培优专题5-平移与旋转-(含解答)-(改后)教学提纲

1、精品文档培优专题 5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的 两条线段或两角，进行“搬家” ，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用 图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径平移法能把分散的条件集中起来，收到 事半功倍的效果哪些量没变 只旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一 是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下， 通过旋转起到铺路架 桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋 转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径

2、平移、旋转两种变换在使用中， 一定要善于观察变换前后哪些量变了， 有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的例 1 如图，在 ABC中， D、E 是 BC边上两点， BD=CE，试 说明 AB+AC>AD+AE分析 利用平移变换， ?将图中已知条件转化为梯形的对角 线之和大于两腰之和练习 11如图，梯形 ABCD中， AD BC，已知 AD+BC=3， AC= 3 ，BD= 6 ，求此梯形的面积精品文档2如图，长方形花园 ABCD中， AB=a， AD=b，花园中建有一条长方形道路 LMPQ?及一 条平行四边形道路 RSTK，若 LM=RS=c，求花园中可绿化部分

3、的面积3如图， ABC中， E、F 分别为 AB、 AC边上的点，且 BE=CF，试说明 EF<BC例2 如图， ABC中， ACB=90°， M是 AB的中点，PMQ=9°0 ，请说明 PQ2=?AP 2+BQ 2分析 本题中 PQ、AP、BQ不在同一个三角形中， ?如果将它们平 移，?使 PQ、BQ分别转化为 PD、AD，将三线段转化在同一三角形中， 巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解练习 21如图， EFGH是正方形 ABCD的内接四边形， BEG与 CFH 都是锐角， ?已知 EG=3， FH=4，四边形 EFGH的面积为 5，求正方形 ABCD的面积2如图，

4、 ABC中， B=90°， M、N分别是 AB、BC上的点， AN、 CM?交于点 P， ?若 BC=AM， BM=CN，求 APM的度数3如图，六边形 ABCDEF中， ABDE， BC EF，CD AF，且 AB-ED=CD-AF=EF-BC，0请问，六边形 ABCDEF的六个角是否都相等例 3 如图，在正方形 ABCD的边 BC和 CD上分别取点 M 和点 K，并 且 BAM=MAK求证： BM+KD=KA分析 把 Rt BAM绕点 A顺时针旋转 90°到 ADM，使 BM与 DN拼 成一条线段的 KM，只要证明 KM =KA即可练习 31如图，在正方形 ABCD中，

5、 N 是 DC的中点， M是 AD上异于 D?的精品文档点， ?且 NMB= MBC，求 AM 的值AB2如图， P是等边 ABC内一点， APB、 BPC、 CPA的大小之比为 5：6：7， ?求 以 PA、PB、 PC之比为边的三角形三内角之比（从小到大） 3如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，BAD=BCD=90°， AHBC，且 AH=1，?求四边 形 ABCD的面积例 4 如图，在等腰三角形 ABC中， CAB=90°， P是 ABC内一点，且 PA=1， PB=3，PC= 7 ，求 APC的度数分析 本题将 BAP绕点 A 旋转 90°，得到 C

6、AQ，构造直 角三角形，利用勾股定理求解练习 41等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、 5，则此等边三角形边长的平方为 2如图， P 是正方形内的点，若 PA=1， PB=2， PC=3，求 APB 的度数3如图，正方形 ABCD的边长为 1，AB、 AD各有一点 P、Q，若 APQ的周长为 2，? 求 PCQ精品文档例 5 如图，在 ABC中， AB=3， AC=2，以 BC 为边 的三角形 BPC是等边三角形，求 AP的最大、最小值分析 通过旋转把 AP转移到有两条边确定的三角形 中，利用三角形的性质求最值解：把 ABP绕 B点顺时针旋转 60°得 DBC，则 ABP D

7、BCDC=AP，BD=BA， DBA=60° ABD是等边三角形， AD=AB=3在 ACD中，有 DC<AD+AC=，5当 C 在 DA的延长线上时才有 DC=AD+AC=，5说明 DC5， ?即 AP 5在 ACD中，有 DC>AD-AC=1时，当 C 在 DA线段上时才有 DC=AD-AC=，1 说明 DC1， 即 AP 1由得 AP最大值为 5，最小值为 1练习 51如图，正方形 ABCD中，有一个内接三角形 AEF，若 EAF=45°， AB=8， EF=7， ? 求 EFC的面积2如图，在 ABC中， AB=5， AC=13，过 BC上的中线 AD=

8、6，求 BC的长3 如图，已知 ABC中， AB=AC，D 为三角形内一点， ADB>ADC试证明： ?CD>BD精品文档答案:练习 11 解：将 BD 平移到 CE交 AD 延长线于点 E， 则四边形 BDEC为平行四边形 DE=BC ，CE=BD ， SBCD =S CDE ABC 与 DBC 同底等高， SABC = S BCD = S CDE S 梯形 ABCD = SABC + SACD = SCDE + SACD = SACE 又 AE=AD+DE=3= 3 6AC2 CE2 ， ACE 为直角三角形， ACE=90°1 S 梯形 ABCD = S ACE =

