2021高考数学立体几何专题大题练习

1、2021高考立体几何大题练习1 .如图，四棱锥P-A8C。的底面ABC。为正方形，PA = PB = PC=PD, E,尸分别是棱尸C, A8的中点.（2）若A4 = AB = 4,求直线环与平面以B所成角的正弦值.2 .如图，四棱锥中，APAD为等边三角形，AB/CD.ADLCD,且CP = CA=AB = 2CD = 4.（1）求证：平面平而45C0；（2）求二面角BCP。的余弦值.试卷第3页，总4页3 .如图，三棱柱A5C4与G中，侧面为菱形，5c的中点为。，且49,平面BB£C.(1)证明：BlC 1 AB ；(2)若AClAd，NCBB = 60。, 8C=1,试画出二面角

2、A BC 4的平面角，并求它的余弦值.4 .在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.如图，在棱长 为1的正方体A5C。A5c自中，点GM分别是极GC5c的中点.(1)证明：4 M、G、A共面;(2)求截面4MGR的面积.5 .如图，在棱柱458中，底面A5C。为平行四边形，DD' = CD = 4,AD = 2, ZBAD = -,且。在底面上的投影恰为CO的中点. 3（1）求证：8CJ_平面方。7/；（2）求二面角C' 5” C的大小.6 .三楂柱ABC A/C1 中，平面A41451.平面A5C, A5 = A4 = A/ = 4, BC = 2 , A

3、C = 2",点尸为楂A5的中点，点E为线段AG上的动点.（1）求证：EF1BC；（2）若点E为线段4a的中点，求点C到平面5石尸的距离.7 .如图，在三棱柱 ABC - A 4G 中，平面 ACG A，平面 ABC, ZACB = 90。，A5 = 4，BC = 2,侧面ACC/i是菱形，4/。= 60°,点D, E分别为A4, AC的中点.(1)证明：AO平面Eqq；(H)求直线A4与平面EB|G所成角的正弦值.参考答案1. (1)见解析(2)上3【分析】(1)取PD中点M,连接AM, ME,可证明出A/2ME,即有石尸/4W，根据线面平 行的判定定理，即可证出石尸平面

4、附0;(2)连接AC, BD交于点O,以OA, OB, OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系O-xyz,由线面角的向量公式即可求出.【详解】(1)取PD中点M,连接AM, ME,因为E, M分别是棱PC, PD的中点，所以ME = LdC, ME/DC, 2因为F是AB的中点，且A8 = cr>, A5/C3,所以A尸/OC，且4尸即A尸/ME. 2=故四边形AFEM是平行四边形，从而有E尸/AA/.又因为石尸(Z平面PAD, A" u平面PAD,所以成/平面PAD.(2 )连接AC, BD交于点O,连接OP,由题意得尸O1平面ABCD, AC1B

5、D,以OA, OB, OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则 A(2VI 0,0), 6(0,2VI0), C(2&,0,0),尸(0,0,25/1),E(-四,0,扬,F(壶，应,0),AP = (-20,0,2伪,AB = (-2衣 2应,0), EF = (2"-，设平面PAB的法向量为万= (x,y,z).APn = 0. -x+z = 0, 由一 得 八A5 .万=0, 1x+y = 0,可取X = l,得为= (LL1).设EF与平面PAB所成的角为6, 所以 sill 0 =| cosEF, ri) |=即直线EF与平面PA

6、B所成角的正弦值为立. 3【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理的应用以及利用向量求直线与平面所成角，意在考查学生 的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题.2. (1)证明见解析(2) 一立I7【分析】(1)根据边角关系，求出CD_LAO,由AO_LCQ,判断出CD_L平面附。，再证明出结论:(2)取AO中点。，则POLW,由(1)知，PO_L平面H8CD,如图，以。为坐标原点 建立空间直角坐标系，求出平面BCP和平面CDP的法向量，利用夹角公式求出即可.【详解】(1)证明：因为 AO_LC£>,CQ = 2,C4 = 4,所以AO? = AC?C0=12,即从

