第九讲线性代数方程组的解法下ppt课件

1、 直接方法高斯简单消去法直接方法高斯简单消去法 、选主、选主 元消去元消去法法 、高斯、高斯约当消去法约当消去法 、三角分解法、三角分解法 范数与误差分析范数与误差分析 迭代法迭代法一、向量范数: , 1, 0 , 00; () 2, , () 3, , nnxRxxxx x x x xy xy , x yR 向量范数定义设对任意向量按一定的规则有一实数与之对应 记为若满足且当且仅当正定为任意实数齐次对任意 () xx三角不等式则称为 向量 的范数)x(xxxnin12i212212 =+=1i11 nnixxxx,maxxmaxxxxnini11=1/1,pnpipixx 1111 -: 1

2、,2,(1, )maxmax maxmaxniiiiiii ni niii ni nx yRx y inxyxyxyxyxy 可验证上面范数均满足范数定义的条件。以范数为例满足条件显然。 由于为向量，而其分量为实数，故有12 (1,2,3) 6,3,14. ,0, TnxxxxRm Mnxm xxMx例：计算向量的各种范数。解：如果中两个范数和，存在实数，使得对任意 维向量都有 ， 则称这两个范数是等价的。对两个等价范数而言，同一向量序列有相同的极限。2221221122212222 12 max.max. 2 ini njii nnjxxxxxxxxxxxxxxxnnxxxn 不难证明， 范

3、数，范数和范数是等价的。例： 设则范数和范数等价。如不作说明，今后是指任意一种向量范数。 1, 0 , 00; () 2, , () 3, , () 4 nAAAAA A A A AB AB , A Bn ABABAA定义：对任意 阶方阵 ，按一定的规则由一实数与之对应，记为。若满足且当且仅当正定为任意实数齐次对任意两个 阶方阵三角，（相容性条件）则称为矩阵 的范数。1 max () 1 maxmaxnxijxxAnRAxAxAanxnAxxAxxxxAxAAxx定理：设 为 阶方阵，是中的向量范数，则 是一种矩阵范数，称其为由向量范数诱导出的矩阵范数。证：设为任意 阶方阵， 为任意 维非零向

4、量。因为为范数是 的单位向量，故1111 10.0,max0. 00 0. 2 maxmax max. 3, xxxxAAAAxAAxAxAAAxAxAxAnABAB ，显然若则反之，若，对任意两个 阶方阵 和 ，11111max ()max max()maxmax .xxxxxAB xAxBxAxBxAxBxAB1111 4 . max ()max() maxmax 5 xxxxnxAxAAxAxxABAB xA BxABxABxABnxAxAx，对任意 维非零向量 ,有 即 故有，对任意 维向量 ，都有。这一 性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。可由三种常用的向量范数诱导出矩阵范数。211

5、221max , ()TxijAAxA AAan其中是的最大特征值。又称为谱范数。 设为 阶方阵。111111maxmax , 1nijxj niAAxa 为矩阵的列向量的 范数的最大值称为矩阵的列范数。111m axm ax , 1nijxinjAA xa 为 矩 阵 的 行向 量 的 范 数 的 最 大 值 称 为 矩 阵 的 行 范 数 。212* 12 ,34 6,7,5.46. /nRAAAAAAAAAAAAA如果将矩阵范数看作空间上的向量范数，则由向量范数的等价性可得矩阵范数的等价性。例：计算 的各种范数。解：矩阵的误差可用矩阵范数表示：设是 的近似矩阵，、分别称为的关于范数的绝对

6、误差与相对误差。1 (1,2, ) ( ) maxn niii nARinAA 定义：设的特征值为称为 的谱半径。 ( ) , A AAA定理：为的任意矩阵范数 ( , A ( )AxxxAxxxAxAAA1211221211225 22 .1.000012021.1.000012.000011 10 ,xxxxxxxxxxxx一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会有误差，即有扰动，从而使计算结果产生误差。例：方程组而方程组比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差1别，最大相对误差为但它们的解却大不相同，解分2量1的相对误差至少为 。2 AbAxbAAAxb定义： 如果矩阵 或常数

