人教A版必修4第二章平面向量的概念以及线性运算（辅导教案 ）

1、.个性化教学辅导教案课 题必修4第二章平面向量的概念以及线性运算教学目标（1）平面向量的概念（2）平面向量的线性运算（3）共线定理的应用 1、 本章网络结构1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算

2、向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab3.共线向量定理1向量的数乘(1)长度：|a|a|.(2)方向当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0，其方向是任意的2向量的数乘的运算律设，为实数，则( a)()a；(

3、)aaa；(ab)ab.3向量共线定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.4若a为非零向量，a0为其单位向量，则有a|a|·a0或a0.必会结论1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()3若A、B、C是平面内不共线的三点，则0P为ABC的重心题型分类题型一平面向量的概念【例1】有下列几个命题：互为相反向量的两个向量模相等； 若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 ab，bc 则 a c a = b，b = c

4、 则 a = c模相等的两个平行向量是相等向量若向量与是共线的向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；若|=|，则=或=； 共线向量一定在同一条直线上；若四边形ABCD是平行四边形,则若与平行，则零向量没有方向,单位向量都相等 其中正确结论个数是（）【变1-1】设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向

5、时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.题型二平面向量的线性运算【例2】 化简以下各式：【变2-1】化简【例3】【变3-1】若O是ABC所在平面内一点，且满足OB-OC=|OB+OC-2OA|，则ABC的形状为 题型三共线定理的应用知识点：三点共线常见的表现形式主要有两种：形式1：对于同一平面内不同三点 A，B，C ，如果AB=AC A，B，C 三点共线，其中 R ；形式2：已知 O，A，B，C 为平面内不同的四点，且OC=xOA+yOB （ x，yR） 且 x+y=1， A，B，C 三点共线【例4】设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、

6、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)解kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是两个不共线的非零向量，kk10，k210.k±1.思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线【变

7、 4-1】已知两个不共线向量e1，e2，且AB=e1+e2 , BC=3e1+4e2 , CD = 2e1-4e2，若A,B,D三点共线，求 的值为 . 【变4-2】设两个不共线向量e1，e2，AB=2e1-8e2 , CB=e1+3e2 , CD = 2e1-e2(1)求证：A、𝐵、D三点共线；(2)若BF=3e1-ke2 ，且B、D、F三点共线，求𝑘的值【例5】已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公

8、共点B，A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.【变5-1】（1）在ABC 中，已知D是AB 边上一点，若CD=13CA+OB ，则 = _（2）在ABC 中，已知M是AB 边上一点，若OP/OM,且OP=xOA+yOB(x0)，则 yx= .【变5-2】已知：，则下列关系一定成立的是（ ）A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线【变5-3】在ABC中，AB = a，AC = b,.若点D满足BD=2DC ，则AD = _(用a，b表示)【变

9、5-4】设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_解析：()，12，1，2，故12.专题三：向量在平面图形中的应用知识点：一、用基底表示向量(向量的分解)：1、三角形法(多边形)法：比如：ABCD为梯形，BC=2AD，BC=a，BA=b，试用 a，b 表示 MN，MN=MA+AB+BN=-14BC-BA+12BC=14a- b2、比例法：主要是利用相似条件找到目标向量和与之共线的向量的模长比例关系；比如：已知平行四边形ABCD中E为AD中点,CE,BD 相交于点F,设BC=a，BA=b，试用 a，b 表示 BF，因为无法直接得到BF的关

10、系，所以我们寻找与BF共线向量BD。BCED=2，BFFD=2，BF=23BD=23a+23b3、交叉法(定比分点)：在进行向量分解时，若目标向量的起点与基底起点相同，终点和基底向量终点三点共线时，可以用如下方法进行分解目标向量；B、C、D 三点共线，当D在线段BC之间时，先求出BDCD=mn ，从而有CDBC=nm+n，BDBC=mm+n最后给AB,AC 交叉分配系数，即 AD=nm+nAB + mm+nAC当D点在线段BC外时，先将AB 用 AD,AC 交叉系数表示，再反求 AD平面向量基底化步骤：第一步：统一起点，如果目标向量跟基底起点不同，则将目标向量写成以基底起点为起点的两个向量之差