7、。=2百.因为PAO为等边三角形，所以PD = AD = 2jJ.因为 PC = 4,CD = 2,所以CO? + PO2 = PC 即 C£)_LPD.又因为尸Oc A。= O,CQ_L A。，所以C0_L平面BAO，又因为8 u平面ABC。，所以平面PAQ_L平面ABCD.(2)解：取A3中点。，则PO_LA。，由(1)知，PO1平面45CO.如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，则0(0,0,3), D(5 0、0), C(万,2,0), 8(", 4,0)，PC = (52,-3),B。= qG-2,0),dC = (0,2,0).设平面5cp的法向量为历，平面法

8、向量为“，则丽辰二0, 所屈二0,h-PC = O,万DC = 0,cos <m,n >=mn V3 + V3 V2Ttri-n-r所以二面角的余值为立I. 7【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，考查了向量法求二面角的余弦值, 考查运算能力和逻辑推理能力.3. （1）见证明；（2）二面角图见解析；叵7【解析】【分析】（1）由菱形的性质得出及C_L6C由49_L平面88CC，得出5014。，再利用直线与平面垂直的判定定理证明B© 1平面ABO,于是得出301 AB ；（2）过点O在平面5CG4内作818C,垂足为点。，连接40,可证出8c平面，于是找

9、出二面角A-5c 一4的平面角为NAOO ,并计算出H/A4OO的三边边长,利用锐角三角函数计算出cos/A0O,即为所求答案.【详解】（1）连接8G，所以6clsG，且8c与6G相交于。点.因为4O_L平面68CC，8°u平面所以5cl A0.又5qnAO =。，所以耳C_L平面A8O因为A5U平面A5O,所以8C_L46.(2)作。DISC,垂足为。，连结40，因为5C_LQA, BCtOD, OAOD = O,所以8C_L平面AO。，又AOu平面A。，所以6C_LA0.所以NAOO是二面角A 5C 一4的平面角.因为NC64 = 60 ,所以ACSd为等边三角形,又8。=1,所

10、以OC = 1sC = L, 22所以0。=巫。=立.24因为4cl4片，所以 所以 AO = JozKVGFn X-.4在 H/A4QD 中，cosZAZ)O = -=.AD 7【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，二面角的求解，在这些问题的处理中，主要找出一些垂直 关系，二面角的求解一般有以下几种方法：定义法；三垂线法；垂面法；射影面积 法；空间向量法.在求解时，可以灵活利用这些方法去处理.94. (1)证明见解析；(2)8【分析】(1)证明AOJ/MG,利用两条平行线确定一个平面即可证明四点共面.(2)由题意知截面为等腰梯形ARGM,求出=当，高为半，利用梯形的面积公式即可求解.【详解】

11、证明：连结8G，在正方体中。CAB, .BCJ/A。，又; BC/GM ,ADJ/MG .A、M、G、四点共面.根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形ARGM,由正方体的棱长为1,可求得该梯形的上底为GM = YZ，下底为4。=点， 21利用梯形的面积公式可求得【点睛】本题主要考查了证明四点共面以及求截面的面积，属于基础题.5. （1）证明见解析；（2） 4【分析】（1）由棱柱458-48。'。可得四边形3006为平行四边形，则有夕3/5'。'，在A5O中，利用余弦定理求出80，进而可得+= A5?，则AO_L5D，而AD/BC,从而得5C_L8

12、Z>',由己知可得6C_L，进而利用线面垂直的判定定理可 得 8c 平面 8'。'；（2 ）以阮所在直线为）'轴，而所在直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,利用空间向量求解即可【详解】（1） 棱柱 A5C3-45C'。' .四边形A66'A，ADDA为平行四边形AA/DD1, AAf = DiyAA'/ZBB', A4f = BBf/. BB7/DD', BB' = DD' 四边形BDD'B为平行四边形. BD/B,D,.在AS。中，4£） = 2, A8 =