7、项 的微小变化，引起方程组解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵 称为“病态”矩阵（相对于方程组而言）。否则称方程组为“良态”方程组， 称为“良态”矩阵。矩阵的“病态”性质是矩阵本身的特性。为了定量刻划方程组的“病态”程度，下面对方程组就系数矩阵或右端项分别有扰动的两种情形进行讨论。111111 , () ,bbxxA xxbbAxbAxbxAbxAbAbAxbxAAAbAAbxbxbAAA设有 扰 动， 相 应 解 的 扰 动 记 为即由，两 边 取 范 数又 因 为此 式 表 明 当 右 端 项 有 扰 动 时 解 的 相 对 误 差 不 超 过右 端 项 的 相 对 误 差 的

8、倍 。11111111 , ()()()0()()1, 11AAxxAAxxbAxA xxxAA xxAAxxAAAAAAAAxAAxAAAAAAAAA如果右端项无扰动，系数矩阵有扰动，相应的解的扰动仍记为则如果充分小，使得则由上式得上式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与有关。一般地，1越大，解的扰动也越大。-11-11max222min , ()(1,2 (1) ()(2) A() ().()vvvTTAAAcond AAAvAcond AAAA Acond AAAA AA综上分析可知 量实际上刻划了解对原始数据变化的灵敏程度 即刻划了方程组的“病态”程度。定义：设 为非奇异阵，称数或）

9、为矩阵 的条件数。常用的条件数，有的谱条件数当 为对称矩阵时121 (),nncond AA，其中，为 的绝对值最大和绝对值最小的特征值。1122 1( )1. ( )1. 20 ()( ) 3( )1 ()vvvvvvvAcond Acond AAAA AIAccond cAcond AAcond AARcond RAcon、对任何非奇异矩阵 ，都有由定义、设 为非奇异矩阵且（常数），则、如果 为正交矩阵，则 ；如果 为非奇异矩阵， 为正交矩阵,则22()( ) .d ARcond A3 1112111 231111121nHilbertnHnnnnH例：矩阵计算的条件数。133331333

10、661112393630111 ,3619218023430180180111345(1)() .11()408748.6()2.910 .nHHHcond Hcond HHHcond HHn解：计算条件数 同样可计算一般矩阵当 越大时，病态越严重。1122331122311111236111113 2 1234121471116034531.000.5000.333 0.5000.3330.2500.3330.2500.200 xxxxxxHbxxxxx（ ）考虑设及 有微小误差（取 位有效数字）有3331.831.080.783()(). (1.0895,0.4880,1.491)TxHH

11、xxbbxx简记为其解为3333 (1.0895,0.4880,1.491) , (1,1,1)(0.0895, 0.5120,0.4910)0.18 100.02%0.51200.182%51.2%1 50TTTxxxxHHbxbxHb由于 这表明 与 相对误差不超过0.2%，而引起解的相对误差超过. 123 ,det()0,()(nAAAIAcond Acond计算条件数需要求矩阵的逆，因而比较困难。根据数值经验，在下列情况下，方程组常是“病态”的。（ ）在用主元素法时出现小主元；（ ）如果 的最大特征值和最小特征值之比（按绝对值）是大的，则是“病态”的。（ ）系数矩阵中有行（或列）近似线

12、性相关，或系数行列式的值近似于零。但这不是绝对的，如当为很小的数时，有但)1,4IAA方程组状态良好。（ ）系数矩阵元素间数量级相差很大，并且无一定规则可能“病态”。1 ; ., ()( ).,AxbPAQyPbyQ xP Qcond PAQcond AP Q用选主元素的消去法不能解决病态问题，对病态方程组可采用高精度的算术运算或采用预处理方法。即将求解转化为一等价方程组选择非奇异矩阵使一般选择为对角阵或者三角矩阵。*12112112 22 1.00001201,1 AxbxxrbAxrxrxxxxxxxx在求得方程组的一个近似解后，检验精度的一个简单方法是将代入方程组求得残量（余量）。如果很

