复变函数第二章标准答案

1、第二章解析函数1用导数定义，求下列函数的导数：(1)f (x)zRe z.解 : 因limf ( z z) f ( z)lim (zz)Re(zzz) z Re zzz 0z 0lim z Rezz Re zz Re zz0zlim(Re zRezRezz)z0zlim(Re zRezlim(Re z zxzz)x),z0x0i yy0当 z 0 时,上述极限不存在 ,故导数不存在；当 z 0 时 ,上述极限为 0,故导数为 0. 2下列函数在何处可导 ?何处不可导 ?何处解析 ?何处不解析 ?(1) f ( z) z z2 .解 :f ( z) z z2z z z | z |2 z( x2y

2、2 )( xiy )x(x2y2 ) iy (x2y2 ),这里 u(x, y)x(x2y2 ), v( x, y)y( x2y 2 ).uxx2y22x2,vyx2y22 y2 ,uy2xy ,vx2xy.要 uxvy , uyvx ，当且当 xy0, 而 ux ,uy , vx, vy均连续，故 f (z)z z2 .仅在 z0 处可导，处处不解析 .(2)f (z)x33xy2i (3x2 y y3 ).解 : 这里 u( x, y)x33xy 2, v( x, y)3x2 yy3.ux 3x23y 2 ,uy6xy,vx 6xy, vy3x23y2 ,四个偏导数均连续且 uxvy ,u

3、yvx 处处成立 ,故 f ( z) 在整个复平面上处处可导 ,也处处解析 .3确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数 .(1) az b (c, d至少有一不为零 ). cz d1 / 7解 :当 c0 时， f (z)azb 除 zd 外在复平面上处处解析 , zd 为奇点 ,czdccf (z)azb()czd(azb) (cz d)(czd ) (azb)(cz d )2a(czd )c(azb)adcb(czd )2(czd )2 .当 c0 时，显然有 d0 ，故 f ( z)azb 在复平面上处处解析，且f ( z)a .dd4.若函数 f ( z) 在区域 D 内解析 ,并满

4、足下列条件之一 ,试证 f (z) 必为常数 .(1) f (z) 在区域 D 内解析 ;(2) v u2 ;(3) arg f ( z) 在 D 内为常数 ;(4) au bv c( a,b,c为不全为零的实常数 ).证 (1)因为 f ( z) 在 D 中解析 ,所以满足 C R 条件uv ,uv ,xyyx又 f (z)uiv 也在 D 中解析 ,也满足 CR 条件u( v ),u(v.)xyyx从而应有 uuvv0 恒成立 ,故在 D 中 u, v 为常数 ,f ( z) 为常数 .xyxy(2) 因 f ( z) 在 D 中解析且有 f ( z) uiu 2 ,由 CR 条件,有u2

5、uux,yuuy2u .x则可推出 uu0 ,即 uC (常数 ).故 f ( z) 必为 D 中常数 .xy2 / 7v( v/ u)(v / u)(3) 设 f ( z)uC ,从而x0,y0,iv ,由条件知 arctan1 (v / u)2u1 (v / u)2计算得u2 ( v uu v) / u 2u2 ( v uu v) / u2xx0，yy0,u2v2u2v2化简 ,利用 CR 条件得u uu v0,yxu uu v0.xy所以 uu0, 同理 vv0, 即在 D 中 u, v 为常数 ,故 f ( z) 在 D 中为常xyxy数 .(4) 法一：设 a0, 则 u(cbv)

6、/ a, 求导得ubv ,ubv ,xaxyay由C R条件ubu ,vbv ,xayxay故 u,v 必为常数 ,即 f ( z) 在 D 中为常数 .设 a 0, b0, c 0 则 bvc ,知 v 为常数 ,又由 CR 条件知 u 也必为常数 ,所以 f ( z) 在 D 中为常数 .法二：等式两边对 x, y 求偏导得：auxbvx0R 条件，我们有au ybvy，由 C0auxbuy0abux0 ，buxauy,即bauy0而 a2b20 ，故 uxuy0，从而 u 为常数，即有 f (z) 在 D 中为常数 .225.设 f (z) 在区域 D 内解析 ,试证 : (x2y2 )

