第8章空间解析几何和向量代数课本基础知识

1、第一节 向量及其线性运算1、空间直角坐标系2、方向角和方向余弦3、投影的性质（1） 为a,u夹角（2） （3） 4、投影表示的是一个模长度。由（2）图点M(x0,y0,z0)在x轴上投影就是x0=|OM|*cos a，如果求OM在某个向量OA上的投影，则角度a就是OM和OA夹角即可，十分简单。第二节 数量积 向量积 混合积1、数量积定义数量积典型例子是恒力做功。有下面三种形式：（1） （2）若 ，有（3）若 ，有根据定义，显然有若，则显然有， 2、数量积性质：设 ，则有 又因为 ，因此有注意： 范围是0到后面所学的线面，面面夹角都是0到/2范围。3、向量积的定义向量积典型例子是力矩其位置关系

2、，其大小，满足位置和大小的这种关系，我们记作，即向量积。角的范围仍是0-注意：数量积是一个具体数值，而向量积是一个向量。4、向量积性质（1） 这是显然的。注意，这里的0是一个向量显然可以知道，若两个向量平行，则其叉乘的积是0.这个可以作为判断两个向量是否平行的依据。（充要条件）事实上，若，则 因此，即： 这个结论就是，若平行，则有a,b的分量比值相等。这与我们几何上的直观感觉是一致的。（2） （3） （4） （5） 注意： 要依照i,j,k的顺序叉乘则大于0，否则小于0；6、混合积定义: 7、几何意义：就是一个斜平行六面体的体积注： 8、性质：（1）三向量共面的充要条件是 （2） 用6可以瞬间

3、证明该结论。且可知，不符合该顺序的值与该值互为相反数。如9、向量 有两种表示方法： ，计算时候也有多种方法算。点乘时，既可以分量之间，又可以整体运算，还可以用Prj算，如在a上投影。叉乘时。既可以分量之间，也可以整体运算。混合积时候既可以分量之间，也可以用物理意义：平行体体积运算，当然还可以用上面说的叉乘点乘混和运算。第三节 曲面及其方程 1、曲面的概念曲面方程表达形式是f(x,y,z)=0.建立一个符合题意的曲面一般是表达出一个一般点的规律。球面方程： 其特点是平方项系数相同没有交叉项。这是判断是否球面方程的直观依据2、旋转曲面在一个平面（如XOZ）上有一条曲线f(x,z)=0，那么它可以绕

4、X或Z轴旋转。得到一个旋转曲面，则这个旋转曲面的方程有如下规律：绕谁谁不变，缺啥就补啥（补 ）如绕X旋转，则曲面方程为 若上面的f(x,z)=0是直线，那么绕x旋转得到的就是圆锥面。其形式为 圆锥面方程的特点是有两个平方项系数相同，而且两项是相加的。平面上双曲线方程是 若绕x轴显然是请记住这种形式。3、柱面缺至少一个量，就是柱面。如是一个圆柱，上下无底4、二次曲面（要求给出方程能想出曲面形状。不要求会求）旋转抛物面（旋转） 绕z轴旋转而来椭圆柱面（柱面）Xoy平面上的一个椭圆，z取任意值，可得双曲柱面（柱面）仍是xoy平面画好，z取任意值而得抛物柱面（柱面） 仍是xoy平面画好，z取任意值而得

5、椭圆锥面（二次曲面） 任取z=t0可以得截面是一个渐大的椭圆，故得名椭球面（二次曲面） 先把xoy上的椭圆绕y轴旋转，得再把z轴伸缩c/a倍，得方程单页双曲面（二次曲面） Xoz平面上的 绕z轴旋转，得再把y方向伸缩b/a倍即得。注：z=t0截面是椭圆双叶双曲面（二次曲面）Xoz平面上的 绕x轴旋转，得再把y方向伸缩b/a倍即得。注：z=t0截面是椭圆正面侧面：椭圆抛物面（二次曲面） Xoz平面上的 绕z轴旋转，得再把y方向伸缩b/a倍即得。双曲抛物面（马鞍面）（二次曲面）先用X=t0截，得一条开口向下的抛物线。T靠近原点时，抛物线逐渐缩小至0，可见是一个抛物线的沿x轴放大的过程。正面：侧面：

6、5、两个曲面所围立体在坐标面上的投影其实很简单，如求在XOY面上的投影，就是两个曲面方程联立，消去Z得投影柱体，再联立一个Z=0，就是XOY上的投影轮廓线，改成<=号，就是投影的轮廓面。第四节 空间曲线及其方程 1、定义空间曲线的一般方程：曲线可以看成是两个曲面的交线，因此方程为 ，即F曲面与G曲面的交线。因此判断一个曲线形状，要先分别看出F、G曲面的形状。让人不好理解的是，潜意识中会认为是线组成面，很难想到面组成了线。空间曲线的参数方程： 给定一个t值，对应一个空间点，给定很多t值，就得到了一条线。2、空间曲线在坐标面上的投影（重积分，曲面积分要大量用到！）设空间曲线方程，若想得到这条

