ch-10-4函数的幂级数展开ppt课件

1、数学分析数学分析第四节第四节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开一、一、Taylor级数与余项公式级数与余项公式二、初等函数的二、初等函数的Taylor展开展开三、例三、例 题题四、近似计算四、近似计算重点与难点：函数展开成幂级数重点与难点：函数展开成幂级数数学分析数学分析上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 若存在幂级数在其收敛域内以若存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数，为和函数，问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?给

2、定给定 f (x),一、一、TaylorTaylor级数与余项公式级数与余项公式1 1、TaylorTaylor级数级数数学分析数学分析 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数 nnxxaxxaaxfxxf)()()()(00100数数，且且的的某某邻邻域域内内有有任任意意阶阶导导在在设设数学分析数学分析 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导, ,则则幂幂级级数数nnnxxnxf)(!

3、)(000)( 称称为为)(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .问题问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x) ?不一定不一定! !数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析证明证明必要性必要性)()(!)()(000)(xrxxixfxfninii ),()()(1xSxfxrnn ,)(能能展展开开为为泰泰勒勒级级数数设设xf)()(lim1xfxSnn )(limxrnn)()(lim1xSxfnn

4、;0 )(000!)()()()(xxfiixixfxrnin 定义余项定义余项2 2、展开条件、展开条件数学分析数学分析充分性充分性),()()(1xrxSxfnn )()(lim1xSxfnn )(limxrnn , 0 ),()(lim1xfxSnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于数学分析数学分析证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收敛收敛在在 nnnxx?, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x),(0

5、0RxRxx 数学分析数学分析3 3、余项公式、余项公式数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析二、初等函数的二、初等函数的Taylor展开展开1、直接展开、直接展开步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(Mxfrnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析同理可以得到同理可以得到数学分析数学分析 nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1()6(2 数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析

6、数学分析2.2.间接法间接法 利用已知展开式利用已知展开式, , 通过代换通过代换, , 变形变形, , 逐项逐项求导求导, , 逐项积分等方法逐项积分等方法, ,求展开式求展开式. .例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn数学分析数学分析 xxdxx021arctan1 , 1,12)1(5131arctan1253 xnxxxxxnn xxdxx01)1ln(1 , 1(,)1(3121)1ln(132 xnxxxxxnn 121)1(513114nn数学分析数学分

7、析数学分析数学分析三、例题三、例题数学分析数学分析数学分析数学分析,0, 10,arctan1)(2 xxxxxxf设设.4)1(121的的和和的的幂幂级级数数，并并求求级级数数 nnnx展展开开成成试试将将)(xf)1 , 1(,)1(11022 xxxnnn 1 , 1,2) 1()(arctanarctan01201 xnxdxxxnnnx,)1()1(1)(122121212 nnnnnnnnxxxf解解例例数学分析数学分析 121121212)1()1(1nnnnnnnnxx1 , 1,)1(2112241 xxnnnn 1 , 1,)1(21)(12241 xxxfnnnn2141

8、)1(2141)1(12 fnnn数学分析数学分析);21ln()1(2xxy 练习练习;11arctan)()2(xxxf 其其收收敛敛区区间间：的的幂幂级级数数，并并指指出出将将下下列列函函数数展展开开成成 x).1()3(xedxdx );21ln()1ln(xx ;11)(2xxf );|(|!1!110 xnxxenxennxnnx数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析数学分析四、近似计算四、近似计算数学分析数学分析数学分析数学分析五、小结五、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于和函数的条件泰勒级数收敛于和函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.数学分析数学分析思考题思考题1. 1. 举例说明幂级数经运算后所得举例说明幂级数经运算后所得的幂级数收敛域改变。的幂级数收敛域改变。2. 2. 什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？ 数学分析数学分析思考题解答思考题解答例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域分别是但它们的收敛域分别是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 1. 2. 2. 从已