03方程与方程的解法

1、0.3 0.3 方程与方程的解法方程与方程的解法 【复习目标】【复习目标】 1.理解一元一次方程、一元二次方程、分式方程、根式理解一元一次方程、一元二次方程、分式方程、根式方程的概念及解法方程的概念及解法. 2.能灵活运用一元二次方程根的判别式以及根与系数的能灵活运用一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系解决有关问题关系解决有关问题. 【知识回顾】【知识回顾】 1.方程方程:含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程.方程可作如下分类方程可作如下分类: 整式方程整式方程 二次方程二次方程 有理方程有理方程代数方程代数方程 高次方程高次方程 分式方程分式方程 无理方程无理方程(根式方程根式方

2、程) 一次方程一次方程2 2. .一元二次方程一元二次方程: : 只含有一个未知数只含有一个未知数, , 且未知数的最高次数是且未知数的最高次数是 2 22 2的整式方程叫一元二次方程的整式方程叫一元二次方程 , , 其一般形式是其一般形式是axax+ bx+bx+ c=c=0 0( (a a0 0) ). . ? ?2 2( (1 1) ) 一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式 : :x=x=( (b b- -4 4acac0 0) ). . ?( (2 2) ) 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 : : 有开平方法、配方法、公式法、因式有开平方法、配方法、公式法、因式分解法等分

3、解法等. . 2 2( (3 3) ) 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 : : =b=b- -4 4acac叫一元二次方程叫一元二次方程2 2axax+ bx+bx+ c=c=0 0( (a a0 0) )根的判别式根的判别式. .( (当当 0 0时时, , 方程有两个不相等的实数方程有两个不相等的实数根根; ; 当当 = =0 0时时, , 方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根 ; ; 当当 0 0得得即当即当?kk?且且?kk?, , 又又k-k-1 10 0, ,k k1 1 ?k=k=? k k1 1时时, , 原方程有两个不相等的实数根原方程有两个不相等的实数

4、根. . ( (2 2) ) 由由 =-=-8 8k+k+1212= =0 0, , 得得 ?当当k=k=?时时, , 原方程有两个相等的实数根原方程有两个相等的实数根. . ?( (3 3) ) 由由 =-=-8 8k+k+1212 k? ?当当kk?时时, , 原方程没有实数根原方程没有实数根. . 【例【例 4 4】 已知方程已知方程x x+( ( 1 1- - ? ) )x-x- ?= =0 0的两个根为的两个根为x x1 1, ,x x2 2, , 不解方程不解方程, , 求求?+?的值的值. . 2 2【分析】【分析】 利用根与系数的关系利用根与系数的关系, , 可以不解方程可以不

5、解方程, , 求求?+ ?的值的值, ,方法是将式子转化成方法是将式子转化成x x1 1+ x x2 2, ,x x1 1x x2 2的形式的形式, , 要注意公式的变形要注意公式的变形. . 2 2【解】【解】 = =( (1 1- - ? ) )- -4 41 1( (- - ? ) )= =3 3+2 2 ? 0 0 2 2x x1 1, ,x x2 2是方程是方程x x+( (1 1- - ? ) )x-x- ?= =0 0的两个根的两个根, , x x1 1+ x x2 2=-=-1 1+x x1 1x x2 2=-=- ? ? , ,2 2?+?= =( (x x2 2) )- -

6、2 2x x1 1x x2 2 ?x x1 1+2 2= =( (- -1 1+- - ? ) ) ? ) )- -2 2( (2 22 2= =( (- -1 1) )+2 2( (- -1 1) ) ?+( (2 2 ?= =3 3 ? ) )+【例【例 5 5】 以以 1 1+ ? 和和 1 1- - ? 为两根的一元二次方程是为两根的一元二次方程是 . . 【分析】【分析】 由根与系数的关系可知由根与系数的关系可知 , , 两根为两根为x x1 1、x x2 2的一元二次方的一元二次方2 2程为程为: :x x- -( (x x1 1+ x x2 2) )x+x+ x x1 1x x2

7、 2= =0 0. . ?+ ?= (?+ ? ) + (? ? ? ) = ?【解】【解】 由题意可知由题意可知, , ?= (? + ? )(? ? ) = ?2 2满足条件的一元二次方程为满足条件的一元二次方程为x x- -2 2x-x-5 5= =0 0. . 【例【例 6 6】 ?解方程解方程?- -= =? ? +? ?【分析】【分析】 本题可用去分母法进行求解本题可用去分母法进行求解 ,即在方程两边同时乘以即在方程两边同时乘以最简公分母最简公分母,约去分母约去分母,化成整式方程进行求解化成整式方程进行求解 ,注意要验根注意要验根. 【解】【解】 去分母去分母,即方程两边同时乘以即

8、方程两边同时乘以 (x2-1),得得 x(x+1)-2(x-1)=4 整理得整理得 x2-x-2=0 x1=2,x2=-1 经检验经检验:x=-1是增根是增根,x=2是原方程的根是原方程的根. 原方程的根是原方程的根是x=2 【例【例 7 7】 解方程解方程 ?+ ?=-x=-x 【分析】【分析】 本题可用两边平方法本题可用两边平方法 ,将无理方程化为有理方程将无理方程化为有理方程进行求解进行求解,注意要验根注意要验根. 【解】【解】 方程两边同时平方得方程两边同时平方得x+6=x2 即即x2-x-6=0 (x-3)(x+2)=0 x1=3,x2=-2 经检验经检验:x=3是增根是增根,x=-

