基本不等式知识点和基本题型

1、基 本 不 等 式 专 题 辅 导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若 a,b w R,则 a2 +b2 之2ab2、基本不等式一般形式(均值不等式)2.2(2)若 a,bw R,则 ab <- 2若 a, b w R*,则 a +b > 2 Jab3、基本不等式的两个重要变形2(1)若 a,bwR*,则 alb 之 J06(2)若 a,bw R*,则 ab/ab :2 一_ . 2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1(

2、1)若x >0,则x+之2 (当且仅当x=1时取“=”)x1 一(2)若x <0 ,则x + E 2 (当且仅当x = 1时取"=) x(3)若ab A 0,则a +b之2 (当且仅当a = b时取“=”) b a22(4)若 a,bw R,则 ab<(ab)2<a b22(5)a”R*，则古小“等"a b特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“二”6、柯西不等式(1)若 a,b,c,d w R,则(a2 +b2)(c2 +d2) >(ac +bd)2222. . . 2 . 2 .22右 a1，a2, a3,b1，b2,b3匚 R,则有：

3、(aI+a?+a3)(bi+b2+b3 ) *(a1bi+a2b2+a3b3)(3)设a1，a2,; an 与b1，b2,ibn是两组实数，则有(a；+a22+ +a；)(b/+b22 +十 bn2)至(aM+a2b2+anbn)2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设a,b均为正数，证明不等式：jab >211a b2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证:3、已知a +b +c =1,求证：a2 +b2 +c2a2 b2 c2ab bc ca134、已知5、已知a,b, c w R*,且 a +b +c =1,求证：(1 -a)(1 -b)(1 -c)之 8abc ,/

4、111a,b,c = R，且 a +b +c=1,求证：.一一1 一一1 一 一 1 之8 a b c6、选修45:不等式选，讲1a2设 a,b,c均为正数，且 a+b+c=1,证明：(i)ab + bc + ca ； ( n) 3b,22+ >1.c a7、选修45：不等式选，讲： 已知a *b >0 ,求证：2a3 -b3之2ab2 -a2b题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 八21一、1 ,1 ,（1） y =3x +2（2） y=x（4x） （3） y=x+-（x0）（4） y = x+（x<0）2xxx题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）41、已知x

5、 >2 ,求函数y=2x4+的最小值；2x -44变式1：已知x >2 ,求函数 y = 2x+的最小值；2x -44变式2：已知x <2,求函数y = 2x+的最大值；2x -4.， 一 5练习：1、已知 x ,求函数y =4x-2+的年小值；4 4x-55 12、已知 x <-,求函数 y=4x_2 +的取大值；44x -5题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当0<工<4时，求y =x（82x）的最大值；变式1 ：当U C工（4时，求y =4x（8 -2x）的最大值；3变式2：设0 <x <一,求函数y =4x（32x）的最大值。22

6、、若 0<x<2,求 y = Jx（6 -3x）的最大值；变式：若0cx<4,求丫 =x（8 -2x）的最大值；3、求函数丫=$27二1+、，5石（1<*<5）的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）22变式：求函数y =，4x -3 + J11 4x（° <x <"）的最大值;44题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题一-111、已知a,b >0, a+2b =1 ,求t =一十一的最小值； a b法一：法二：11 , ,变式1 ：已知a,b >0,a +2b = 2 ,求t =一 十 一的最小值； a b一一一2 8变

7、式2：已知x, y A0, +=1 ,求xy的最小值；x y11-变式3：已知x,y >0 ,且一+ =9 ,求x + y的最小值。x y19变式4：已知x,y >0 ,且一 + =4,求x + y的最小值；x y卜y的最小值;的最小值；1 1变式5： （1）若x, y >0且2x + y=1,求一+一的最小值；（2）若a,b,x,y = R且y+°=1,求xx yx y变式6 ：已知正项等比数列也满足：a7=a6 +2a5,若存在两项am,an,使得、；aman=4a1,求口+弓m nx2 8变式： 求函数y=（x>1）的值域；x 7x 1变式：求函数 y

