圆锥曲线方程知识点总结

1、8.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义：椭圆的标准方程：i.PF1|+PF2=2a AF1F2方程为椭圆，PF+PF2=2aYF1F2无轨迹，PF1|+PF2=2a=F1F2以F1,F2为端点的线段2 _2中心在原点，焦点在X轴上：=1（aAb A0）.a2b2ii.中心在原点，焦点在2v2y车由上：匕 +=l(a Ab A0).a2b2D一般方程：Ax2By2=1（A -0, B-。）.22白椭圆的标准方程：二+七=1的参数方程为r=acs口（一象限。应是属于0勺史）a2b2、y=bsin82顶点：（均0）（0,也）或（0Ja）Ub,0）.2轴：对称轴：x轴，y轴；长轴

2、长2a,短轴长2b.3焦点：（-c,0）（c,0）或（0, -c）（0, c）.4焦距：F1F2=2c,c =/2-b2.5准线：x =或y= 士堂,cc6离心率：e =c(0 e 1).a7焦点半径：22、，一一x . y .,，-. .i.设P(x0,y0)为椭圆一+=1(a b 0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，贝UPF1= a+ex0, PF2= aa bx2y2ii.设P(x0,y。)为椭圆 二+，=1(aAbA0)上的一点，FF?为上、下焦点，贝UPF1= a+ey0, PF2| =a-b a22由椭圆第一正义可知：pF1=eCxM) =a+exc(x0Y0),| pF2=e(

3、*-x)=。为-3以00)归结起来为 左加右减.cc-ex0 eyo=注意：椭圆参数方程的推导：得N （a cos0,bsin 0） t方程的轨迹为椭圆.2 2 2通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d=厂（-c,一）和（c,J）a aa22_共离心率的椭圆系的方程：椭圆 %+我=1（a Ab A0）的离心率是e=E（c=、a2-b2），方程a2b222壬+=排是大于0的参数，abA。）的离心率也是a be =c我们称此方程为共离心率的椭圆系方程a22若P是椭圆：4+g=1上的点.F1,F2为焦点，若0F1PF2=I9，贝U WF1F2的面积为b2tan-(用余弦定理与PF*PF2=2

4、a可得）.若是双曲线，则面积为b2cot：.二、双曲线方程.1.双曲线的第一定义:PFIPFiPFi_PF2-PF2-PF2=2aTFiF2方程为双曲线二:二2j二条射线xN的轨迹是椭圆y(bcost,bsg)(acost,asig)双曲线标准方程:2222与=1(a,b -0)，乌一与=1(a,b -0).a ba b一般方程：Ax22Cy2=i(AC0).i.焦点在x轴上：顶点：(a,0), (a,0)焦点：(c,0),(c,0)准线方ii.焦点在y轴上：顶点：（0,逾）,（0,a）.焦点：(0,c),(0准线方程x=J渐近线方程：-=0或与谷=0ca ba2b2y=*.渐近线方程：=0或

5、ca b22七二=0,2, 2a bx =b tan 0y =asecB.轴x, y为对称轴，实轴k为2a,虚轴长为2b,焦距2c.参数方程:x =asec8 83或y=b tan 3离心率e =c.a4准线距竺I（两准线的距离）；c通径2b2a参数关系c2=a2 b2,e=c.a2匕二i b2（Fi,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）焦点半径公式：对于双曲线方程2X2aMFi=ex。a构成满足MFi MF2=2aMF2=ex-aMFiMF2M Fi=ey0- a=ey0a-ey0aM F2=

6、 -ey0 ay =x，离心率e =J2 .等轴双曲线：双曲线x2-y2= a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为共轴双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轴双曲22彳一=0.a b=-X互为共轴双曲线，它们具有共同的渐近线:共渐近线的双曲线系方程:x、=0时，它的双曲线方程可设为a b2222与-4=以赤#0）的渐近线方程为 土旦2=0如果双曲线的渐近线为a2b2a2b2224L=。）.a b例如：若双曲线一条渐近线为1一 ，1. .y=1x且过p（3,_）,求双曲线的万程?222122解：令双曲线的方程为：%y2*（很0），代入（3,；）得土-=七直线与双曲线

7、的位置关系：区域区域区域区域区域小结：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入交和两根之和与两根之积同号 .22若P在双曲线与二=1,则常用结论a2b21:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.2: P到焦点的距离为m = n,贝U P到两准线的距离

8、比为m : n.简证： d22条;0、2、3、4条.“A”法与渐近线求三、抛物线方程.3.设pA0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:2-y =2px2-y =_2pxx2= 2 py2-x =_2py图形xO焦点F理,0)pF-2,0)F(0,)pF(0,-)准线x_2 x2x-业2yl2以1范围x芝0, y在Rx壬0, y w RxW R, y芝0 x w R, y 30对称轴x轴y轴顶点(0, 0)离心率e =1焦点|PF:| =里*1|PF|=：*x-1|PF|=p+yi|PF| =/y注：ay 2 *y +c =x顶点(4ac心-).4a 2ay2=2px(p尹0)则焦点半径PF

9、=x+P；x2= 2py(p=0)则焦点半径为|PF =y+E21 1n 2通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的y2=2px（或x2=2py ）的参数方程为x =2ptJ =2ptXF)y=2pt（t为参数）四、圆锥曲线的统一定义 .4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当OYeYi时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当eK时，轨迹为双曲线；当e = 0时，轨迹c为圆（e=，当c=0, a=b时）.a5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对 称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD与BC

10、的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点Fi,F2的距离之和为定 值2a（2a|FiF2|）的点的轨迹1.到两定点F1,F2的距离之差的 绝对值为定值2a（02a|F1F2|）的 点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定 值e的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离 相等的点的轨迹.方程标准方程22与十与=1(a a b0)a b22二J =1(a0,b0)a by2=2px参数方程x = a cos6 ：y =bsin8（参数日为离心角）：x = a se出y =btan。（陵数e为离心角）次2Pt(t为参数)J = 2pt范围政务b玲寸|x| a, y. Rx*中心原点O (0, 0)原点O (0, 0)顶点(a,0), ( a,0) (0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)Ff。）2焦距2c (c= wa2- b2