13、小，就认为解比较准确。但在“病态”严重的方程组，也有即使残差量很小，近似解与准确解的差仍很大的情形。上例中，方程组若以作为它的近似解，其残量5*(2,2)(2,2.00001)(0, 10) (2,0)(1,1)(1, 1) TTTTTTrxx很小，但解的误差却不小。*1*11*11 - ( ). () ( ). xxAxbx xrrxcond AxbbAxA xxxAbAxA rArxxArrrAAcond AbxbbA定理：设 和分别是方程组的准确解和近似解，为 的残量，则证：因为所以由上式可看出，当方程组“病态”严重时，条件数很大，即使残量很小，解的相对误差仍可能很大。直接法直接法: :

14、 经过有限次运算后可求得方程组准确解的经过有限次运算后可求得方程组准确解的方法方法( (不计舍入误差不计舍入误差!)!)迭代法：从解的某个近似值出发，经过构造一个无穷序列迭代法：从解的某个近似值出发，经过构造一个无穷序列去逼近准确解的方法。普通有限步内得不到准确解去逼近准确解的方法。普通有限步内得不到准确解 直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难坚持稀疏性，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难坚持稀疏性，因此有存储量大，程序复杂等缺乏。因此有存储量大，程序复杂等缺乏。 迭代法那么能坚持矩阵的稀疏性，具有计算简

15、单，编制迭代法那么能坚持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。地解一些高阶方程组。 迭代法的根本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规那么。由不同的计算规那么得到不同的迭代法，本章引见单步定常线性迭代法。1(0 )(1)()()() ()(,) , (k=0,1,2,)TijnnnnnkkkkAxbAabbbxM xgMngRxRxM xgxkxAxb对 线 性 方 程 组其 中非 奇 异 矩 阵 ， 构 造 其 形 如的 同 解 方 程 组 ， 其 中

16、为阶 方 阵 ，。任 取 初 始 向 量代 入 迭 代 公 式产 生 向 量 序 列， 当充 分 大 时 ， 以作 为方 程 组的 近 似 解 ， 这 就 是 求 解 线 M性 方 程 组的 单 步 定 常 线 性 迭 代 法 。称 为 迭 代 矩 阵 。()()()()()( lim0 lim limknnkkkkknknikxRxRxxxxxxRxRxx 定义：设为中的向量序列，如果其中为向量范数，则称序列收敛于 ，记为定理：中的向量序列收敛于中的向量 当且仅当)()()()()1212()()()()()1() (1,2, )(,) ,(,) lim010max lim=0 (1,2,

17、) kikkkkTTnnkkkkkkiijjjnkiikxinxxxxxxxxxxxxinxxxxxxxxin 其中。证：由定义，收敛于 即而对任意，有由极限存在准则得即() lim (1,2, )kiikxxin ()()()()()()() lim0 lim () (1, 2,),(kkkkkkkkijijkAnAnAAAAAAAakAanAA 定 义 ： 设为阶 方 阵 序 列 ，为阶 方 阵 ， 如 果其 中为 矩 阵 范 数 ， 则 称 序 列收 敛 于 矩 阵， 记 为定 理 ： 设)均 为阶 方 阵 ，则 矩 阵 序 列收 敛 于 矩 阵的 充()(1)()()(1)() lim

18、 ( ,1, 2,) , limlim kijijkkkkkkkkaaijnxM xgxxxxM xgM xgxA 要 条 件 为证 明 略 。定 理 表 明 ， 向 量 序 列 和 矩 阵 序 列 的 收 敛 可 以 归 结 为 对 应分 量 或 对 应 元 素 序 列 的 收 敛 。若 按产 生 的 向 量 序 列收 敛 于 向 量则 有即是 方 程 组xb的 解 。1111221n12112222n2n11n12nn 0 (1, 2,),nnnniiina xa xa xba xaxaxba xa xaxba 若 系 数 矩 阵 非 奇 异 即则 有112213311221123322n

19、112233 nnnnnnnngxb xb xb xgxbxbxbxxb xbxbx , (, ,1, 2,),(1, 2,).ijiijiiiiiabbij ijnginaag 其 中12131111212321221231(0)(1)10(1)(2)( )(1)( )00 0 , nnnnnnnnnnkkkbbbbgbbbbgBgbbbbgxBxgxxxBxgxxxxBx（ ）（ ）若记则方程组可简记为选初值向量代入，代入，如此继续下去，就产生一个向量序列满足(0,1,2,)gkJacobi此过程所给出的迭代法称为迭代法，又称简单迭代法。12112121221212120110001010

