大学物理05-5麦克斯韦速率分布律

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出长为长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形细槽、刻有螺旋形细槽的铝钢圆柱体。的铝钢圆柱体。 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫这个规律叫麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度。若不考虑分子速度的方向，则叫的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布律。OD铊蒸气源铊蒸气源检测器检测器L抽气抽气抽气抽气 BC810 mmHg密勒和库士实验（密勒和库士实验（1955年）年）上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出

2、退出长为长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形、刻有螺旋形细槽的铝钢圆柱体。细槽的铝钢圆柱体。 当铝钢圆柱体以给定角当铝钢圆柱体以给定角速度速度 转动时，只有满足下转动时，只有满足下列关系式的原子才能顺利通列关系式的原子才能顺利通过细槽出口：过细槽出口： 而其它速率的原子则将沉积在而其它速率的原子则将沉积在槽壁上而不能通槽壁上而不能通过。过。改变角速度改变角速度 ，检测器检测器D则测出通过细槽的不则测出通过细槽的不同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率分布，见下图。分布，见下图。LtvvL这这里里的的斜斜槽槽是是一一速速率率选选择择器器。上页上

3、页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出Ov相对分子数相对分子数分子速率分布实验曲线分子速率分布实验曲线分子速率分布实验曲线（柱状图）如下所示：分子速率分布实验曲线（柱状图）如下所示：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出将速率分成若干相等的区间，如将速率分成若干相等的区间，如0 10 m/s; 10 m/s 20 m/s; 20 m/s 30 m/s; 1.1.研究气体分子的速率分布研究气体分子的速率分布把速率分成若干相等区间把速率分成若干相等区间求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数各

4、区间的分子数占气体分子总数的百分比各区间的分子数占气体分子总数的百分比速率分布：速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间，把速率可能出现的值分成若干相等区间，全部分子如何分配到这些区间中去的问题。全部分子如何分配到这些区间中去的问题。分布表分布表 分布曲线分布曲线 分布函数分布函数上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出设任一速率区间为：设任一速率区间为：设总的气体分子数为设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为，在该区间内的分子数为N分布在速率分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数附近单位速率间隔内的分子数分布在速率分布在速率 v 附近单位速率间隔

5、内的分子数附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。占总分子数的比率。当当2. 速率分布函数速率分布函数 f(v) 的定义的定义在平衡态下，在平衡态下，f(v)仅是仅是v的函数的函数。注意：注意：vf(v)Ov v+vNvNvN0v 时时，d vv ；dNN；0( )limvNf vvN ddNN vvvv上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出3. 速率分布函数速率分布函数 f(v) 的意义：概率密度函数的意义：概率密度函数分布在速率分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数占总附近单位速率间隔内的分子数占总 分子数的百分比分子数的百分比( (比率比率)

6、 )；对单个分子来说，它表示分子速率落在该单位速对单个分子来说，它表示分子速率落在该单位速 率间隔内的概率。率间隔内的概率。4. 速率分布曲线速率分布曲线在在v-v+dv区间的分子数占总分子数的百分比区间的分子数占总分子数的百分比( (概率概率) )为为在在0- 区间有区间有0( )d1f vv归一化条件归一化条件在在v1-v2区间区间21( )dvvNf vvN( )f vvOdv1v2vd( )dNf vvNNN 面积dNN面面积积上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 早在早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理年，麦克斯韦应用统计概念和力学原

7、理导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式23222( )4() e2mvkTmf vvkT)(vfvO它是二次函数它是二次函数 与指数函数与指数函数 共同作用的结果。共同作用的结果。2v2exp2mvkT上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出麦克斯韦（麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879）19世纪伟大的英国世纪伟大的英国物理学家、数学家。物理学家、数学家。经典电磁理论的奠经典电磁理论的奠基人，气体动理论基人，气体动理论的创始人之一。的创始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念

8、，建他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组），立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组），预言了以光速传播的电磁波的存在。预言了以光速传播的电磁波的存在。1873年，他的年，他的电磁学通论电磁学通论问世，这问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿的是一本划时代巨著，它与牛顿的自然哲自然哲学的数学原理学的数学原理并驾齐驱，它是人类探索并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。电磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，他还提出气体分子在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率（速度）分布的统计规律。按速率（速度）分布的统计规律。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页

9、返回返回 退出退出麦克斯韦速率分布函数（概率密度）麦克斯韦速率分布函数（概率密度）232/22( )4e2mvkTmf vvkT式中式中 是气体的热力学温度，是气体的热力学温度， 是每个分子的质量，是每个分子的质量， 是玻是玻耳兹曼常量。耳兹曼常量。Tmk复杂的系数复杂的系数是因归一化是因归一化的需要！的需要！特点：曲线从坐标原点出发，经特点：曲线从坐标原点出发，经过一极大值后，随着速率的增大过一极大值后，随着速率的增大而逐渐趋近于横坐标轴。这说明而逐渐趋近于横坐标轴。这说明气体分子速率可以取从气体分子速率可以取从0到到之间之间的一切数值。速率很大和速率很的一切数值。速率很大和速率很小的分子数