8、=的最大值;4x 9题型六：分离换元法求最值（了解）x2 7x 101、求函数 y =（x丰-1）的值域；x 1x ' 22、求函数y= 的最大值；（提示：换元法）2x 5题型七：基本不等式的综合应用a b1、已知log2 a+log2 b21 ,求3 +9的最小值2、（ 2009天津）已知a, b a 0,求+1 +2 Jab的最小值; a b211变式1： （2010四川）如果 a >b >0,求关于a,b的表达式 a +一+的最小值；ab a（a-b）变式2： （2012湖北武汉诊断）已知，当 aQa01时，函数 y = loga（x_1）+1的图像恒过定点 A,若点

9、 A在直线 mx -y +n =0上，求4m +2n的最小值；3、已知 x, y >0 , x +2y +2xy =8,求 x +2y 最小值；变式1 ：已知a,b >0,满足ab =a + b +3 ,求ab范围；1 11变式2： （2010山东）已知x, y>0, +=，求xy最大值；（提不：通分或三角换兀）2 x 2 y 322变式3： （2011浙江）已知x, y>0, x +y +xy=1,求xy最大值；2 _2_ xy2124、（2013年山东（理） 设正头数x, y, z满足x 3xy+4y z=0,则当取得年大值时，一十的最大值为（1 ）zx y z（提

10、示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）2变式：设x,y,z是正数，满足 x-2 y+3z =0 ,求 L 的最小值；xz题型八：利用基本不等式求参数范围1 a、 一1、（2012沈阳检测）已知 x, y >0 ,且（x + y）（十）29恒成立，求正实数 a的最小值；x y11 n2、已知xAyz>0且+>怛成立，如果n e N +,求n的最大值；（参考：4）x - y y -z x -z（提示：分离参数，换元法）1 4变式：已知a,b A0满则一+=2 ,右a+b 2c怛成立，求c的取值范围； a b题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式（a,b,c,d WR

11、,当且仅当 a=b；即 ad =bc 时等号成立）若 a,b,c,d = R,则（a2+b2）（c2+d2）之（ac +bd）2 c d2、二维形式的柯西不等式的变式（1）Ja2 +b2 Jc2 +d2引ac+bd , （a,b,c,dWR,当且仅当旦=旦 即ad = be时等号成立）c d2 a b（a W）（c+d） "*ac+Jbd ） , （a,b,c, d 之0 ,当且仅当 a =b;即 ad =bc 时等号成立） c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式a F < a ,（当且仅当E = 了或存在实数k,使W=kE时，等号成立） 4、三维柯西不等式222、，2,2,

12、22右色色，。', = R,则有：（a1 +a2 +23）（1" +2 +b3 ）之（aQ+a2b2+a3b3）5、一般n维柯西不等式 设 a1，a2,an与b1，b2, 1bn 是两组实数，则有：(a2+22 +an2)( A2+b22+ +bn2)之(ah+a2b2 + +anbn)2题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 1、设 X, y, z w R ,若 x2 +y2 +z2 = 4 ,则 x -2y +2z 的最小值为 时，(x, y, z) = x2y+2z最小值为一6析：(x_2y+2z)2 W(x2+y2 +z2)12+(_2)2 +22 =4父9=36 ,xyz此时一 =J = 一1-222、设 x, y, z w R ,一6-2124- 4:122 = ，: x =, y = 一， z =12 (-2)2 2233332222x y2z=6,求x +y +z的最小值 m ,并求此时x, y,z之值“，、，424、Ans： m =4; (x, y,z)=(一，一一，一 一)3332223、设x,y,zR, 2*-3丫+2=3,求* +(y1)十z之最小值为 (析：2x-3y z=3= 2x -3(y -1) z=0)4、 （2013 年湖南卷（理）已知 a,b,cw,a+2b+3c =6,则 a2+4b2+9c2 的最小值是 （