11、；第二步：利用交叉法(定比分点)或者待定系数法将统一起点后的向量用基底表示；第三步：整理结果.二、三角形的四心问题1、重心（A𝐵𝐶中，G为垂心，如图）（1）定义：三条中线的交点（2）G是AD的三等分点:即AG:GD=2:1（3）GA+GB+GC=02、 垂心（A𝐵𝐶中，H为垂心，如图）（1） 定义：三条高的交点（2）HAHB=HBHC=HCHA3、外心（A𝐵𝐶中，O为外心，如图）（1）定义：三条中垂线的交点，是外接圆的圆心（2）OA = OB= OC4、内心（A𝐵𝐶中

12、，I为内心，如图）（1）定义：三条角平分线的交点，是内切圆的圆心（2）（ABAB+ACAC）(0)所在直线过ABC的内心（BAC的角平分线所在直线）【例6】（1）如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，求，ABCDE（2）如图所示，在ABC中，BD=12DC , AE=3ED,若AB=a，AC=b，则BE等于 .【变6-1】如图，以向量OA=a，OB=b为边作OADB，用BM=13BC, CN=13CD, 试用 a，b 表示OM,ON,MN【变6-2】如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，则的值为()A. B. C. D.答案

13、A解析，2.由向量加法的平行四边形法则可知，()2，由E，F，K三点共线，可得，故选A.【变6-3】在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )A B C DBCAP【例7】设G为ABC的重心，且sin A·sin B·sin C·0，则B的大小为()A45° B60° C30° D15°解析G是ABC的重心，0，()，将其代入sin A·sin B·sin C·0，得(sin Bsin A)(sin Csin A)0.又，不共线，sin Bsin A0，sin Csin A0，则sin

14、Bsin Asin C根据正弦定理知bac，ABC是等边三角形，则角B60°.故选B.【变7-1】如图，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_答案3解析设a，b，由题意知×()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线得，存在实数，使得，即nbmaab，从而消去得3.1如图所示，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则等于() A. B. C. D.答案D由题图，知，则.由三角形中位线定理，知.故选D.22019·嘉兴模拟已知向量a与b不共线，且ab，ab，则点A，B，C三点共线应满足 ()A2 B1

15、C1 D1答案D若A，B，C三点共线，则k，即abk(ab)，所以abkakb，所以k,1k，故1.3已知A、B、C三点不共线，且点O满足0，则下列结论正确的是()A. B. C. D.答案D解析0，O为ABC的重心，×()()()(2).42019·安徽六校联考在平行四边形ABCD中，a，b，2，则()Aba Bba Cba Dba答案C解析因为，所以ba 5如图，在ABC中，|，延长CB到D，使，若，则的值是()A1 B2 C3 D4由题意可知，B是DC的中点，故()，即2，所以2，1，则3.6在ABC中，D为边AB上一点，若2，则_.解析因为2，所以()在ACD中，因

16、为()，所以.7 (2019·北京)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.答案解析()，x，y.82019·泉州四校联考设e1，e2是不共线的向量，若e1e2，2e1e2，3e1e2，且A，B，D三点共线，则的值为_解析2e1e2，3e1e2，(3e1e2)(2e1e2)e12e2，若A，B，D三点共线，则与共线，存在R使得，即e1e2(e12e2)，由e1，e2是不共线的向量，得解得2.92019·合肥模拟已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d反向共线，求实数的值解由于c与d反向共线，则存在实数k使ckd(k<0)，于是ab

17、ka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k<0，所以<0, 故.10已知|1，|，AOB90°，点C在AOB内，且AOC30°.设mn(m，nR)，求的值解如图所示，因为OBOA，设|2，过点C作CDOA于点D，CEOB于点E，所以四边形ODCE是矩形，.因为|2，COD30°，所以|1，|.又因为|，|1，所以，此时m，n，所以3.B级知能提升(时间：20分钟)11如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A. B. C. D.答案D解析由向量的加法和减法，知道A、B正确；由中点公式知道C正确，而DNEBNA，所以，所以，故D错误122019·福建高考设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B2 C3 D4答案D解析()()224.故选D.13. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为