圆锥曲线练习题

1、已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cosF1PF2=(A) （B） (C) (D)【答案】C【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1【答案】A【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，即.又，C

2、的方程为-=1.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 【答案】C【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.(2012年浙江卷,文8,5分)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()(A)3(B)2(C)3(D)2解析:本题主要考查椭圆与双曲线的离心率的求法.设椭圆的长轴是2a,焦距是2c,双曲线的实轴是2 m,所以m=12a,所以e1=ca,e2=cm=2ca,所以e2e1=2.故选B.答案:B.16.(

3、2011年浙江卷,文9)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则()(A)a2=132(B)a2=13(C)b2=12(D)b2=2解析:由已知双曲线渐近线方程为y=±2x.圆的方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a.不妨取y=2x与椭圆交于P、Q点,且P在x轴上方,则由已知|PQ|=13|AB|=2a3,|OP|=a3.则点P坐标为(5a15,25a15),又点P在椭圆上,5a2225a2+20a2225b2=1,又a2-b2=

4、5,b2=a2-5.解得a2=112b2=12.故选C.答案:C.17.(2011年天津卷,文6)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()(A)23(B)25(C)43(D)45解析:由交点(-2,-1)得-p2=-2,p=4,抛物线方程为y2=8x,抛物线的焦点为F(2,0),又a+p2=a+2=4,a=2,又双曲线的一条渐近线方程为y=bax,且过(-2,-1),a-2b=0,b=1,c2=a2+b2=5,c=5,2c=25.

5、故选B.答案:B.椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若，成等比数列，则此椭圆的离心率为_.【答案】若双曲线的离心率为，则的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ，即，解得。【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为18.(2010年北京卷,文13)已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为. 解析:椭圆x225+y29=1的焦点F1(-4,0)

6、,F2(4,0)也是双曲线的焦点,c=4,又e=2=ca=4a,a=2,则b2=c2-a2=16-4=12,b=23,渐近线方程为y=±bax=±3x.答案:(±4,0)y=±3x已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，求直线的方程(2011年四川卷,文21)过点C(0,1)的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直

7、线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;(2)当点P异于点B时,求证:OP·OQ为定值.解:(1)由已知得b=1,ca=32,解得a=2.椭圆方程为x24+y2=1,椭圆的右焦点为(3,0),此时直线l的方程为y=-33x+1,代入椭圆方程化简得7x2-83x=0,可得D(837,-17),故|CD|=(837-0)2+(-17-1)2=167.(2)当直线l与x轴垂直时与题意不符.所以直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1(k0且k12),代入椭圆方程化简得(4k2+1)x2+8kx=0,求得D(-8k4k2+1,1-4k24k2+1),又直线AC的方程为x2+y=1,直线BD的方程为y=1+2k2-4k(x+2)