9、2是原方程的根是原方程的根. 原方程的根是原方程的根是x=-2 【同步训练】【同步训练】 一、选择题一、选择题 1 1. .方程方程- -2 2x=x=2 2x-x-1 1的根是的根是 A.A.x=x=0 0 B.B.x=x=? C.C.x=x=1 1 D.D.x=x=?【答案】【答案】D ) ) ( ( 2.方程方程x2-7x-8=0的根为的根为 A.x1=-2,x2=4 C.x1=8,x2=-1 【答案】【答案】C ( ) B.x1=-4,x2=2 D.x1=-8,x2=1 3.方程方程(x-1)(x+2)=-2的根为的根为 ( ) A.x1=1,x2=-2 B.x1=0,x2=1 C.x

10、1=0,x2=-1 D.x1=1,x2=-1 【答案】【答案】C 4.关于关于x的方程的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条是一元二次方程的条件是件是 ( ) A.m-1 C.m-1且且m2 【答案】【答案】C m2 m=-1或或m2 B.D.5 5. .关于关于x x的方程的方程mxmx+( ( 2 2m+m+1 1) )x+x+ m=m=0 0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根, ,2 2则则mm的取值是的取值是( ( A.A.m-m-? C.C.mm4 4 【答案】【答案】D ) ) B.B.m-m-m-?且且mm0 0 6.已知方程已知方程3x2+(m+4)x

11、+(m+1)=0的两根互为相反数的两根互为相反数,则则m的值是的值是 ( ) A.4 B.-4 C.1 D.-1 【答案】【答案】B 7.以以5和和4为根的一元二次方程是为根的一元二次方程是 ( ) A.x2+9x+20=0 C.x2+9x-20=0 【答案】【答案】B x2-9x+20=0 x2-9x-20=0 B.D.8 8. .在下列方程中在下列方程中, , 有实数根的是有实数根的是 ( ( ) ) A.A.?+2 2= =0 0 C.C.?+? +?= =0 0 【答案】【答案】D B.B.?= =0 0 D.D.? (? +? )? +?= =0 0 ? +? ? ? +?9 9.

12、.方程方程?- -?= =的实数解是的实数解是 ?( ( ) ) A.A.x x1 1=-=-4 4, ,x x2 2= =1 1 C.C.x=-x=-4 4 B.B.x x1 1= =4 4, ,x x2 2=-=-1 1 D.D.x=x=1 1 【答案】【答案】C 1010. .方程方程 ? + ?=-x=-x的实数解是的实数解是 ( ( ) ) A.A.x x1 1= =1 1, ,x x2 2= =2 2 C.C.x x1 1=-=-1 1, ,x x2 2= =2 2 【答案】【答案】B B.B.x=-x=-1 1 D D. .无实数解无实数解 二、填空题二、填空题 2 22 211

13、11. .已知关于已知关于x x方程方程x x+2 2kx+kx+ k k= =0 0的一个根是的一个根是- -3 3, , 那么那么k=k= 3 . . ?2 2x=-x=-或或x=x=1 1 1212. .一元二次方程一元二次方程 2 2( ( 1 1-x-x) )=x-=x-1 1的实数根是的实数根是 ? . . 2 21313. .设方程设方程 2 2x x+4 4x-x-1 1= =0 0的两个根为的两个根为x x1 1, ,x x2 2, , 则则?4 + = = ? . . ?x=- x=- 的实数根为的实数根为 ? ?1414. .方程方程?+2 2=-=-? (? ). .

14、?2 2x=-x=-或或x=x=2 2 1515. .方程方程 2 2x x-x-x-6 6= =0 0的实数根为的实数根为 . . ? 三、解答题三、解答题 16.解方程解方程:2x2-3x-4=0 【解】【解】 2 2x x- -3 3x-x-4 4= =0 0 2 2? ? +? ? ?x=x= = ?17.不解方程不解方程,判断下列方程根的情况判断下列方程根的情况: (1)x2+3x-18=0 (2)x2-2x+1=0 (3)x2-2ax=0 (4)5x2-7x+5=0 【解】【解】 (1)=9+418=810, 原方程有两个不相等的实数根原方程有两个不相等的实数根 ; (2)=(-2

15、)2-41=0, 原方程有两个相等的实数根原方程有两个相等的实数根 ; (3)=4a20, 原方程有两个实数根原方程有两个实数根 ; (4)=(-7)2-455=-510, 原方程没有实数根原方程没有实数根 . 1818. .设设x x1 1, ,x x2 2是方程是方程 2 2x x- -6 6x+x+3 3= =0 0的两个根的两个根, , 利用根与系数的关系利用根与系数的关系, , 求下列各式的值求下列各式的值. . ( ( 1 1) ) ?x x+ x x2 21 12 2? ?( ( 2 2) ) ( (x x1 1+) ) ( (x x2 2+) ) ?【解】【解】 x x1 1+ x x2 2= =3 3 x x1 1x x2 2= = ?( ( 1 1) )?x x2 2+ x x1 1?=x=x1 1x x2 2( (x x1 1+ x x2 2) )= = 3 3= = ?( ( 2 2) ) ( (x x1 1+) ) ( (x x=x=x1 1+1 1+ 2 2+) )1 1x x2 2+?= = +