20、 01001nnnnnnnnBbbbbbbbbbbbb AD I-aaaaaaaaaaaaInn1nnn2n12n22211n12111122111 1 12 111222(,)(, , , )TTnnnnggggbDbababa同 样1* n0 1 2 B gnnkJacobiBgxxxxxx（）（ ）（ ）迭代，若收敛，则*1*1* () IB xgDAxD bAxb即故假设序列收敛, 那么收敛到解。B称迭代矩阵。123123123110272 10283542 10010100101200.10.210100011020.100.2100011150.20.201005 xxxJacob

21、ixxxxxxBIDA例：用迭代法求解解：1(0)(0)(2)(1)(9) (7.2,8.3,8.4)(0,0,0) ,(7.2,8.3,8.4)(9.71,10.70,11.5)(10.9994,11.9994,12.9992)(11,12,13) .TTTTTgDbxBxgxBxgxx(1)取代入迭代式，得x精确解为(0)(0)(0)(0)112(0)1(0)(0)1.(),( ,),(,),.2.1.3.1,2, ()/4.,55.,1,(1,2, ),3 ijnnniiijjiijj iiiAabbbn xxxxNkinxba xaxxxkNkk xxin 输入维数最大容许迭代次数置对

22、若输出停机；否则转 。若置转 ；否则，输出失败信息，停机。( )(1,kkMxx ）评价：公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，不改变的稀疏性，需两组工作单元，存。(1)( )(1)( )( )( )112213311(1)( )( )( )221123322 (0,1,2,) kkkkkknnkkkknnxBxg kgxb xb xb xgxb xb xb x迭代公式用方程组表示为(1)( )( )( )1122,11( )(1) kkkknnnn nnnkkJacobixxgxb xb xbx因此，在迭代法的计算过程中，需同时保留两个近似解向量和。若把迭代公式改写成(1)( )

23、( )( )112213311(1)(1)( )( )221123322(1)(1)112 kkkknnkkkknnkknnngxb xb xb xgxb xb xb xxb x(1)(1)2,11(0)( ) ,kkn nnnknxxGaussSeidelJacobigb xbx这样，在整个计算过程中，只需用 个单元存储近似解分量。而且通常认为，近似解可能比老近似解更接近精确解，因此，可望这种迭代会更有效。选取初始向量用上式迭代产生近似解序列这种方法叫迭代法。评价：与相比，只需一组工作单元存放近似解。(1)()1212,2112(1)()1(1)1()1 0000 U00 ()1,() ()

24、()kknnnnkkkkLxU xgLIL xU xgILILxILU xILgbbbbbb(k+1)用矩阵表示为x其中，移项可得因为故存在，上式可改写为12131212323132112111111(1)1( 000000000 , () ()nnnnnnnnkkAaaaaaaLaaUaaaaLD LUD UILD DD LDDLxILUx 如果用矩阵 来表示，记则由)1(1)1( )11()()() () kkILgxDLUxDLbMDLUGaussSeidel式中矩阵为迭代法的迭代矩阵。123123123(0)1(0)(0)12311(1)(0)21321310272 10283542(

25、0,0,0) ,11 (2)727.2000101011 (2)(7.200083)9.02001010 TxxxGaussSeidelxxxxxxxxxxbxxxbx（ ）（ ）（ ）例：用迭代法求解解：仍取代入迭代式，得(1)(1)123(5)11()7.20009.020042)11.644055(10.9989,11.9993,12.9996)(11,12,13) .Txxbxx（如此继续下去，精确解为 GauseseidelJacobiGauseseidelJacobiGauseseidelJacobiJacobiGauseseidelJacobi上例计算结果表明，迭代法比迭代法效果

26、好。事实上，对有些问题迭代法确实比迭代法收敛得快，但也有迭代比迭代收敛得慢，甚至还有迭代收敛，迭代发散的情形。评价：与相比，只需一组工作单元存放近似解。( 0 )( 0 )( 0 )( 0 )112( 0 )1111121( 0 )111.(),(,),(,),.2.1.3. () / () /(2,1) (ijnnnjjjiniiijjijjiijjinnAabbbn xxxxNkxbaxaxba xa xainxba 输 入维 数最 大 容 许 迭 代 次 数置计 算11( 0 )( 0 ) /4.,55.,1,(1, 2,),3nnjjnnjiixaxxxkNkkxxin若输 出停 机

