(天津大学概率论课件)2.1--2.2

1、第二章 随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量随机变量2.2 2.2 离散型随机变量离散型随机变量的的概率分布概率分布2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.4 2.4 连续型随机变量连续型随机变量的的概率密度概率密度2.5 2.5 随机变量的函数随机变量的函数的的分布分布 便于数学上的推导和计算便于数学上的推导和计算，需将任意的，需将任意的随机随机事件数量化事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，字来表示时， 就建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念1. 1. 为什么引入随机变量为什么引入随机变量? ?2.1 随机变量随

2、机变量2. 2. 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个在一装有红球、白球的袋中任摸一个球球, ,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色. . = =红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 红色红色白色白色)(eX即有即有 X X ( (红色红色)=)=1 1 , , X X ( (白色白色)=)=0 0. . ., 0, 1)(白色白色红色红色eeeX这样便将非数量的这样便将非数量的 =红色，白色红色，白色 数量化了数量化了. .R10实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. ., 3) 3

3、(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX1(1, 2, 3, 4, 5, 6).6P Xii =1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有eeX )(则有则有练习练习 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中, ,考虑其性别，考虑其性别， 共有共有 4 4 个样本点个样本点: :. )(),(, )(),(4321女女女,女,男男女,女,女女男,男,男男男,男, eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , , 则有则有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4

4、 eX可得定义在样本空间上的实函数可得定义在样本空间上的实函数 X(e), , ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX一般地，一般地，X X( (e) )写为写为X X， X Xx e|X(|X(e e) ) x 。3. 3. 随机变量的定义随机变量的定义eX(e)RX 设设 是随机试验是随机试验E的样本空间。若对每一个的样本空间。若对每一个样本点样本点e,都对应着一个实数都对应着一个实数X(e)，则称，则称X( ) 为定义为定义在在 上的随机变量上的随机变量( random variable) ，简记为，简记为X。通常用大写字母通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表

5、示，而等表示，而表示随机变量所取的值时表示随机变量所取的值时, ,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等. .(2)(2)随机变量随机变量随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.(1)(1)普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的, ,而随机变量是定义在样本空而随机变量是定义在样本空间上的间上的( (样本空间的元素不一定是实数样本空间的元素不一定是实数) )；说明说明：随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同 (3)由

6、于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.(指示变量(示性函数)P3) 有了随机变量有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来以通过随机变量的关系式表达出来.引入随机变量的意义引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有收到呼叫 X

7、1X= 0 事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它(i)(i)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个, , 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. . 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数X.X.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 : :实例实例1 11, 2, 3, 4, 5, 6.实例实例2 2 若随机变量若随机变量X 记为记为“连续射击连续射击, ,直至命中时直至命中时的射击次数的射击次数

8、”, ,则则X的可能值是的可能值是: : ., 3, 2, 1 (ii) (ii)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间充满某个区间, ,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量. .实例实例3 3 随机变量随机变量X为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”. .)., 0 则则 X 的取值范围为的取值范围为 解：分析解：分析例例 一报童卖报，每份一报童卖报，每份0.15元，其成本为元，其成本为0.10元元. 报报馆每天给报童馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回的报纸退回. 设设X为报童每天卖出的报纸份数，试为报童每

9、天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当当 0.15 XPX1/21/2。得得a=1/6 a=1/6 21XP解解: :（1 1）由分布律性质）由分布律性质（2 2）530XPXPXP43例例2. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是知他每发命中的概率是p，求所需射击发数，求所需射击发数X 的概率的概率函数（即分布率）函数（即分布率）.解解: X 可能取的值是可能取的值是1,2, ， P(X=1)=P(A1)=p, 为求为求 P(X =k )， k = 1,2, Ak

10、 = 第第k发命中发命中，k =1, 2, ，设设于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(即即 若随机变量若随机变量X的概率函数如上式，则称的概率函数如上式，则称X具有具有几何分布几何分布. 不难验证不难验证:1)1 (11kkpp几何分布作为几何分布作为描述某个试验描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型. .例例3. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有信号一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有信号灯的路口，每个信号灯以灯的路口，每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车的概率允许或

11、禁止汽车通过，且信号灯工作相互独立，通过，且信号灯工作相互独立， 以以X表示该汽车首次表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数遇到红灯前已通过的路口的个数，求，求X的概率分布的概率分布.解解: 依题意依题意, X可取值可取值0, 1, 2, 3. PX=0=P(A1)=1/2, Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1PX=1=P( )21AA2121= 1/4321AAA=1/8PX=3= P( )212121路口路口3路口路口2路口路口1不难看到不难看到301)(iiXPX表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的