13、 4, BAD = y ,/. BD2 = 16 + 4-2x2x4xcos = 123答案第7页，总12页AD2 + BD- = AB2:.AD1BD 四边形ABCD为平行四边形. AD/BC BC1. BD :. BCLB,D, 。'在平面A5C。上的投影为，D'H _L平面 ABCD BC u 平面 ABCD ：- BC1 D'H又 V BC 1 B'D'D'H cB'D' = UO'", 8'。u 平面 8'。'" BC,平面3'D'H（2以“。所在直线为

14、）'轴，所在直线为Z轴,建立如图所示的空|u直角坐标系”-忆则“（0,0,0）,C（0,2,0）, C（0,4,2>/3）设成二 （x,y,Z）为平面的一个法向量nl-HB = y/3x+y = 0屋" C' = 4y + 2 底=0 令 x = l,则=一6，Z = 2,则=（1,一。,2）又n=（0,0,1）为平面BHC的一个法向量V标电闫0,可(；,%)与二面角C-BH-C所成平面角相等二面角C' 5H C的大小为£4A【点睛】关健点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是由已知条件以以”6所在直线为y轴，所在直线为z

15、轴，建立如图所示的空间直角坐标系利用空间向量求二面角的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题6. (1)证明见解析；(2)，后.【分析】(1)由题意，易证A尸由面面垂直可得A/_L平面ABC,得到A/_L6C,由 勾股定理可证6C_LAC,然后线面垂直的判定定理可证8。_1_面4£77,由此即可结果.(2)采用等体枳法，利用.核户=4.86,即可证明结果.【详解】证明：(1)因为48 = AA = 4/,/为A6中点，所以因为平面平面ABC,平面AA仇5n平面A6C=A8, 4Fu平面44/，所以AF_L平面A6C,而5CU平面A5C,故A尸,60,答案第9页，总12页又因为5

16、cli+ AC? =所以 5C_LAC,又在三楂柱A3C A与G中，AC/AG，8C_L4£, BC1 Afi又AGnAE = 4,故3C_L平面AE/，又瓦'u平面AE尸，所以8c_L" VjBEF Ve-BCF »在三棱柱中，VE-BCF=BCF-AiF = 2取6c中点用，连EM, FM ,则尸例/AC,且尸M = L4C, 2又Acj/ac,且ag = 4c,所以AE/AC,且所以且AE = FM,所以四边形4FME为平行四边形所以EM /A】F ,由（1）知AF_L平面A5C,所以平面45C,EM =2后,FM =6,BM = 1,所以 EF =

17、而,BE =岳,BF = 2,/err 4 + 13-151IJJJT所以CM吁可 =运，su»" = M运卜力,所以s=x2xJHx里:=县，-阳 227132设点C到平面BEF的距离为h,则匕.= 2 = L3 c - h 匕r3 2：Jl = y/51,17即点c到平面BEF的距离为，后.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理，和面面垂直性质定理的应用，考杳利用等体枳法求点 到面的距离，考杳空间想象能力、逻辑推理能力以及计算能力，是中档题.7. (I)见解析；(1【)叵.14【解析】【分析】(I)取4Q的中点F,证得AEFO为平行四边形，进而得AO, EF平行，得证

18、；(H)利用平行把AA转化为CG，只需作。加，七6于“，可证得。0_1平面上60,从而确定NEG。为所求角，结合正弦，余弦定理不难求解.【详解】(1)证明：取4C的中点F,连接FD. FE, d为A片的中点，.。/ag，。尸= aG，又 E 为 AC 中点，； A£7/ACj AE = AC = AlCl, DF/AE> DF = AE ,J四边形AEFD为平行四边形，A。/AE尸，又ADU平面EB】G，EFu平面上5£,AD 平面E6G；(2)在三棱柱 中，44J/CG，.只需求CG与平面E4G所成角，在平面ACQA内作CM 1 EC,于M, 平面4CG4,平面 ABC, Z4C8 = 90。