第十一章无穷级数(函数项级数、傅里叶级数)

1、第十一章 无穷级数11.1常数项级数11.1.1常数项级数的基本概念和基本性质(1)常数项级数的基本概念无穷多个数，依次相加得到的表达式称为常数项级数；常数项级数前项的和()称为常数项级数的部分和；若常数项级数存在，则称收敛，否则为发散.(2)常数项级数的基本的性质若两个常数项级数和中，一个收敛，一个发散，则发散；若和均发散，则的敛散性必须具体讨论；常数项级数收敛的必要条件为.11.1.2正项级数敛散性的判定若，则称为正项级数.(1)比较判别法设，若,则有：当时，和同时收敛或发散；当时，若收敛，则收敛.(2)比值判别法(3)根值判别法(4)与的比较若且，则收敛；若且，则发散.由以上结论可知：级

2、数，当时收敛，当时发散.【例11.1】证明调和级数是发散的.解：显然直接通过以上4种结论是得不出调和级数的敛散性.但这个级数的前项的部分和为：由于级数发散，所以由比值判别法可知级数发散.11.2.3交错级数的敛散性判别法若，则称为交错级数.若收敛,则收敛；若且()，则收敛.证明：因为所以是单调增加的，又有是有界的，根据单调有界数列极限定理，可知必有极限，令,因为，所以，所以交错级数收敛.【例11.2】判别级数的敛散性（包括绝对收敛或条件收敛）.解：由于级数,而由例11.1可知级数是发散的，根据常数项级数的比较判别法，所以也是发散的，即原级数不是绝对收敛.令()，记()，求导得，而，所以，所以为

3、增函数，易知为增函数，又易知为减函数，又因为，综上，原级数收敛，且为条件收敛.11.2.4绝对收敛与条件收敛(1)绝对收敛与条件收敛的定义若级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛.(2)绝对收敛与条件收敛的基本结论若收敛,则收敛；条件收敛级数的正项(或负项)构成的级数一定发散，即级数与均发散.11.2函数项级数11.2.1函数项级数的基本概念设函数()有共同的定义域，(1)称为函数项级数；(2)若,常数项级数收敛，则称为的收敛点，否则就是发散点.所有收敛点的集合就是收敛域，所有发散点的集合就是发散域；(3)函数项级数在其收敛域内有和，其值与收敛点有关，记做，称为级

4、数的和函数，即(属于收敛域).11.2.2幂级数形如的级数称为的幂级数，其中()和为常数.(1)幂级数收敛的特点级数，可令,那么只要求出级数的收敛域即可求出原级数的收敛域.下面是级数的收敛特点：设级数在处收敛，则时，绝对收敛；设级数在处发散，则时，发散.由以上结论我们可以推断出：一定存在,使得当时，级数绝对收敛，当时，级数发散.我们把此称为级数的收敛半径；逐项求导所得幂级数的收敛半径不变.若级数在时发散，则逐项求导后所得幂级数一定发散；逐项积分后所得幂级数的收敛半径不变.【11.3】求级数的收敛区间.分析：根据中的结论，所以可以先求出绝对收敛区间，再对等于收敛半径时的收敛性进行另外讨论.解：根

5、据正项级数的比值判别法有，而，所以时，级数收敛.当时，原级数为，这是一个交错级数,由于且，所以当时，原级数收敛.当时，原级数为发散，综上，所以级数的收敛区间为.(2)幂级数的和函数在4.5节中，通过泰勒定理，得出了函数与幂级数的一些关系.求幂级数的和函数，利用拆分、复合、逐项求导和逐项积分等手段将其化为如下5个基本的初等函数的幂级数形式.(1),()(2)，()(3)，()(4),()(5),()【例11.4】求幂函数的和函数和收敛区间.解：，令，,()；,()；,()，当时，和函数是不能运算的，但原级数,且，这说明在处收敛且连续.11.2.3傅里叶级数任何周期函数都可以用正弦函数(,为非零常

6、数)和余弦函数(,为非零常数)构成的傅里叶级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）.(1)三角函数系的正交性三角函数系，其中为非零常数，它们中任意两个不同的函数的乘积在上的积分等于，而任意两个相同的函数的乘积在上的积分不等于0称为三角函数系的正交性,例如：，.(2)傅里叶级数设函数以为周期或只定义上，且在可积，若(),(),则称(必须单独计算)，为函数的傅里叶系数.三角级数称为的傅里叶级数，记作：，注：当的傅里叶级数收敛且收敛于函数本身时，有：. 函数为奇函数时，；函数为偶函数时，.(3)傅里叶级数收敛的充分条件若函数在区间上满足：连续，或只有有限个第一间断点；只有有限

7、个极值点，则在区间上的傅里叶级数收敛，而且有：【例11.5】在区间内把函数展开为傅里叶级数.解：，作周期延拓的图象如图11.1， 图11.1显然拓展成后周期函数满足傅里叶级数收敛的充分条件，故可展开为傅里叶级数 由系数公式得：.当时，由于为偶函数，所以，所以,.函数级数，的图像与图11.1相似.【例11.6】把周期为函数展开为傅里叶级数.解：函数的图像如图11.2 图11.2显然满足傅里叶级数收敛的充分条件，故可展开为傅里叶级数 选定一个周期区间由系数公式得：，当时，由于为偶函数，所以，所以,.(4)傅立叶变换中的吉布斯现象将具有不连续点的周期函数进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成.当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点.当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%.【例11.7】将的函数拓展成奇函数形式的傅里叶级数，并画出傅里叶级数有限项数的图像解：函数，作奇延拓后的函数如图11.3， 图11.3显然拓展后的奇函数满足傅里叶级数收敛的充分条件，所以可展开为傅里叶级数.由系数公式得:，.的部分图像如图11.4蓝色线条，图11.4的部分图像如图11.5红色线条,图11.5从上述部分项的图像可以看出，不连续点处有吉布斯