含参不等式的解法

1、1 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解 法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数 的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习 的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论， 而 参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我 们通过几个例子体会一下。 一. 二次项系数为常数 2 例1、解关于X的不等式：X X + + (m(m- - 1)x1)x- - mm。 解：原不等式可化为：(x-1) (x+m) 0 (两根是1和-m,谁大？) (1) 当 1-m 即 m-1 时,解得：x-

2、m 2 (2) 当1=-m即m=-1时，不等式化为：x x - -2x 2x + + 1 10 0 二x=1 (3) 当 1-m 即 m-1 时,解得：x1 综上，不等式的解集为： (1 肖 m -1 时，x|x 1 或 x-m (2 肖 m = 1时，x | x #1 (3 肖 m一1 时，x | x - m 或 x1 例2：解关于x的不等式：x2 +(a 2)x +a0. (不能因式分解) 解：A =(a 2 2 4a (方程有没有根，取决于谁？) (1 肖 = (a 2 亍一4a 0即 4 一2。3 a 0即 a 4 +2%/3时 (2 _a) _ Jfa _2 -4a (2 _a) +

3、 J(a _ 2 f _4a 此时解得：x - - 综上，不等式的解集为: (1) 当 4_2 疗 a4+2V3 时，解 R； (2) 当 a =4 2万时，解集为(-*, 73-1 )n (右-1,松)； (3) 当 a =4 +2J3 时，解集为(，-( ，梭)； (4) 当a 4 + 2幅时， 解集为(_ (2 -a) -；2 -8a +4 山(2 a) + ：2 8a ,4，卫)； 二.二次项系数含参数 例3、解关于x的不等式：ax2(a+1)x+10. 解：若a = 0 ,原不等式 U x十1 0 = x A1. 若 a 0 , 原不等式 U (X-1)(X-1)AOU x1 . a

4、 a 若a A 0 ,原不等式 u (x 一 M x 一1) 0. (卒) a 其解的情况应由-与1的大小关系决定，故 a (1) 当a =1时，式的解集为争； (2) 当a1时，式(卒)u【 x 1 ； a (3) 当0a1时，式(为仁/乂二. a 综上所述，不等式的解集为：两根为Xi (2 a) +(a 一2 J -4a 2 X2 (2 -a) 一顼(a 一 2 j 一 4a 2 4 当a0时，xx1或xl； a 当a =0时， xxl； 当 0a1 时，x1x1； a 当a =1时， ； 当a1时， x 1 x 1. a 例4、解关于x的不等式：ax? +ax _1 0. 命昆：ax 之

5、 ax -1 ： 0. (1)当a=0时，原式可化为 一1 0 两根为x1 -a - - Ja 2 4 a - ， 七 2a 2a 解得: -a -，a 2 4a - a - a2 4a - :x : - 2a 2a (3)当a0时，原式可化为：x2+x0 a 此时 当A0即一4 a 0即aT时解得：xL-； *仙或x-a*；a2,4a 综上，(1)当 a0 时，解集为(-；4 a+：2+4a)； (2)当-4 a T-f 、r , a va +4a、 , a+da +4a 、 （4） 当a _4时，解集为（_叮 - ）u（ - ，检）. 2a 2a 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型

6、， 但它们对参数 a都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数 a的分类，对于初 学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现 一个规律：参数a的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式 A =0时所得到的a的值为数轴的分点进行分类，如: 解关于x的不等式：(a2 1)x2 +3ax +30 解：(a2 -1)x2 3ax 3 .0 (.) a 1=0n a=1 a = 1 ； A=9a 4（a 1）乂3=0 n a = 2 a = 2 ； .当a2时，a2_10且A 0 ,（率）解集为R； 当a = 2时，a2 10且A =0 ,解集为（_8,1），（1,松）; 当2a_1

7、 时，a210 且 A0, | i 3）解集为（*,一3一.12一3 2 （-3 * ）； 2a -2 一 一 当 a = -1 时， u 3x +30 u x 1 , 3）解集为（-,1 ）； 当1 a 1 时，a2 1 0 , 解集为（一3af；12 一3a2 3a”12 一3a2 ）; 2a -2 2a - 2 2 2a 一 2 6 当 a =1 时，（*） U 3x 十 3A0U x A-1 ,解集为（ 1,E ）; 当 1a2时，a2_10且A 0 ,（*）解集为R . 综上，可知当a _2或a2时，解集为R ；当a = _2时，（,1兀（1* ）； 当2a_1或1a2时，解集为 2 2 ,3a=12-3a ）u（-3a2-3a *）；当 a=_1 时，解集为（_）； 2a -2 2a -2 / 2 2 当1ac1 时，何）解集为（*二12* ,3a+Y23a ）；当 a=1 时, 2a -2 2a -2 解集为（-1,危）；当a =2时，解集为