9、2AC·CE= 3 2 22解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（ b-c ），宽（ a-c ）的空白长方形，其面积为（ b-c ）（ a-c ）=ab-bc-ac+ c23 解：将 EF 平移为 BG，BF平移为 FG，作 CFG的角平分线交 BC于 D，连结 DG， ?则由平移知四边形 BEFG是平行四边形 EF=BG，BE=FG BE=CF， FG=CF 1= 2，FD=FD FGD FCD（ SAS） DG=CD在 BGD中， BG<BD+D，G EF<BC练习 21 解：过 E、F、G、H 分别平移 AD、AB，交

10、点分别为 P、 Q、 R、 T，则四边形 PQRT? 为矩形设正方形边长为 a， PQ=b，PT=c，由勾股定理得b=32 a2 ，c= 42 a2 ， SAEH =STEH ， 精品文档M点变为 P 点，连结 MP，精品文档SBEF =SPEF， SCFG=SQFG， SDGH =S RGH 则 S 正方形 ABCD +S 矩形 PQRT=2S 四边形 EFGH a2+b ·c=10 即 a2+ 32 a2 · 42 a2 =102 2 44 5a2=44，a2=544 S 正方形 ABCD =52 解：把 MC平移，使点 M至 A 点，过 A作 MC的平行线，过点 C作

11、 AB的平行线， 两线交于点 D，则 MC=AD APM= NPC=NAD BM=NC，CD=AM=B，C DCN= CBM=9°0 ， DCN CBM从而 DN=M，C DN=DA CMB= DNC BCM+ DMB=9°0 ， BCM+ DNC=90°即 MC AD ND AD 由，得 APM=45°3 解：六个角都相等且都等于 120° 将 AB沿着 BC平移到 QC， CD沿着 DE平移到 ER，EF 沿着 FA 平移到 AP， ABED，BCEF，CDAF， AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE AB

12、-ED=CD-AF=EF-BC， QC-CR=ER-PE=AP-AQ 即 PQ=PR=QR 1= 2= 3=60°由平行线性质知： A= B=C=D= E=F=120° 练习 3解：将 BAM绕 B点旋转 90°， A点变为 C点，则 BAM BCP BPC=BMA=CBM= NMB BM=BP， NMP= NPM MN=NP=NC+CP=NC+AM设 AB=1， AM=x，在 Rt MND中，精品文档精品文档精品文档 x= 3即 AM =1 AB 32 解：将 ABP绕 B 点顺时针旋转 60 °得 BCP，连结 则 ABP CBP AP=P C，BP

13、=BP， APB= CPB PBP =60°， BPP是等边三角形 PP=BP， BPP=60°=BPP APB： BPC： CAP=5： 6： 7，又 APB+ BPC+ CPA=360°， APB=100°， BPC=120°， CPA=140° 1=120°-60 °=60°，2=100°-60 °=40°，PCP=180°-60 °-40 °=80°由 PA=P PP C是由 PA、PB、PC组成的三角形 三内角之比为 2： 3

14、：43 解：将 ABH绕 A 点旋转 90 °得 ADP，则 ABH ADP APD= AHB=90°，AH=AP BAD= BCD=90°， HAP=90°四边形 AHCP是正方形 AH=1 ， S 正方形 AHCP =1=S 四边形 AHCD +SADP S 四边形 ABCD =S 四边形 AHCD +S ABH 又 SAOP =SABH S 四边形 ABCD =S 正方形 AHCP =1 练习 41 解：如图，以 A 为中心将 合，连结 AP， BP， PPC，PP=PB，ACP绕 A顺时针旋转 60°，则 C与 B重合，P与 P重=60

15、°则 AP =AP， BP =CP， PAP APP是等边三角形， PP BPP中， BP=4， PP=3，BP =CP=5=3精品文档由 32+42=52 BPP为直角三角形， BPP=90° BPA=150°过 B作 BE AP，交 AP延长线于 E EPB=180°-150 ° =30°，在 RtBEP中，BP=4，BE=2，EP=2 3 ，Rt ABE中， BE=2，AE=2 3 +3， AB2=22+（ 2 3 +3） 2=25+12 3 2 解：将 ABP绕 B 点旋转 90°，得 CBP，连结 PP，则 ABP

16、 CBPPB=BP=2，AP=PC=1， APB= CP B 在 Rt PBP中， BP=BP=2， PP=2 2 ， BPP=45° 在PPC中，PC=3，PC=1，PP=2 2 有 PC2=P C2+P P2， PP C是直角三角形， PPC=90° APB=CPB=BP P+PPC=135°3 解：将 CDQ绕 C点旋转 90°，得 CBM，则 CDO CBM， QCM=9°0 D=90°， CBA=90°， P、B、 M在一条直线上 QA+AP+QP=，2 DQ+AQ+AP+BP，=2 QP=DQ+BPBM=DQ，P

17、M=PB+B，M QP=PM又 CP=CP， CQ=CM CQP CMP QCP= PCM又 QCP+ PCM= QCM=900 PCQ=45°练习 51 解：把 ADF绕 A 点旋转到 ABD的位置 D 和 ABC均为直角， D、 B、 E三点在一条直线上， EAF=45°， DAE=45° 在 AD E和 AEF中，AD =AF，AE=AE， DAE=EAF， AD E AFE精品文档 SDEF =2SADE =SABEFD =S 正方形 ABCD -S EFC 21 S EFC =S 正方形 ABCD -SABEFD =S 正方形 ABCD -2S ADE =8 -2 × × 8× 7=822 解：将 ADC绕 D 点旋转 180°得 BDE BD=CDC与 B 重