特点进行补项得：；对形如的级数可借用正弦值的取值特点进行补项得：。6、熟练掌握幂级数和函数的如下性质：设的收敛半径，则在其收敛圆内逐项积分性：。逐项微分性：。收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，即，（逐项微分），（逐项积分）这三个幂级数具有相同的收敛半径，从而有相同的收敛圆和收敛圆周。注意：对收敛半径在逐项积分和逐项

10、微分下的不变性，只要注意到下面的上极限等式立即可得。 以上第5和6两个要点是求解析函数幂级数展式的间接法的基础之一。7、掌握泰勒定理的条件和结论，了解解析函数的（幂）级数定义法，从而理解为什么只有当函数在一点解析时，函数在这一点才能展开成幂级数。熟练掌握如何将解析函数在指定的解析点展开成幂级数的方法（常用的有三种：直接法，间接法和利用解析函数的惟一性的方法）和技巧，并牢记如下几个主要初等解析函数的幂级数展开式（称为基本展式）：，。，；，。，其中表示对数函数的主值支，即满足的单值解析分支函数（其中支割线为：）。，其中表示的第个单值解析分支函数。，其中为复常数，表示一般幂函数的主值支，即满足的单值

11、解析分支函数（其中支割线为：）。其中表示的第个单值解析分支函数。特别，当时，；，。注意： 在间接法中，除常规方法外，还应关注下面两种数学分析中忽略的方法： 对于两个基本展式中所涉及的函数的商的幂级数展式，可先分别求出和的展式，然后用代数中的辗转相除法； 对于两个基本展式中所涉及的函数复合而成的函数在处的幂级数展式，可先求出外函数展式，再求出的展式，最后用两指标级数的求和法则得出结论，例如，当时， 当有些乘积函数可划归为适当简单函数的线性组合时，此时函数的幂级数展式可利用同类幂级数的线性运算更为简单地算出，例如，等。8、掌握解析函数零点以及零点阶数的定义，掌握解析函数零点阶数的判别方法（即解析函

12、数以为阶零点存在的某邻域，使得在内，其中在内解析，且）并能合理利用零点阶数的定义或零点阶数的判别法确定解析函数零点的阶数。能正确理解并掌握解析函数零点孤立性。掌握解析函数的唯一性及其初步的应用（比如，利用唯一性证明三角恒等式，解析函数的幂级数展式，解析函数的最大模和最小模原理等），掌握解析函数的最大模和最小模原理的初步应用。解析函数的最大模原理及其几个相关的结论：最大模原理：设函数在区域内解析，则在区域内取得最大值的充要条件是在区域内为常函数。设为有界区域，为其边界，若在内解析，在闭区域上连续，则，即在上的最大值一定能在边界上取得。最小模原理：设函数在区域内解析，且，则在区域内取得最小值的充要

13、条件是在区域内为常函数。设为有界区域，为其边界，若在内解析，在闭区域上连续，且，则，即在上的最小值一定能在边界上取得。第五章复习要点1、了解形式幂级数（即洛朗级数或双边幂级数）的含义及其收敛的定义，并能解释其收敛范围为什么一般只能是圆环。掌握洛朗级数在其收敛圆环内的性质（解析性，逐项积分和逐项微分性）。掌握圆环形区域内解析函数的洛朗展开定理（即洛朗定理），并能熟练地将解析函数在指定的圆环内展开成洛朗级数。注意： 求解析函数在指定圆环形区域内的洛朗展式的方法，基本上是沿用求幂级数展式的方法。不过在运用基本展式时要注意，先根据所求展式的要求（一般由指定的圆环或去心邻域来确定），并兼顾所要用的基本展

14、式成立的范围，把的适当幂作为一个整体，再用基本展式。例如，将函数在内展成洛朗级数，此时，根据基本展式，成立的范围是，我们可以先将函数变形为，然后将作为一个整体，对在圆环内用基本展式得，。 解析函数在使其解析的圆形区域内的幂级数展式，也就是它在此圆形区域内的洛朗展式，即洛朗展式是幂级数展式的推广，因此，当函数在一个圆形区域内解析时，要求函数在此圆形区域内的洛朗展式，只须求出此函数在该圆形区域内的幂级数展式即可。 理解函数在圆环内能展开成洛朗级数的条件是什么（注意：条件是函数在圆环内解析）？正确理解函数在使其解析的圆环内的洛朗展式与函数在其孤立奇点去心邻域内洛朗展式的关系和区别（注意：函数在其孤立

15、奇点去心邻域内洛朗展式是指函数在一个内圆半径为零的特殊圆环内的洛朗展式），能正确地求出函数在其孤立奇点去心邻域内的洛朗展式。2、了解解析函数孤立奇点（包括）的含义，会用解析函数在其孤立奇点去心邻域内的洛朗展式，对解析函数的孤立奇点进行分类。注意： 孤立奇点的分类是借助函数在其孤立奇点的去心邻域（这是一个特殊圆环）内的洛朗展式来进行的，而不是借助以孤立奇点为心的一般圆环。 若函数以为孤立奇点，在的主要部分（或奇异部分）是指在圆环内的洛朗展式中的部分，这与函数在有限孤立奇点处的主要部分不同。关于函数的孤立奇点的类型的判别，虽有类似于有限孤立奇点类型判别的方法，但在实际判别时，我们常常也通过变换将它

16、化为判别函数的孤立奇点的类型进行判别。3、掌握解析函数的各类孤立奇点的特征定理，并能熟练地运用这些特征定理来判断解析函数的孤立奇点的类型。注意：用本性奇点的特征定理判断本性奇点并不一定方便，实际上对本性奇点的判断常用以下方法： 定义法（也称洛朗展式法）； 排除法（即先确定所考虑的点为孤立奇点，然后用反证法说明所考虑的不是可去奇点和极点，进而得出所考虑的点是本性奇点）- 此方法的依据就是孤立奇点分类的定义； 利用下面第5点（4）中列举的关于本性奇点的几个结论。4、（选学内容）初步掌握整函数与亚纯函数的定义，并会用其奇点（包括）的类型对它们进行初步的分类。5、几个有用的结论：（1）若分别为解析函数和的阶零点和阶零点，则必为的阶零点；当时，必为的阶零点；当时，或者为的至少阶零点，或者；当时，必为的阶零点；当时，不是的零点，且为解析点（可去奇点）；当时，不是的零点，且为的阶极点.（2）解析函数的四种等价性定义：设是定义在区域内的一个复变函数，则下面的四种说法是等价的函数在区域内可导（可微）；和都在区域内可微（或具有连续的偏导数）且在