7、曲线关于xoy的投影，则先消去z，设得到的方程为 。这样可以得到一个以该曲线为准线的柱体垂直于xoy。那么投影线毕竟是一条线，即柱体与xoy平面（即方程z=0）的交线，故再联立一个z=0即是该曲线在xoy上的投影方程。 这个方法必须理解而不是死记硬背，因为有时候要求的是空间曲面的投影。 第五节 平面及其方程（抓准法线解决） 1、平面的点法式方程 如果已知一个直线垂直于要求的平面，该直线则为平面的法向量。这样就确定了该平面的倾斜方向，但是位置不确定。为此，再已知该平面上一个点，那么位置也确定了，也就是该平面也确定了。设已知平面的法向量 ,平面上有一点 则平面方程可求：设平面上任意一点则满足条件：

8、 解得方程为 若已知平面上3点M0，M1，M2，则一看仍可确定平面方程，如何确定？可以通过 方式获得n，然后在用点法式去求。要说明的是，这都是通过面线垂直点乘方法求得，无法直接通过面线平行的×乘方式求，因为平面上的线并不平行。2、平面的一般式方程把点法式拆开，得到这里D=-(Ax0+By0+Cz0)仍可以取到任意常数（不信可以回朔试试，毕竟x0，y0，z0可选无穷多），因此这说明就是一个平面的一般方程。其中（A、B、C）是平面的法向量的坐标。若D=0，显然是x0,y0,z0=0说明该平面通过原点。若A=0，说明法线是(0,B,C)即法线在YOZ平面上，也说明法线垂直于x轴，故所求平面

9、应该平行于x轴，垂直于YOZ平面。若A、B=0，说明法线是(0,0,C)即法线在z轴上，则所求平面一定垂直于Z轴，平行于XOY平面。若ABC都=0，则法线为（0,0,0）是原点，则这尼玛就不存在什么规律了。3、平面的截距式方程设平面过(a,0,0)、(0,b,0)、(0,0,c)三点，则代入一般式，求得有平面方程为：。事实上，如果给出3点M0,M1,M2肯定是存在一个平面的，平面方程很简单，求出了法向量就好求平面方程了。4、两平面的夹角：两个平面的夹角一画图，就是等于两个法线的夹角。因此求平面的夹角只要求法线夹角就行了，因为直接用平面求夹角非常难。注意，定义中，两个平面的夹角是0-/2而平面一

10、般式方程中（A、B、C）就是法线，因此很简单。5、空间点到平面的距离计算：设空间有点P0(x0,y0,z0)，求它到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。解：任取平面上一点P1（x1,y1,z1），设定一个n在P0的正下方，显然有P0到平面的距离d为 ,当然这里的n不一定是（A，B，C），（但一定是k(A,B,C)中的某一个k值，当然这与本题无关）。因此。不妨上下同乘个数这个n我巧妙的令它为(A,B,C)反正令为多少都行 因为不管n是几，夹角一定是不变的，有 （因为展开后Ax1+By1+Cz1 =-D）注意，分母无D2本题关键就是用投影方法，上下同时乘以一个已知|n|巧妙推导。5、法向量的问题注

11、意，虽然系数（A,B,C）是该平面方程的法向量，但是平面法向量有无数多个，这只是其中之一。其他法向量诸如： 都是该平面的法向量。因为（kA,kB,kC）代入仍满足方程。第六节 空间直线和方程（抓准方向向量解决）1、空间直线的一般方程曲线是两个曲面相交，则直线就是两个平面相交，所以将两个平面联立起来就得到了空间直线。 注意的是，平面组成了一条直线，但是很多其他平面也可以组成这条直线，因此可能几对平面方程外观不一样，但是可能表示的是同一条直线注意，其方向向量是两平面的法线的叉乘，即 2、空间直线的对称式方程设所求直线L的方向向量s(m,n,p)已知，又已知直线L上的一点M0(x0,y0,z0)，那

12、么显然，直线L是可以确定下来的。设L上任意点M(x,y,z)，则向量 ，可得两向量各分量比值相同，即 这就是直线的对称式方程，又称为点向式方程。显然其方向向量就是下面的分母 3、空间直线的参数式方程设对称式方程，则 就是直线的参数方程。很简单吧，把推理过程来源弄好就都记下来了。4、空间两条直线的夹角空间两条直线的夹角就是其方向向量的夹角。而两个向量之间的夹角公式之前已经学过， 。因此只要找到方向向量，即可求出两直线的夹角。复习一下，之前学过，两直线垂直有两直线平行有5、空间直线和平面的夹角涉及直线就想平行向量 ，涉及平面就想法向量。因此直线与平面的夹角 ，则 若直线与平面平行，则s与n垂直，则Am+Bn+Cp