10、所占的比率都很小，小的分子数所占的比率都很小，f(0)=f()=0，而具有中等速率的，而具有中等速率的分子数所占的比率却很大。分子数所占的比率却很大。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题5-5 5-5 从速率分布函数推算分子的三个统计速率从速率分布函数推算分子的三个统计速率(1)(1)算术平均速率算术平均速率(2)(2)方均根速率方均根速率0( )dvvf vv2322204() ed2mvkTmvvvkT8kTmmol8RTMmol1.60RTM220( )dvv f vv23222204() ed2mvkTmvvvkT23kTvmmol3RT

11、Mmol1.73RTM上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(3)(3)最概然速率最概然速率(the most probable speed)：vp最概然速率是指在任一温度最概然速率是指在任一温度T 时，气体中分子最可能时，气体中分子最可能具有的速率值。具有的速率值。(4)(4)三种速率的关系三种速率的关系即在即在v =vp时，分布函数取极大值。时，分布函数取极大值。ddfv2232p2224() 2 ee2mmvvkTkTv vmmvvvkTkTp2kTvmmol2RTMmol1.41RTM2pvvv0)(vfvOpvv2v2p:1.41:1.60:1.

12、73vvv 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出prms TmMvvv三三个个速速率率都都与与成成正正比比，与与或或成成反反比比，在在室室温温下下它它们们的的数数量量级级一一般般在在几几百百米米每每秒秒至至几几千千米米每每秒秒。三种统计速率有不同的应用：三种统计速率有不同的应用： 在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算分子碰撞频率时，要用到平均速率；在计算分子算分子碰撞频率时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动能时，则要用到方均根速率。的平均平动动能时，则要用到方均根速率。上页上页 下页下页 返回返回 退出

13、退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(1)vvfd)(速率在速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比(2)vvNfd)(速率在速率在v-v+dv内的分子数内的分子数(3)21( )dvvf vv速率在速率在v1v2内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比(4)21( )dvvNf v v速率在速率在v1v2内的分子数内的分子数(5)( )dvNf v v速率比速率比 v 大大的分子数的分子数(6)0( )dvNf v v速率比速率比 v 小小的分子数的分子数上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(12

14、) 21dvvvf vv无实际物理意义！无实际物理意义！(9)21( )dvvNvf v v速率在速率在v1v2内所有分子速率的总和内所有分子速率的总和(10)21() ( )d2vNmvf v v速率比速率比 v 大大的所有分子平动动能之和的所有分子平动动能之和(7)201()( )d2mvf vv所有分子平动动能的平均值所有分子平动动能的平均值(8)0( )( )dv f vv( )v(11) 2121ddvvvvvf vvf vv速率在速率在v1v2区间所有分子速率的平均值区间所有分子速率的平均值上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出同一气体，不同温

15、度：同一气体，不同温度：曲线的峰值右移，由于曲线下曲线的峰值右移，由于曲线下面积为面积为1不变，所以峰值降低。不变，所以峰值降低。p2 kTmTvm 不不变变，T1T221TT( )f vp1vp2vvO不同气体，相同温度：不同气体，相同温度：p2 kTTmvm 不不变变，曲线的峰值左移，由于曲线下曲线的峰值左移，由于曲线下面积为面积为1不变，所以峰值升高。不变，所以峰值升高。m2m121mm( )f vp2vp1vvO上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出练习一、练习一、试计算试计算27下的氧气分子的三种速率。下的氧气分子的三种速率。28.31 3001

16、.731.73483 m/s0.032RTvM8.31 3001.601.60447 m/s0.032RTvM可见在相同温度下可见在相同温度下:2p vvv0.032 kg/mol, 27327300 KMT解解: :p8.31 3001.411.41394 m/s0.032RTvM上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出2pH3()10RTv31.41 10 m/s222HH3()RTMvm/s1073. 13氦气的速率分布曲线如图所示，氦气的速率分布曲线如图所示，练习二、练习二、求：求：(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。氢气在该温度时的最概

17、然速率和方均根速率。(1) 试在图上画出同温度下氢气分子速率分布曲线的大致图；试在图上画出同温度下氢气分子速率分布曲线的大致图；解：解：pHe32()1000 m/s2 10RTRTMv(2)1000He2H( )f vO(m/s)v上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题5-6 5-6 试计算气体分子热运动速率的大小介于试计算气体分子热运动速率的大小介于 vp-vp/100 和和 vp+vp/100 之间的分子数占总分子数的之间的分子数占总分子数的百分比。百分比。ppp99100100vvvvppppp10010050vvvvvv 在此利用在此利用

18、vp，引入，引入W=v/vp，把麦克斯韦速率，把麦克斯韦速率分布律改写成如下简单形式：分布律改写成如下简单形式：224eWNWWN解：解：按题意按题意请作为公式记住此请作为公式记住此麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布律的简化式！律的简化式！上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出22991004991e1.6601%10050NN把这些量值代入前式即把这些量值代入前式即得得p99,100vWvp150vWv现在现在说明：若以说明：若以W=1代入更为方便。代入更为方便。221411e1.6604%50NN可见误差极其微小！可见误差极其微小！上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 选择进入下一节选择进