27、； 否 则 转。若置转；否 则 ， 输 出 失 败 信 息 ， 停 机 。(1)( )(1)121(1)( )( )111(1)( )( )11 (,), 1 ()Tkkkninkkkiijjijjiijj iinkkkiijjijjijj iiiGaussSeidelxxxxxxxGaussSeidelxb xb xgxba xa xxa 为迭代法加速。记其中由迭代公式得到。于是有( )(1)( )(1,2, )kkkinxGaussSeidelkxxxx 可以把看作迭代的修正项，即第 次近似解以此项修正后得到新的近似解 (1)( )(1)1(1)( )11 (1)() (kkkkiiiin

28、kkkiiijjijjjj iiixxxxxxxxba xa xai 松弛法是将乘上一个参数因子作为修正项而得到新的近似解，具体公式为即1,2, ) 111nAxbGaussSeidel按上式计算的近似解序列的方法称为松弛法，称为松弛因子。当时称为低松弛；是迭代；时称为超松弛法。(1)( )( )1(1)1( )1( )( )1(1)1( )11111(1)1 () (1)1,() () (1kkkkkkkkkkxxxxDLxD UxD bxxDLxD UxD bIDLIDLDLxDL松弛法迭代公式的矩阵表示：因为故（） 与存在，有( )11)() () (1) ,kDU xDLbMDLDU松

29、弛法的迭代矩阵为松弛因子的选取对收敛速度影响极大 但目前尚无可供实用的计算最佳松弛因子的方法。通常是根据系数矩阵的性质及实际经验，通过试算来确定松弛因子。(0)12123231(1)(1)( )11(1)( )( )112(1)( )22 1.4,(1,1,1) ,21 2021.8 (1)()0.40.7(1)0.4Tinkkkkiiiijjijjjj iiikkkkkxxxxxxxxxxba xa xaxxxxx 例：取用超松弛法解方程组解：由(1)( )13(1)( )(1)332(0)(9)0.7()(0,1,2,)0.40.7(1.8)(1,1,1)(1.200,1.3996,1.6

30、001) (1.2,1.4,1.6)kkkkkTTTxxkxxxxxx 将代入上式开始迭代，精确解(0 )(0 )(0 )(0 )112(0 )(0 )11111121(0 )(0 )111.(),(,),(,),.2.1.3. (1)() / (1)() / ijnnnjjjiniiiijjijjiijjiAabbbn xxxxNkxxbaxaxxba xa xa 输 入维 数最 大 容 许 迭 代 次 数， 参 数置计 算1(0 )1(0 )(0 ) (2,1) (1)() /4.,55.,1,(1, 2,),3nnnnnjjnnjiiinxxbaxaxxxkNkk xxin若输 出停 机

31、 ； 否 则 转。若置转；否 则 ， 输 出 失 败 信 息 ， 停 机 。11212 (1,2, ) ( )max(,) (,)(1,2,), () (iii nnkkkkknAninAAAAAAAAkA 迭代法的收敛与迭代矩阵的特征值有关。定义：设 为 阶方阵，为 的特征值，称特征值的最大值为矩阵 的谱半径，记为称为矩阵 的谱。由特征值的定义知，矩阵的谱是因而)kA :, ():, , () . :,iiiiiiiiiiiAnAAAuuuAuAuuAAAAn定理 设 为任意 阶方阵为任意由向量范数诱导出的矩阵范数 则证 对 的任一特征值及相应的特征向量都有因为为非零向量 于是有由的任意性即

32、得证毕定理 设 为任意 阶方阵 则对任意正数存在一种矩阵2, () , ()()AAnAAAAA范数使得证明略。对任意 阶方阵 一般不存在矩阵范数使得。但若 为对成矩阵，则有。 lim0()1 lim0 lim0 () 0()() lim()0 ()11 ()1kkkkkkkkkkkAnAAAAAAAAAAAA定理：设 为阶方阵，则的充要条件为。证：必要性：若由矩阵收敛的定义知又因由极限存在的准则，有所以。充分性。若，取()0,21() ()12,limlim0lim0.kkkkkkkkAAAAAAAAA由上一定理知，存在一种矩阵范数，使得而(0)(1)( )( )*( )*( ) (0,1,