7、 | f ( z) |24 | f (z) |2 .3 / 7证 : 设f ( z)ui ,v| f( 2 z) | 2 u 2 v ,f ( z)uiu,2u2)u 2) .xy| f ( z ) |(xy而2222(2y2 ) |f z( 2) |x2 u2(v2)y2u2 (v2)xu22uv 22vu2uv2v2 () v(2) u(2) v 2,) u2x2y2yxxxyy又 f (z) 解析 ,则实部 u 及虚部 v 均为调和函数 .故u2 u2u0,v2v2v0.x2y2x2y2则22f ( z) |2u )2u ) 2 )( z) |2 .(x2y2 ) |4(4 | fxy6

8、.由下列条件求解解析函数f ( z)uiv .(1) u ( xy)( x24xyy2 );解:因 uv3x26xy 3y2 , 所以xyv(3 x26xy 3y2 )dy3x2 y3xy2y3(x),又 v6xy3y2( x), 而 u3x26xy3y 2 ,所以xx( x)x3C .故f ( z)uiv(xy)( x24xyy 2 )i (3x2 y3xy2y3(1i ) x2 (xiy )y2 (1i )(xiy )2x2 y(1z(1i )( x2y2 )2xyiiz(1i)Ci(1i ) z( x2y22xyi)Ci(1i ) z3Ci( x)3x2 ,则x3C)i )2xy2 (1

9、 i )Ci(2) v2xy3x;4 / 7解 : 因 v2 y 3, v2x, 由 f (z) 解析 ,有xyuv2x,u2xdxx2( y).xy又 uv2 y3, 而 u( y), 所以( y)2 y3, 则 ( y)y23y C.yxy故f ( z)x2y23 yCi(2 xy 3x).(3)u2( x 1) y, f (2)i ;解 : 因 u2 y,u2( x1), 由 f (z) 的解析性 ,有 vu2( x1),xyxyv2 ( x 1 )d x( x 2 1 )y( ) ,又 vu2 y,而 v( y), 所以 ( y)2y,( y)y 2C, 则yxyv(x1)2y 2C,

10、故f (z)2( x1)y i ( (x1)2y2C),由 f (2)i 得 f (2)i (1C )i, 推出 C 0.即f (z)2(x1)yi ( y2x22x1)i (z22z1)i( z1)2 .7.设 vepx sin y, 求 p 的值使 v 为调和函数 ,并求出解析函数 f ( z)uiv.解 : 要使 v( x, y) 为调和函数 ,则有 vvxxvyy0.即p2 epx sin yepx sin y0,所以 p1时, v 为调和函数 ,要使 f (z) 解析 ,则有 uxvy ,uyvx .u( x, y)ux dxepx cos ydx1 epx cos y( y),pu

11、y1 epx sin y( y)pepx sin y.p5 / 7所以( y)( 1p)epx sin y,( y)( p1 )epx cos y C.pp即 u(x, y)pepx cos yC, 故f (z)ex (cos yi sin y) CezC ,p1,ex (cos yi sin y)CezC , p1.8试解方程：(1)ez13i;解:ez13i2(cosi sin)i(2k )32e 33ln 2ik( 2)k0 ,1 ,2.e3 ,故zln 2i (2 k),k0,1,2.i ;3(2)ln z2解:zicosi sini.e2229求下列各式的值。(1) cosi ;解 cosiei ( i )e i (i )e 1e1.22(2) Ln ( 3 4i );解: Ln ( 3 4i ) ln5 iArg ( 3 4i )l n 5 i (k24a r c t a n ) .3(3) (1 i )1 i ;解:(1 i )1 i e(1 i ) Ln (1 i )6 / 7( 1 i