12、个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设路口路口3路口路口2路口路口1321AAA PX=2=P( )212121=1/8818141 21 3210 kpX即即X 0 1pk 1-p p二、三种常用离散型随机变量的分布二、三种常用离散型随机变量的分布1.两点分布两点分布 （0-1）分布的分布列：）分布的分布列：则称则称X服从参数为服从参数为 p 的的(0-1)(0-1)分布分布 或或 两点分布两点分布)10(1 , 0,)1(1 pkppkXPkk PX =1=p， PX =0=1-p (0p1)，或或：如果随机变量如果随机变量

13、X只能取只能取0,10,1两个值，其分布律两个值，其分布律为为实例实例 “抛硬币抛硬币”试验试验, ,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. X 服从服从 (0-1) 分布分布. ., 1)(eXX , 0,正面正面当当 e.反面反面当当 eXkP012121其分布律为其分布律为 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 都可用两点分布描述都可用两点分布描述.比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等种籽是否发芽等,【注注】n n重重伯努利伯努利试验有下面四个约定

14、：试验有下面四个约定： （1 1）每次试验的结果只能是两个可能的）每次试验的结果只能是两个可能的 结果结果A A和和 A A之一之一, ,（2 2）A A在每次试验中出现的概率在每次试验中出现的概率p p保持不变保持不变, ,（3 3）各次试验相互独立）各次试验相互独立, ,（4 4）共进行了）共进行了n n次次. .n重重Bernoulli试验：试验：设设E为伯努利试验，为伯努利试验， 将将E独立地重复进行独立地重复进行n次次Bernoulli（伯努利）试验：（伯努利）试验：只有两个可能的结果只有两个可能的结果 A和和 A的试验的试验2.二项分布（二项分布（binomial distribu

15、tion)：定理定理 n n重伯努利试验重伯努利试验, ,事件事件A A在在n n次试验中出现次试验中出现k k次次 的概率为的概率为 pqnkqpCkXPknkkn1, 1 , 0证明：由证明：由n n重贝努里试验定义，事件重贝努里试验定义，事件A A在某指定的在某指定的k k次试验中出现，而在其余次试验中出现，而在其余n-kn-k次试中不出现的概率次试中不出现的概率为为 pk(1-p)n-k = pkqn-k 而在而在n n次试验中事件次试验中事件A A发生发生k k次共有次共有C Cn nk k种不同情况，种不同情况，对应的事件为互不相容的，由概率的有限可加性对应的事件为互不相容的，由概

16、率的有限可加性pqnkqPCkXPknkkn1, 1 , 0其中其中,X 表示表示n次伯努利试验中次伯努利试验中,事件事件A出现的次数出现的次数.1)(0 nnkknkknqpqpC显然，显然，例例4 4 袋中有袋中有3 3个白球个白球,2,2个红球个红球, ,有放回地取球有放回地取球 4 4 次次, ,每次一只每次一只, ,求其中恰有求其中恰有2 2个白球的概率个白球的概率. .解解 每取一个球看作是做了一次每取一个球看作是做了一次BernoulliBernoulli试验试验记取得白球为事件记取得白球为事件 A A ，. 5/3)(AP有放回地取有放回地取4 4个球看作做了个球看作做了 4

17、4 重重Bernoulli Bernoulli 试验。试验。.3456. 0525322224CXP设设4 4次试验中次试验中A A 发生的次数为发生的次数为X,X,则则A A发生发生2 2次的概次的概率为率为定义：定义：若离散型随机变量若离散型随机变量X X的分布律为的分布律为 nkqpCkXPkkkn, 1, 01 其中其中0p （2 2），说明尽管情况），说明尽管情况2 2任务重了（一个任务重了（一个人修人修2727台），但工作质量提高了，也说明，概率方台），但工作质量提高了，也说明，概率方法可用来讨论国民经济中某些问题，以使达到更有法可用来讨论国民经济中某些问题，以使达到更有效地使用人

18、力、物力、资源的目的，这是运筹学的效地使用人力、物力、资源的目的，这是运筹学的任务，概率论是解决运筹学问题的有力工具。任务，概率论是解决运筹学问题的有力工具。（2 2）设）设X X为为8080台中同一时刻发生故障的机器数，台中同一时刻发生故障的机器数，X B(80X B(80，0.01)0.01)，X X取值：取值：0 0，1 1，2 2，80 80 对于离散型随机变量，如果知道它的对于离散型随机变量，如果知道它的概率分布概率分布（分布率）（分布率）, ,也就知道了该随机变量取值的概率规也就知道了该随机变量取值的概率规律律. . 在这个意义上，我们说在这个意义上，我们说 2.介绍了离散型随机变量及其概率分布介绍了离散型随机变量