33、2,)()1. : , lim kkkkkkxgxMxgkxMnxxxxxMxgx定理：对任意初始向量和右端项 ，由迭代格式产生的向量序列收敛的充要条件是证 必要性 设存在 维向量使得则满足由迭代公式有*(1)*(1)*2(2)*(0)*(0)*( )*(0) ()()() lim()lim()0, lim0 ()1.kkkkkkkkkkxMxgMxgM xxMxxMxxMxxxxxnMM于是有因为为任意 维向量 因此上式成立必须由上一定理*()*(1)*(0 )*(0 )()* :()1,1,0, lim0 ()(), lim ()limkkkkkkkkMMIMngIMxgxxM xgMxx

34、MxxMxxxxxM 充 分 性 若则不 是的 特 征 值 因 而 有于 是 对 任 意维 向 量方 程 组有 唯 一 解 记 为即并 且又 因 为所 以 对 任 意 初 始 向 量都 有(0 )*(1)()()(0 )(1)()()()=0.1 1, (0,1, 2,).kkkkkkkxxxM xgxxgMxM xgkx即 由 迭 代 公 式产 生 的 向 量 序 列收 敛推 论对 任 意 初 始 向 量和 右 端 项， 若由 迭 代格 式产 生 的 向 量 序 列收 敛1212111122 2 02 , det()() det()1 det()()(1)1 () (1nnnnnMMMMMD

35、LDUDLa aa 推论松弛法收敛的必要条件是。证：设松弛法的迭代矩阵由特征值。因为由定理，松弛法收敛必有又因为1122)(1)det()(1)102 nnnnDUa aaM。迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向量及右端项无关。对同一方程组，由于不同的迭代法迭代矩阵不同，可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情形。123123123221 2223 1122100 111 010221001000 100220 xxxxxxxxxADL例：对方程组讨论Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性。解：求迭代矩阵判别其谱半径是否小于 。022 001000U13123 J

36、acobi022 10122022 110220,()01,JacobiBIDAIBB迭代法的迭代矩阵为其特征方程为因此有于是所以迭代法收敛。1121 Gauss-Seidel100100 110 ()110221021100022022()11000102302100000222 023(2)00020,DLDLMDLUIM 迭代，由特征方程特征值为232,()21,M故所以迭代发散。 021 121,1,1 BM上例说明了确实只是松弛法收敛的必要条件，而非充要条件，因为Gauss-Seidel迭代记为的情形。判断定理虽然给出了判别迭代收敛的充要条件，但要求逆矩阵和特征值。推论 与 仅分别给

37、出了收敛的充分与必要条件，许多情形下不能起作用。如上例，两个方法均有由推论 无法判别收敛性。对一些特殊的系数矩阵可给出几个常用的判别收敛条件11112112222 ()(1,2, ) ,0110 11nijiiijjj inAaaainiAiAAAAAAAAAA定义：若 阶方阵满足且至少有一个 值，使上式中不等号严格成立，则称 为弱对角占优阵。若对所有 ，上式不等号均严格成立，则称为严格对角占优阵。定义：如果矩阵 不能通过行的互换和相应的列互换成为形式其中，为方阵，则称 为不可约。 例：132100011012011PITP AP ,1.JacobiG auss-S eidel2.01,3.0

38、21012210 1102121115012A xbAAAABA设 有 线 性 方 程 组下 列 结 论 成 立 ：若为 严 格 对 角 占 优 阵 或 不 可 约 弱 对 角 占 优 阵 ， 则迭 代 法 和迭 代 法 均 收 敛 。若为 严 格 对 角 占 优 阵 ，则 松 弛 法 收 敛 。若为 对 称 正 定 阵 ， 则 松 弛 法 收 敛 的 充 要 条 件 为。上 两 例 中 ：为 严 格 对 角 占 优B阵 ， 故 Jacobi与 Gauss-Seidel迭代 均 收 敛 。为 非 严 格 对 角 占 优 阵 ， 但 为 对 称 正 定阵 ，=1.4故 松 弛 法 收 敛 。-11112211,122111223(02)111022